类型十二、三大常用公式因式分解（解析版）

类型十二、三大常用公式因式分解【解惑】提公因式法：平方差公式法：完全平方公式法：【融会贯通】1．下列因式分解正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：、，分解错误，不符合题意；B、，分解错误，不符合题意；C、，分解正确，符合题意；D、，分解错误，不符合题意；2．已知，那么代数式的值是（

）A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001【答案】B【详解】解：∵，∴，∴，3．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2+2x B．x2﹣4C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x【答案】D【详解】解：A．原式＝x（x+2），故此选项不符合题意；B．原式＝（x+2）（x﹣2），故此选项不符合题意；C．原式＝（x﹣2+4）2＝（x+2）2，故此选项不符合题意；D．原式＝x（x2+3x﹣4）＝x（x+4）（x﹣1），故此选项符合题意；4．在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法生成的密码可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，当，时，，，，∴上述方法生成的密码可以是．5．当为正整数时，代数式一定是下面哪个数的倍数（

）A．3 B．5 C．7 D．8【答案】D【详解】解：==8n，6．将进行因式分解，正确的是(

)A． B．C． D．【答案】C【详解】，7．计算：的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：原式====．8．若三角形的三边长分别为、、，满足，则这个三角形是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形【答案】D【详解】∵，∴，∴，即，∴或或(舍去)，∴或，∴△ABC是等腰三角形．9．已知、、是一个三角形的三边，则的值是（

）A．恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负【答案】B【详解】解：∵是一个三角形的三边，∴，∴原式10．对多项式进行因式分解，结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：11．已知，则代数式的值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】D【详解】解：，，，故选：D．【点睛】本题考查了代数式求值、利用完全平方公式分解因式，熟练掌握利用完全平方公式分解因式是解题关键．12．已知，则代数式的值为（

）A．2020 B．2024 C．2021 D．2034【答案】D【详解】解：，，【知不足】13．已知，，，那么代数式的值是______．【答案】【详解】，又由，，，得：，同理得：，，原．14．如果，那么的值是______．【答案】【详解】解：将代入，得到．15．已知，满足等式，则的值为___．【答案】4【详解】解：∵，∴∴∴∴∵则∴则∴16．分解因式：=___________【答案】【详解】17．分解因式：______．【答案】【详解】解：，18．已知，则______．【答案】24【详解】解：，，，19．因式分解：__．【答案】【详解】解：原式．20．若且，则_____．【答案】【详解】∵，∴，∵，∴，∴=，∴==，21．多项式能用完全平方公式分解因式，则______．【答案】【详解】解：∵多项式能用完全平方公式分解因式，∴，解得，22．已知，，，则多项式的值为______．【答案】3【详解】解：∵，，，∴，，，∴23．若a，b都是有理数，且满足，则_____________．【答案】1【详解】解：∵，∴，∴，∴，，解得：，，∴24．分解因式：__________．【答案】##（x-y+2）（x+y-2）【详解】解：25．分解因式：________．【答案】【详解】解：===；26．已知实数a和b适合a2b2＋a2＋b2＋1＝4ab，则a＋b＝___．【答案】2或－2##-2或2【详解】解：∵a2b2＋a2＋b2＋1＝4ab，∴a2b2－2ab＋1＋a2－2ab＋b2＝0，∴(ab－1)2＋(a－b)2＝0，又∵(ab－1)2≥0，(a－b)2≥0，∴ab－1＝0，a－b＝0，∴ab＝1，a＝b，∴a2＝1，∴a＝±1，∴a＝b＝1或a＝b＝－1，当a＝b＝1时，a＋b＝2；当a＝b＝－1时，a＋b＝－2，【一览众山小】27．因式分解(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：（2）解：；（3）解：．28．阅读材料，解答问题：我们已经学过多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实多项式的因式分解还有别的方法．下面再介绍一种方法：“添（拆）项分组分解法”．例题：（添上，再减去使多项式的值不变）（分成两组）（两组分别因式分解）＝________（两组有公因式，再提公因式）(1)请将上面的例题补充完整；(2)仿照上述方法，因式分解：；(3)若是三边长，满足，且c为整数，试判断的形状，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)是等腰三角形，理由见解析．【详解】（1）解：．（2）解：；（3）解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，．∵是三边长，∴，∴．又∵c为整数，∴，∴，∴是等腰三角形．29．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程解：设①，将①带入原式后，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）请根据上述材料回答下列问题：(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法；(2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果；(3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解【答案】(1)提取公因式(2)(3)【详解】（1）解：由题意得：从到运用了因式分解中的提取公因式法（2）解：由题意得：（3）解：设，将代入中得：原式30．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程解：设，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号）．A．提取公因式

B．平方差公式C．两数和的完全平方公式

D．两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？______．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果______．(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．【答案】(1)C(2)否，(3)【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式，（2）同学在第四步将用所设中的的代数式代换，得到因式分解的最后结果没有分解到最后，原式；（3）设，原式．31．教你一招：把因式分解．解：原式请你仔细阅读上述解法后，把下列多项式因式分解：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)．【详解】（1）解：，，；（2）解：；（3）解：；32．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图1中大正方形的右下角和右上角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．(1)用含a，b的代数式分别表示、；(2)若，，求的值；(3)若图1中的，图3中，则的值为__________．（用含x、y的代数式表示）【答案】(1)，(2)40(3)【详解】（1）解：由图1可得，；（2）∵，∴，∵，，∴；（3）∵图1中的，图3中，∴，，∴．33．分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝＝；（4）原式＝＝．34．【阅读材料】若，求，的值．解：，∴，∴．(1)【解决问题】已知，求的值；(2)【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．【答案】(1)1(2)【详解】（1），将拆分成和，可得，根据完全平方公式得：，∴，，∴，（2）∵，根据完全平方公式得：，，∴，，∴，，∵是中最长的边，∴，即的取值范围．35．先仔细阅读材料，再尝试解决问题：通过对实数的学习，我们知道，根据完全平方公式：，所以完全平方公式的值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如探求多项式的最小值时，我们可以这样处理：解：原式，且时，的值最小，为；请根据上面的解题思路，解答下列问题：(1)求多项式的最小值是多少，并写出对应的x的值；(2)多项式的最大值；(3)求多项式的最小值．【答案】(1)当时，原多项式的最小值是(2)的最大值为5(3)多项式的最小值为4【详解】（1）解：，无论取什么数，都有的值为非负数，的最小值为0，此时，的最小值为；则当时，原多项式的最小值是；（2）同（1）得：，无论取什么数，都有的值为非负数，的最小值为0，此时，的最大值为：，则当时，原多项式的最大值是5．（3）同（1）得：，当，时，多项式的最小值为4．36．先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：．解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：(1)因式分解：．(2)因式分解：．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：＝；（2）解：令，则原式变为，故．37．阅读材料：若，求、的值．解：∵，∴∴，而，，∴且，∴，．根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则______；______；(2)已知的三边长、、，其中，，求的周长．【答案】(1)；；(2)的周长为．【详解】（1）解：∵，∴，∴．∵，，∴，，∴．（2）∵，∴，∴．∵，，∴，，∴．∵，∴的周长为．38．把下列各式分解因式：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)(2)(3)(