24.4 弧长和扇形公式（第二课时）（分层作业）【解析版】

基础训练1．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【详解】，故选B．2．蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（）A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2【详解】解：根据题意，∵底面圆半径DE=2m，∴圆柱的底面积为：；故A正确；圆柱的侧面积为：；故B正确；圆锥的母线为：；故C错误；圆锥的侧面积为：；故D正确；故选：C3．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径cm，扇形的圆心角为120°，则该圆锥的母线l长为（

）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【详解】解：根据题意得：，解得：l＝6，即该圆锥母线l的长为6．故选：C．4．已知圆锥的底面半径为5，高为12，则它的侧面展开图的面积是（

）A． B． C． D．【详解】解：由题意知，圆锥侧面展开图的半径即圆锥的母线长为，∴圆锥侧面展开图的面积为，故选B．5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（

）A．214° B．215° C．216° D．217°【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6，可得母线长，圆锥的底面周长为：，设圆心角的度数为n，则，解得：，故圆心角度数为：，故选：C．6．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（

）A．3 B． C． D．4【详解】解：圆锥的底面周长是，则，，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中，，度．在圆锥侧面展开图中．故小猫经过的最短距离是．故选：．7．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（

）A． B． C． D．【详解】解：设这个圆锥底面半径为，由题意得：，解得，即这个圆锥底面半径为，故选：B．8．如图，一块含角的直角三角板的最短边长为6cm，现以较长的直角边所在直线为轴旋转一周，形成一个圆锥，则圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【详解】解：由题意得：斜边为：，，，．故选：B．9．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（）A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝5【详解】解：扇形的弧长是：＝，圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2π，∴＝2，即：R＝4，故选C．10．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（

）A． B． C． D．【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm，则AE=BF=6-2r根据题意得2πr，解得r＝1，侧面积=，底面积=所以圆锥的表面积=，故选：B．11．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是．【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，故答案为：．12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为．【详解】圆锥的底面周长cm，设圆锥的母线长为，则：，解得，故答案为．13．.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA=6，圆心角∠ACB=120°，则此圆锥高OC的长度是．【详解】设圆锥底面圆的半径为r，∵AC=6，∠ACB=120°，∴=2πr，∴r=2，即：OA=2，在Rt△AOC中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4，故答案为4．14．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角的大小（2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留）【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x，∴弧长，∴，∴=90°；（2）∵ED=5cm，∴AD=2ED=10cm，∵，=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∵，∴BD=CD=AD=10cm，∴BC=BD+CD=20cm，∴S△BAC=cm2，∴，∴S阴影=S△BAC-=（100-）cm2．15．在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．”你认同小亮的说法吗？请说明理由．【详解】解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，，乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，，∵，∴，故不认同小亮的说法．16．如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意得2πr＝，解得r＝6，所以这个圆锥的高＝（cm）．能力提升1．如图，正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长10为半径画弧，形成树叶型（阴影部分）图案．①树叶图案的周长为；②树叶图案的面积为；③若用扇形BAC围成圆锥，则这个圆锥底面半径为2.5；④若用扇形BAC围成圆锥，则这个圆锥的高为；上述结论正确的有．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠B=90°，∴弧长为：，∴树叶图案的周长为；∴结论①是正确的；阴影的面积为2，∴结论②是错误的；根据题意，得=2πr，解得r=2.5，∴结论③是正确的；根据题意，得锥高=，∴结论④是错误的；故答案为：①③．2．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为．(1)求它的侧面展开图的圆心角；(2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为，根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得：，又∵．，解得：．∴它的侧面展开图的圆心角是90°；（2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下：根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径，，B为的中点，由（1）知∴∴它所走的最短路线长是．3．已知：(1)化简；(2)如图，、分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为，求的值．【详解】（1）解：．（2）解：圆锥侧面积为，，解得，则．拔高拓展1．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点．(1)求证：与相切；(2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？【详解】（1）证明：如图，过点作于点，∵，∴，∵的半径为，∴是的半径，又，∴是的切线；（2）如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，理由，∵，∴∴是直角三角形