拱的平面内稳定分析的平衡方程

拱的平面内稳定分析的平衡方程

1钢梁和钢拱的非线性稳定性拱的稳定性是经典的稳定问题。只有少数解决方案。早期对拱稳定的研究都是在简化假定后进行的,经典解在工程上得到了广泛的应用。进入80年代,非线性力学知识和计算工具的发展,研究人员在研究中尽量不忽略看上去次要的项,理论更加完善,但是结果却与经典解有所不同(见表5的比较)。由于拱的临界荷载很少有试验验证,新的结果是否更加可靠有待于进一步的研究。下面进行简要的回顾。Timoshenko和Gere用平衡法得到铰支圆拱受径向匀布荷载的反对称屈曲临界荷载qx.cr为:式中E是材料弹性模量,I为拱截面惯性矩,R为圆拱半径,α是拱圆心角的一半。后来的研究者大多从弯曲构件的能量法推导非线性平衡方程,结果分歧较大。对铰支圆拱受径向匀布荷载的情况,Vlasov、Yoo和Pfeiffer、Yang和Kuo得到的结果与式(1)相同。Simitses、Papangelis和Trahair得到了不同的结果:而Kang和Yoo得到的结果为:Rajasekaran和Pandmanabhan得到的结果为:为什么这个经典问题的解有这么大的差异?Pi,Y.L.和Bradford认为式(1)和(2)的差异是因为采用了不同的弯矩-曲率公式,他们对深拱的稳定进行了有限元分析,结果在式(1)与式(2)之间,更接近于(1)式。本文进行研究对比发现,对应变的非线性的部分采用不同的近似也是产生差异的重要原因。上述研究大都没有考虑径向应力σr的影响,Yang和Kuo在研究拱的弯扭失稳时提出工字钢腹板中径向应力σr是一个不可忽略的应力分量,只有考虑了它的影响,拱弯扭失稳临界荷载才与经典的Timoshenko解一致。但是他们引入的σr的影响并不完全。童根树通过对直梁稳定的研究指出,横向应力是维持微元体平衡所必需的,在稳定问题中它的影响不能忽略。他们全面地考虑了工字形钢梁内的横向应力,包括翼缘中的横向应力,而不仅仅是腹板上的应力。许强推导了工字形圆弧曲梁中横向应力的显式。由于对非线性应变进行了近似,他仅在研究弯扭失稳时才出现了σs的影响,在平面内问题中没有出现σs影响。横向应力是直梁中板件单元的平衡所必须的,有必要在钢梁和钢拱的平面内稳定性研究中考虑他们的影响。因为保持平衡所必须的各个应力的二阶效应会互相抵消一部分,忽略任何一个应力分量都会导致某些项得不到抵消,从而有可能获得不正确的结果。基于上述观点,作者认为有必要从基本假定入手,推导没有任何近似的拱平面内非线性分析方程,以检验前人的结果,解决公式(1)~公式(4)之间的区别。2构件速率中心图1中r-θ-y为空间固定不变的圆柱坐标系,原点在构件曲率中心。x-y-z为截面坐标系,在构件变形时随着截面平移,z指向φ的增加方向。拱截面为双轴对称工字形,采用平截面假定,分析限于大位移、小应变的情况。2.1拱正应力与变形工字形截面拱的中面上任意点P沿x、z方向的位移为(许强):式中u为形心在x方向的位移,w为形心沿z方向的位移。()′=∂()/∂θ。拱有以下3个独立的应变分量,由线性和非线性部分构成:应变—位移关系为(Washizu):式中拱的正应力为σz=E(εzL+εzN),剪应力τzx和横向正应力σx由微元体平衡条件求出。截面的轴力N、弯矩M和剪力Qx为:2.2以m-为拱的虚功方程,写成展开形式便是:σz的虚功很容易推导,τzx和σx的非线性虚功为式中:于是就得到了整个的虚功方程:式中:将上面的变分用(8a,b,c)代入,并分部积分,利用εm-κ=-β′,得到基本微分方程为:以上两式未进行任何简化,可用于圆拱的屈曲分析和非线性分析。式中并不出现T,这是不同应力的非线性项相互抵消的结果。圆拱用内力表示的线性平衡方程为(图2)把(9)式的线性部分代入(12a,b,c),并利用(17c)式得到:在(16a,b)式的非线性部分引入(17a,b,c)式,并引用(8a,b,c)式,得到线性化的平衡方程为:上述方程可以作为非线性问题的线性化近似,或作为分步线性化求解的第一步。3干扰前的平衡方程根据判定稳定性的静力准则,给线性化分析求出的平衡状态施加位移干扰位移和内力在干扰后变为将它们代入(19a,b)式,整理后每个方程变成四部分。第一部分是干扰前平衡方程的左边部分,因干扰前的状态是平衡的,这一部分等于0;第二是干扰前的内外力与干扰位移的乘积;第三是干扰的内力增量与干扰前位移的乘积。第四是内力增量与位移增量的乘积项,由于干扰是微小的,这部分可以忽略掉。在判断稳定性施加干扰过程中外荷载不变,即于是得到下面判断拱平面内稳定性的方程:4拱体的弯矩m判断拱的稳定性需要知道拱的线性分析内力N,M,Qx。