微专题01 三角形的相关线段、角的应用通关专练解析版

微专题01三角形的相关线段、角的应用通关专练一、单选题1．（2022春·浙江·九年级专题练习）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5C．∠A+∠B＝∠CD．一个外角等于和它相邻的一个内角【答案】A【分析】根据三角形内角和的性质以及外角的定义，对选项逐个判断即可．【详解】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C=5∴满足条件的三角形为锐角三角形，选项A符合题意；B．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C=5∴满足条件的三角形为直角三角形，选项B不符合题意；C．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C=1∴满足条件的三角形为直角三角形，选项C不符合题意；D．∵一个外角等于和它相邻的一个内角，∴该内角＝12∴满足条件的三角形为直角三角形，选项D不符合题意．故选：A．【点睛】此题考查了三角形内角和的性质以及外角的定义，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键．2．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图所示，下列说法错误的是（

）A．∠ACD是△ABC的一个内角； B．∠BAD是△ABD的一个内角；C．∠BEC是△ACE的一个外角； D．∠AOC是△ABD的一个外角；【答案】D【分析】根据三角形内角、外角的定义逐项判断即可．【详解】解：A、∠ACD是△ABC的一个内角，说法正确；B、∠BAD是△ABD的一个内角，说法正确；C、∠BEC是△ACE的一个外角，说法正确；D、∠AOC是△AEO的一个外角，原说法错误；故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角、外角的识别，熟知三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角叫做三角形的外角是解题的关键．3．（2022·广西贺州·统考二模）如图，∠1+∠2=（

）A．90° B．60° C．120° D．180°【答案】A【分析】根据图形可以直接求解．【详解】解：∵∠1+∠2+90°=180°∴∠1+∠2=9故选A【点睛】主要考查了余角的概念．互为余角的两角的和为90°．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而做出判断．4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（

）A．BC=2CD B．∠BAE=C．∠AFB=90° D．AE=CE【答案】D【分析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；【详解】解：A．∵AD是△ABC的中线∴BC=2CD，故选项正确，不符合题意；B．∵AE是△ABC的角平分线∴∠BAE=故选项正确，不符合题意；C．∵AF分别是△ABC的高，∴∠AFB=90°故选项正确，不符合题意；D．AE=CE不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．5．（2022春·贵州黔西·七年级校考阶段练习）如图，在三角形ABC和三角形ABD中，∠C=∠D=88°，AD与BC相交于点E．若∠DBCA．23° B．25° C．27° D．无法确定【答案】A【分析】根据三角形内角和可得∠C+∠CAE+∠【详解】解：在三角形ABC和三角形ABD中，∠C+∠CAE∵∠C=∠D∴∠CAE∵∠DBC∴∠CAE故选A．【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和可进行求解．6．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）下列说法正确的是（

）（1）不等式-4x+3<15与不等式x-2>-5的解集相同；（2）三角形的三条高都在三角形的内部并交于一点；（3）如果关于x的不等式a+1x<a+1可变形为x>1，那么a的取值范围是a>1；（4）把一根长11厘米的钢管截成3厘米长和1厘米长两种规格的钢管（两种都有），恰好没有剩余，有4A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，即可；（2）根据三角形高线的定义，即可；（3）根不等式的性质，即可；（4）设3厘米长钢管x根，1厘米长钢管y根，根据题意，列出二元一次方程，即可．【详解】解：（1）解不等式-4x+3<15得：x>-3，解不等式x-2>-5得：x>-3，∴两不等式的解集相同，故本选项正确；（2）三角形的三条高可能在三角形的外部或边上，故本选项错误；（3）∵关于x的不等式a+1x<a+1可变形为x>1∴a+1<0，即a的取值范围是a<-1，故本选项错误；（4）设3厘米长钢管x根，1厘米长钢管y根，则3x+y=11，∵x，y均为正整数，∴x=1y=8或x=2y=5或即有3种截法，故本选项错误；故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，三角形的高，不等式的性质，二元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．7．（2023春·江苏·七年级专题练习）将两个形状相同，大小不同的三角板按如图所示方式放置，C是公共顶点，且∠ACB=∠A'CB'=90°，∠B=∠B'=60°．对于下列三个结论，①∠1+∠ACB'=180°；②∠A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】根据三角形的内角和及外交定理，还有平行线的判断求解．【详解】如图，延长AC到点F，根据邻补角的定义得：∠FCB′+∠ACB'=108°．根据同角的余角相等得：∠FCB=∠1，所以有∠1+∠ACB'=180°，故①正确．由“8”字形可得：∠A′DA+∠A′=∠A+∠A′CA，∴180°-∠B'DA+30°=90°-∠1+30°，∴∠B'DA-∠1=90°，故②正确．如果∠1=30°，则∠BCB′=60°=∠B．∴AB∥CB'．故③正确．故选：D．【点睛】本题考查了有关三角形角得计算及平行线的判定，解题得关键是灵活运用三角形的内角和和外角定理．8．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级牡丹江四中校考期中）具备下列条件的三角形中，不为直角三角形的是（

