非均布径向压力作用下厚壁圆筒应力解析解的复变函数解

非均布径向压力作用下厚壁圆筒应力解析解的复变函数解

厚墙是一种重要的工程结构，广泛应用于矿山、水利水电、原子能、化工、国防等领域。厚墙传递的压力、变形和衰减是通常的。有关轴对称荷载作用下的分析很多,关于平面问题,最早给出的是厚壁圆筒的拉梅解,并得到了广泛的应用:如伽辽金(1927年)利用拉梅解按衬砌与围岩联合作用求得圆形压力隧洞在均匀内压作用下衬砌应力计算公式;刘东常等人(1992年)用环的弯曲应力及径向力作用下的拉梅解进行迭加求得加劲环翼缘部分的圆柱壳的应力。对于空间问题,SudaraRajalyengarKT等人(1964年)、ChandrashekharK等人(1982年)分别对无限长两层和三层空心圆柱体建立了空间轴对称变形分析方法[3―4],罗祖道(1979年)对受空间轴对称荷载的单层有限长空心圆柱体建立了变形分析方法,侯宇等人(1991年)利用H变换和Stocke变换求得弹性力学中有限长圆柱体的轴对称问题的一般解析解,林小松等人(1990年)利用幂级数以及分离变量的方法得到了柱面在线性变化压力作用下厚壁筒的解析解,1997年―1999年他又将康托洛维奇变分法和高级康托洛维奇变分法用于空间轴对称应力问题,导出了荷载为变量z的任意函数时的有限长厚壁圆筒三维轴对称问题的康氏变分计算公式[8―9]。然而在工程中,经常会遇到厚壁圆筒受有非轴对称荷载作用的情形,例如矿山工程中的圆形立井井壁和水电工程中的圆形隧洞衬砌,由于外部岩土的各向异性,地质构造的不同,壁后充填物的不均匀以及因井筒附近开采引起的岩层移动,再加上原始地应力场的原因,致使立井井壁和隧洞衬砌受到的荷载实际上是非轴对称的。较为深入的探讨非轴对称问题似乎最早是从GreenAE(1948年)分析含有圆柱空洞无限板的研究开始的,与此同时,Sternberg(1949年)则采用一种修正的Ritz近似法对同样的问题进行了大量的数值计算。欧阳鬯等人(1986年)对受空间非轴对称荷载的单层有限长空心圆柱体建立了变形分析方法,但是这些研究都没有对非轴对称荷载形式作用下厚壁圆筒的解析解给出必要的分析。对立井井壁外侧所受到的径向压力分布规律,常用一些函数曲线近似表示荷载分布规律的不均匀性,例如:采用倍角余弦曲线的非均布径向压力计算公式:也有采用单角正弦函数:描述荷载分布规律的不均匀性。式中P0是体现作用在井壁外侧非均匀压力的大小,β是反映荷载分布规律的不均匀性系数,θ为圆筒不同位置的角度。式(1)和式(2)虽然在一定程度上反应了一类非均布荷载两向不等压分布的情况,但直接利用它作为应力分析的外荷载是不合适的,这是因为在θ=0o或θ=90o处筒壁出现了零荷载的情况,显然这与实际工程不符。本文基于上面给出的非均布压力计算公式,提出将:作为作用在厚壁圆筒外部的径向压力计算公式(本文规定以压为正,以拉为负)。式中,0P反映了筒壁外侧压力的大小;θ为圆筒不同位置的角度;m为反映荷载非均布程度的系数,m=0表示厚壁圆筒外部的径向压力是均布的,m越大则径向压力的非均布程度越高,例如当m=1、m=2时,最大径向压力分别是最小径向压力的2倍和3倍。本文只讨论厚壁圆筒处于线弹性的情况,认为材料是满足胡克定律的各向同性体,将问题简化为平面问题。图1给出了内半径为1R,外半径为2R的厚壁圆筒,在外部受有一类非均布径向压力P作用下的计算简图。1厚壁文化对应力边界及其边界的作用当厚壁圆筒内外边界所受外荷载比较复杂时,其面力可用傅里叶级数表示,则在圆筒内外边界,用径向应力σρ和切向应力τρθ表示的应力边界条件为:内边界L1(ρ=R1):外边界L2(ρ=R2):在内边界1L处,若假定无外荷载作用,则:在外边界2L处,则:将P0(1+msin2θ)展开为傅里叶级数:则将圆筒内外边界的应力和式(6)代入式(4)、式(5)可得:其余的Ak、Bk均为0。应力边界条件也可以用两解析函数ϕ1(z)、ψ1(z)表示,则在圆筒的内外边界,应力边界条件可写为:内边界:外边界:式中:-∞<k<+∞。对于厚壁圆筒,当荷载关于x轴、y轴对称时,ak为实数,故可以解得:其余ak均为0。其余均为0。应力分量可以通过式(17)、式(18)求解:已知后,则可求出,代入式(17)、式(18),联立可解得:将σρ、σθ、τρθ的表达式(19)―式(21)代入式(22)即可求得圆筒内任意一点的主应力:2确定小口径处拉应力区由σ1、σ2的应力表达式分析可知,对于不同的m值,在厚壁圆筒内有可能会产生拉应力区。鉴于荷载是关于x轴、y轴对称的,以下应力分析都是在[0,π/2]区间内进行的。