）A．∠A+∠B=∠C B．∠B+∠C=∠A C．∠A=90°-∠B D．∠A-∠B=90°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°．A、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，∴△ABC是直角三角形；B、∵∠B+∠C=∠A，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A+∠A=180°，解得∠A=90°，∴△ABC是直角三角形；C、∠A=90°-∠B，即∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，△ABC是直角三角形；D、∠A-∠B=90°，那么∠A=∠B+90°>90°，∴△ABC一定不是直角三角形．故选：D．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理．9．（2022春·广东广州·七年级校考期中）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数（）A．10° B．25° C．30° D．35°【答案】B【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2=∠AEC，代入求出即可．【详解】如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°，∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°，故选B．【点睛】考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．10．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，已知∠BAC=2∠B，∠B=4∠DAE，那么∠C的度数为（

）A．45° B．60° C．70° D．72°【答案】B【分析】设∠DAE＝a°，则∠B＝4a°，∠BAC＝8a°，求出∠C＝180°−12a°，求出∠DAC＝4a°，根据∠DAC−∠EAC＝∠DAE得出方程4a−（12a−90）＝a，求出a即可．【详解】解：设∠DAE＝a°，则∠B＝4a°，∠BAC＝8a°，即∠C＝180°−12a°，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴∠EAC＝90°−∠C＝12a°−90°，∵AD是角平分线，∠BAC＝8a°，∴∠DAC＝4a°，∵∠DAC−∠EAC＝∠DAE，∴4a−（12a−90）＝a，解得：a＝10，∴∠C＝180°−12a°＝60°，故选：B．【点睛】此题主要考查角平分线的定义和三角形的高的定义以及三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．11．（2023春·八年级单元测试）在下列条件中，△ABC不是直角三角形的是

（

）A．b2=a2-c2 B．∠A：∠B：∠C=3：4：5C．∠C=∠A-∠B D．a2：b2：c2=1：3：2【答案】B【详解】解：A．根据勾股定理的逆定理，如果b2=a2﹣c2，那么a2=b2+c2，则△ABC为直角三角形，故本选项错误；B．∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠A=180°×33+4+5=45°，∠B=180°×43+4+5=60°，∠C=180°×53+4+5=75°，C．∵∠C=∠A﹣∠B，∴∠A=∠B+∠C，∴∠A=90°，△ABC是直角三角形，故本选项错误；D．根据勾股定理的逆定理，如果a2：b2：c2=1：3：2，那么b2=a2+c2，则△ABC为直角三角形，故本选项错误；故选B．点睛：本题主要考查直角三角形的判定，如果已知三角形三边的长，利用勾股定理的逆定理加以判断；如果已知三角形三个角的关系，结合三角形内角和定理判断．12．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，已知点D是△ABC的重心，若AE＝4，则AC的长度为（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】B【详解】∵点D是△ABC的重心，∴BE为AC边的中线，∴AC=2AE=8．故选B．13．（2022秋·云南昆明·八年级校考期中）一副学生用的三角板如图放置，则∠AOD的度数为（

）A．75° B．100°C．105° D．120°【答案】C【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠BOC=105°，再根据对顶角相等，即可得出∠AOD的度数．【详解】由题可得，∠ACB=45°，∠DBC=30°，∴△BCO中，∠BOC=180°–45°–30°=105°，∴∠AOD=∠BOC=105°，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及对顶角的性质，利用三角形内角和为180°是关键．14．（2022秋·八年级单元测试）如图，已知△ABC中，∠B＝50°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于()A．130° B．230° C．270° D．310°【答案】B【详解】解：∵∠BDE+∠BED=180°﹣∠B，=180°﹣50°，=130°，∴∠1+∠2=360°﹣（∠BDE+∠BED），=360°﹣130°，=230°．故选B．15．（2023春·江苏·七年级阶段练习）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，点F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于点G，AC的延长线交FG于点H，连接BG，下列结论：①∠DEA=∠AGH；②∠DAE=1③∠AGH=∠BAE+∠ACB；④S△AEB其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】如图，①根据直角三角形的性质即可得到∠DEA=∠AGH；②根据角平分线的定义得∠EAC=12∠BAC，由三角形的内角和定理得∠DAE=90°-∠AED，变形可得结论；③根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH=∠BAE+∠ACB；④【详解】如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE=∠AMF=90°，∴∠DEA+∠DAE=∠AGH+∠GAM=90°，∴∠DEA=∠AGH，故①正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC=1∴∠DAE=90°-∠AED，=90°-(∠ACE+∠EAC)，=90°-(∠ACE+1=1=1故②正确；③∵∠DAE=∠F，∠FDG=∠FME=90°，∴∠AGH=∠MEF，∵∠MEF=∠CAE+∠ACB，∴∠AGH=∠CAE+∠ACB，∴∠AGH=∠BAE+∠ACB，故③正确；④∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴SΔAEB故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题16．（2023秋·八年级单元测试）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，点D是AB延长线上的一点，则∠CBD的度数是______°【答案】140【分析】根据三角形外角的性质:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和,即可求出∠CBD的度数．【详解】解:∵∠ACB=90°，∠A=50°，∠CBD是△ABC的外角∴∠CBD=∠ACB＋∠A=140°故答案为:140．【点睛】此题考查是三角形外角的性质,掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解决此题的关键．17．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）在△ABC中，∠A+∠B=115°，则∠C=___________．【答案】65°/65度【分析】根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠B+∠C=180°，再结合∠A+∠B=115°即可求出∠C的度数．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A+∠B故答案为：65°．【点睛】本题考查了三角形内角和的度数，掌握三角形内角和定理是解答本题的关键．18．（2022秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A=_________．【答案】80°/80度【分析】根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：由三角形的外角性质得：∠ACD=∠A+∠B，∵∠B=40°,∠ACD=120°，∴∠A+40°=120°，解得∠A=80°，故答案为：80°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．19．（2023春·江苏宿迁·七年级沭阳县修远中学校考阶段练习）一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是____三角形．【答案】锐角【详解】三个角的度数分别为40°、60°、80°，为锐角三角形20．（2022春·内蒙古包头·七年级统考期末）如图，在△ABC中，点E是AB边上一点，且BE=AE，△ABC，△ACE的面积分别是S△ABC，S△ACE．若S△ABC=12【答案】6【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分可进行求解．【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：∴S△ABC=1∵BE=AE，∴AE=1∴AE⋅CH=1∴S△ACE故答案为6．【点睛】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线与三角形的面积关系是解题的关键．21．（2022秋·全国·八年级阶段练习）BM是△ABC中AC边上的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长之差为___cm．【答案】2．【分析】根据三角形的中线的概念，由BM是△ABC中AC边上的中线得AM=CM．所以△ABM与△BCM的周长之差为AB与BC的差．【详解】5-3=2cm．故答案是：2．【点睛】理解三角形的中线的概念，能够根据周长公式进行计算，注意线段之间的抵消．22．