由式(19)―式(22)可知,圆筒在θ=0o和θ=90o处会产生极值,故若保证此两处不产生拉应力,则圆筒内就不会存在拉应力区。当圆筒内不存在拉应力区时,在θ=0o和θ=90o处,由式(21)可得τρθ=0,此两处圆筒的最大主应力σ1与最小主应力σ2即为σρ和σθ。下面根据应力分量表达式(19)、式(20),确定此两处不存在拉应力区时,m的取值范围。在τρθ=0时无体力分量时平面问题的平衡方程:可变为:由式(24)可知,当σθ为压应力时,σρ也必为压应力。由式(20)可知,圆筒可能会在θ=90o内壁附近以及θ=0o外壁附近产生拉应力区,但圆筒会在前者产生较大的切向拉应力集中,故若这两处不存在拉应力区,则必有σθ(ρ=R1,θ=90o)0。代入式(20)可得:由表达式可以看出1c值与筒外荷载0P值无关,即无论0P值多大,只要mc1,圆筒此两处就不存在拉应力区,当m>c1时,圆筒一定会在内壁θ=90o附近产生拉应力区,但在外壁θ=0o附近却不一定产生拉应力,当圆筒外壁不存在拉应力区时,同理由σθ(ρ=R2,θ=0o)0解得:可以证明c2>c1,同样2c值也与筒外均布荷载0P值无关。当m>c2时,圆筒不仅在θ=90o内壁附近产生拉应力,还会在θ=0o外壁附近产生拉应力区。3确定战略机械应力区,并在一定的时间上出现并随m的持续向内扩展设外半径2R=6.5m,内半径1R=5.0m的厚壁圆筒在外部作用有径向应力2(1+msin2θ)MPa。由第2节应力分析可知,1c=0.294,2c=0.306,当m0.294时,厚壁圆筒内不存在拉应力区,且会在内壁θ=0o处产生最大的切向压应力集中。当m>0.294时,圆筒会在内壁θ=90o附近产生拉应力区,并随着m值的增大,拉应力区从此处不断向外扩展,当m>0.306时,圆筒不仅会在θ=90o内壁附近产生拉应力区,还会在θ=0o外壁附近产生拉应力区,并随着m的增大拉应力区也从此处不断向内扩展。其中,m=0.294时,圆筒在内壁θ=90o处切向应力为零。当m=0.306时,圆筒在外壁θ=0o处切向应力为零。图2给出了1m=0.25和2m=0.35时厚壁圆筒θ=90o处的径向应力与切向应力图。1m对应于实心图,2m对应于空心图。曲线σρ1/P0和σθ1/P0分别对应于1m=0.25时圆筒径向应力和切向应力与0P的比值,曲线ρ2/P0和θ2/P0分别对应于1m0.35时圆筒径向应力和切向应力与0P的比值。由图2可以看出,当m值相差不大时,厚壁圆筒径向应力与P0之比相差也不大,图2中σp1/P0与σp2/P0两线近乎重合(σp2/P0值偏大),但切向应力与P0之比相差很大。当m2=0.35时,圆筒内产生了拉应力,且在内壁处出现了明显的切向拉应力集中σθ=-1.86MPa。圆筒径向也会产生拉应力,本例中径向最大拉应力产生在ρ=5.067m处,值为-11.64kPa。当m1=0.25时,圆筒内没有出现受拉区,此时圆筒会在内壁θ=0o处产生最大压应力集中σθ=20.57MPa。图3给出了m=0.25条件下圆筒内壁(ρ=R1)处的切向应力分布图。随着m值的增大,圆筒拉力区不断扩展:内壁θ=90o处拉力区不断向外壁扩展,外壁θ=0o处拉力区不断向内壁扩展。图4给出了m值依次为0.4、0.6、0.8和1时厚壁圆筒拉力区扩展图。4解析解的检验可以验证求得的应力解析解式(19)―式(21)满足用应力表示的相容方程:且满足应力边界条件。所以求得的应力解析解是正确的。图5给出了本算例用ANSYS有限单元法模拟计算的结果。其中散点值表示ANSYS有限单元法模拟计算的结果,曲线表示解析解数值线。从图5中可以看出:解析解的计算结果与有限元模拟的结果是十分吻合的,由此也验证了解析解的正确性。5确定厚壁涤纶的拉应力区文中采用复变函数法给出了在圆筒外表面受有一类非均布径向压力作用下厚壁圆筒平面问题的应力解析解,发现随着非均布侧压系数的增大,圆筒内某些区域的切向应力和(或)径向应力会由压应力变为拉应力,并且切向拉应力远大于径向拉应力。在不存在拉应力区的前提下,文中反算出了非均布侧压系数m的范围,并给出了不同非均布侧压系数所对应的拉应力区。证明了:当mc1时,厚壁圆筒内不存在拉应力区,且会在内壁θ=0o处产生最大的切向压应力集中;当m>c1时,圆筒会在内壁θ=90o附近产生拉应力区,并随着m值的增大,拉应力区从此处不断向外扩展;当m>c2(c2>c1)时,圆筒不仅会在θ=90o内壁附近产生拉应力区,还会在θ=0o外壁附近产生拉应力区,并随着m的增大拉应力区也从此处不断向内扩展。其中,m=c1时,圆筒在内壁θ=90o处切向应力为零。