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一三四中学校考期中）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且SABC=32cm2【答案】8【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】解：∵F为CE中点，∴S∵E为AD中点，∴S∴S故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．23．（2023春·七年级单元测试）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，则∠DAE=________．【答案】9°【分析】根据AE是△ABC的角平分线，∠BAC=82°得出∠BAE=∠EAC=12∠BAC=41°,再根据外角定理算出【详解】∵根据AE是△ABC的角平分线，∠BAC=82°∴∠BAE=∠EAC=又∵∠C=40°∴∠AED=∠EAC+∠C=81°又∵AD是△ABC的高∴∠ADE=90°∴∠DAE故答案为：9°【点睛】本题考查三角形的高线和角平分线以及三角形的外角定理，掌握高线和角平分线的性质和外角定理去转化角度是解题关键．24．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F，若∠A=35∘，∠D=15∘，则【答案】70【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠AEF=90°∵∠A=35°，∴∠CFD=∠AFE=180°-∴∠ACB=∠D+∠CFD=15°+55°=70°，故答案为：70∘【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．25．（2022秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝_____．【答案】67°．【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝226°，再根据角平分线定义得到∠EAC＝12∠DAC，∠ECA＝12∠FCA，所以∠EAC+∠ECA＝12（∠DAC+∠FCA）＝113°，然后再利用三角形内角和计算【详解】解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°，∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°，∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝12∠DAC，∠ECA＝12∠∴∠EAC+∠ECA＝12（∠DAC+∠FCA）＝113°∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案为：67°．【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠BAC+∠BCA，∠DAC+∠FCA），故掌握整体思想是解决此题的关键．三、解答题26．（2023秋·山西大同·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，且BE∥AD，∠BAD＝20°，求∠CEB的度数．【答案】70°【分析】由BE∥AD，证明∠ABE＝20°，再利用角平分线的性质证明：∠CBE＝20°，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：∵BE∥AD，∴∠BAD＝∠ABE＝20°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°，在Rt△BCE中，∠CEB=90°-∠CBE=90°-20°=70°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．27．（2023春·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期中）如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，∠1＝∠2，若∠A＝65°，∠B＝45°，求∠AGD的度数．【答案】70°【分析】由CD⊥AB，EF⊥AB可得出∠CDF=∠EFB=90°，利用“同位角相等，两直线平行”可得出CD∥EF，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DCB=∠1，结合∠1=∠2可得出∠DCB=∠2，利用“内错角相等，两直线平行”可得出DG∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠ADG的度数，在△ADG中，利用三角形内角和定理即可求出∠AGD的度数.【详解】解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDF＝∠EFB＝90°，∴CD∥EF，∴∠DCB＝∠1．∵∠1＝∠2，∴∠DCB＝∠2，∴DG∥BC，∴∠ADG＝∠B＝45°．又∵在△ADG中，∠A＝65°，∠ADG＝45°，∴∠AGD＝180°﹣∠A﹣∠ADG＝70°【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，利用平行线的性质求出∠ADG的度数是解题的关键.28．（2023春·七年级单元测试）如图所示，按规定，一块模板中AB、CD的延长线应相交成85°的角，因交点不在板上，不便测量．如果你是技术工人，利用你所学的知识，能否验证这个模板是否合格？请写出你的验证过程．【答案】验证见解析.【详解】整体分析：用三角形的内角和定理解答.解：因为AB、CD延长后得到三角形，所以可以根据三角形的内角和定理来验证．验证方法是：验证∠BAC+∠ACD是不是等于180°－85°＝95°.如果成立，此工件合格，否则不合格．29．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中描出A2,3，B-3,-2，C4,1三点，并用线段将A、B【答案】画图见解析，面积为10．【分析】根据题中已知坐标在直角坐标系中描点连线得到图形，再利用割补法即可求出面积．【详解】解：连接起来的几何图形为三角形，如下图所示，S=7×5-1故所连成的三角形的面积为10．【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，正确画出几何图形是解题关键．30．（2023秋·四川自贡·八年级校考阶段练习）如图，D、E、F、G四点在△ABC边上的位置图，∠AFD＝85°，∠AEG＝75°，∠B＝65°，∠C＝75°，记∠ADF为α，∠AGE为β，求α＋β的值．【答案】120°【分析】此题可以应用三角形的内角和等于180°求解．根据题意可得：∠A+∠B+∠C=180°，求得∠A的度数，再根据△ADF与△AEG的度数，求得α与β的值即可．【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=65°，∠C=75°，∴∠A=40°．∵∠A+∠ADF+∠AFD=180°，∠A+∠AEG+∠AGE=180°，∠AFD=85°，∠AEG=75°，∴α=55°，β=65°，∴α＋β=120°．【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是正确识图．31．（2023秋·天津西青·八年级统考期末）如图，AD是△ABC的高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=100°，∠C=20°，求∠DAE和∠BOA的度数．【答案】20°；100°【分析】根据垂直的定义、角平分线的定义、三角形内角和定理及三角形的外角性质计算即可．【详解】解：∵∠CAB=100°,且AE平分∠CAB,∴∠CAE=1又∵∠C=20°,AD⊥BC，∴∠CAD=90°-∠C=70°,∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=20°；∵∠C=20°,∠CAE=50°，∴∠BEO=∠C+∠CAE=70°，又∵∠ABC+∠C+∠CAB=180°,∴∠ABC=60°,∵BF平分∠ABC,∴∠OBE=∴∠BOA=∠OBE+∠BEO=100°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义以及三角形的外角性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．32．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）在四边形ABCD中，CD⊥BC，∠D=90°．(1)如图1，若AE平分∠BAD交BC于点E，求证：∠BAE=∠BEA；(2)如图2，点G、F分别在BC、AD上，点H为AD上方一点，连接FH、GH，求证：∠HFD=∠HGC+∠FHG；(3)在（2）的条件下，如图3，过点A作AK//GH，连接AH，AH平分∠KAB，作∠DAB的平分线交GH于点N，若∠FHG=36°，∠HFD=136°，求∠HAN的度数．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)∠HAN=50°【分析】（1）根据已知容易证明AD∥BC，然后根据角平分线的性质得出∠DAE＝∠BAE，进而根据平行线的性质得出∠DAE＝∠BEA，等量代换即可证得结论；（2）根据平行线的性质证得∠HGC＝∠HMF，再根据外角的性质即可证得结论；（3）先根据已知求出∠HMF＝100°，根据平行线的性质得出∠KAM＝100°，再根据角平分线的性质求出∠HAN即可．（1）证明：∵CD⊥BC，∴∠C=90°，∵∠D=90°，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE，∴∠AEB=∠BAE，（2）证明：由（1）得AD∥BC，∴∠HGC＝∠HMF，∵∠HFD＝∠HMF+∠FHG；∴∠HFD＝∠HGC+∠FHG；（3）解：∵∠HFD＝∠HMF+∠FHG，∠FHG＝36°，∠HFD＝136°，∴∠HMF＝100°，∵AK∥GH，∴∠HMF＝∠KAM＝100°，∵AH平分∠KAB，AN平分∠DAB，∴∠KAH＝∠HAB，∠MAN＝∠BAN，设∠KAH＝∠HAB＝β，∠MAN＝∠BAN＝α，则2β＝100°+2α，∴β﹣α＝50°，∴∠HAN＝∠KAM+∠MAN﹣∠KAH＝100°+α﹣β＝100°﹣50°＝50°．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角以及平行线和角平分线的定义，解题的关键是熟练运用平行线的性质和角平分线的定义表示出角与角之间的关系．33．（2023春·江苏无锡·七年级宜兴市实验中学校考阶段练习）画图题：在7×9的正方形网格上，完成下列问题．（1）已知图1中△ABC各顶点都在网格格点上，过点A作BC边上的中线AD．（2）在图2中画出面积是6的钝角△AEF，各顶点都在格点上．（3）在图1中，若AB＝5，直接写出C点到AB的距离．【答案】（1）见解析部分；（2）见解析部分；（3）18【分析】（1）取AB的中点D，连接AD即可．（2）根据钝角三角形的定义以及三角形的面积公式画出图形即可（答案不唯一）．（3）利用面积法构建方程求解即可．【详解】解：（1）如图，线段AD即为所求．（2）如图，ΔAEF即为所求．（3）设点C到AB距离为h．由题意，12解得h=18【点睛】本题考查作图-应用与设计，线段的中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．34．（2023春·江苏扬州·七年级统考期中）【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】(1)如图②，在△ABC中，∠A=80°，∠B=45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求(2)如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC=140°，求(3)【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A=m°（m>54），∠B=54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）【答案】(1)95°或110°(2)60°(3)2m°3或2m°3+18°或【分析】（1）如图②，由题意知，BD，BD'，是∠B的三分线，则∠ABD=∠DBD'=∠（2）由题意知∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13∠ACB，由（3）如图③，由题意知∠ACB=180°-∠A-∠ABC=126°-m°，∠ACD=m°+54°，∠ABP1=∠P1【详解】（1）解：如图②，由题意知，BD，BD'，是∴∠ABD=∠DBD∴∠BDC=∠A+∠ABD=80°+15°=95°，∠BD∴∠BDC的度数为95°或110°；（2）