两端铰支圆拱在均布径向力作用下的线性精确解为:式中线性分析的内力图3和图4,图中N0=qxR,M0=qx(2αR)2/8是将拱展开成简支直梁时的弯矩,R=5m,EA=4.2x105kN,EI=1770kNm2。从图3~图4可以看出,α≥π/8时,拱的轴力接近qxR,剪力和弯矩都很小;α<π/8时,拱的轴力开始迅速减小,剪力和弯矩都开始增大,显示拱以自身弯曲抗弯的成分在急剧增加,挠度也比较大。因此从线性分析的结果看,α=π/8是深拱和浅拱的分界(拱的矢高比为1:10)。5力边界条件项对稳定方程(20a,b)求解,由不同的假定,可以得到不同的结果。(一)如忽略干扰的内力增量与干扰前位移的乘积项,即忽略屈曲前位移的影响,且认为拱内只有轴力N=qxR,其他内力为0。方程(20a,b)变为:若再采用拱屈曲时沿轴向不可伸长假定即可得:取可得到与式(1)相同的临界荷载。如果不采用中面不可伸长的假定,假设为利用(25a,b)式建立Galerkin方程,得到Ncr见表2。表中λ是以拱半边长度计算的长细比。由表可见采用和不采用中面不可伸长假定的有5~10%的差别,后者的临界荷载更大。(二)如果不忽略其他内力,但是忽略屈曲前位移的影响。(20a,b)式变为:用伽辽金法求解,位移函数(27a,b)式满足几何边界条件,但不完全满足力边界条件。虚功方程必须加上力边界条件项。干扰后力边界条件如下:内力采用线性分析的结果,干扰采用(27a,b),则当θ=±α时,又因为是偶函数,再忽略屈曲前位移影响,力边界条件项剩下:将位移函数代入带边界条件项的伽辽金方程,得到一个关于K的二次方程,用(24)得到qx.cr。表3为不同λ和不同α(α>π/8)的拱的计算结果。由表3可以看出:qx,crR3/EI随λ的减小而减小。当λ>50时,qx,crR3/EI变化很小,当λ<50时,qx,crR3/EI变化较剧烈。可见qx,crR3/EI并不象式(1,2,3,4)那样只与α有关,λ的影响也是相当的大。如此时采用中面不可伸长假定,即αD1=πD2,结果同样见表3。由表可见,对圆心角大的拱这个假定的影响较大。(三)如果不忽略任何项,判断稳定的方程采用(20a,b)式。干扰位移仍采用(27a,b)式,由前面的分析,要补充力的边界条件项为:采用Galerkin法得到一个关于K的二次方程,用(24)式即可得到qx,cr,结果见表4。表4还给出了采用不可伸长假定的结果。综合表2、表3与表4的结果,可以看出:(1)用仅考虑轴力的简化方程,不采用拱轴不可伸长假定,结果在式(1)和式(2)之间,α大时更接近于(1)式,α小时更接近于(2)式,临界荷载与长细比有关。当前的临界荷载公式与长细比无关是由中面不可伸长的假定带来的。(2)考虑其他内力,但不考虑屈曲前变形的影响,结果对α较大λ很小的拱才有明显影响;(3)考虑其他内力,但不考虑屈曲前变形的影响,采用中面不可伸长假定的结果,在α接近90度时也有比较明显的差别。(4)考虑其他内力,同时考虑屈曲前变形的影响,结果与不考虑屈曲前变形影响的相比,影响不大,但是可以注意到,考虑屈曲前变形后,对长细比小的拱,临界荷载有所增大。表5是本文考虑所有内力和屈曲前变形影响,不采用不可伸长假定,λ=100的结果与(1)~(4)式的比较,图5是本文结果与Pi,Y.L.和Bradford(2002)采用非常复杂的有限元方法得到的结果的比较,两者非常吻合,图中NP=(π2EI)/(αR)2。6拱的总势能方程前面提到过的公式(1)~(4)之间的差异,原因在于,各研究者对线性和非线性正应变采用的不同的近似,以及对剪应力和横向应力的非线性效应的忽略与否或者近似程度不同。有必要对各研究者采用的位移应变关系进行比较。为了比较方便,作者把其他研究者的结果转化到本文的坐标系下。Timoshenko和Vlasov都是用平衡法得到的平衡方程,Timoshenko采用(18b)式,利用拱在均布径向力作用下失稳时M=-qxRu,代入后得到稳定方程:此式与(26)式不同,但解都为(1)式。Vlasov由(17a,b,c)式得到先用直梁的位移内力的关系(M=EIξ′、qx=Nξ′(假想横向荷载))代入上式,再用弯曲构件的关系式(ξ′=Ru′+u)代替直梁的ξ′即可得到稳定方程(26)式(qz=0)。Simitses是采用下列应变式:它们与(7a,b)式是不同的。Simitses用虚功原理推出稳定方程如下:解上述方程得到式(2)。Papangelis,J.P.,Trahair,N.S.推导出的线性正应变的公式为:并进一步认为得到近似的正应变(37a)。在建立虚功方程时只考虑纵向正应变,利用总势能的二阶变分为零得到判断方程。假定两端铰支拱在均布径向力作用下拱内只有轴力N=qxR。其他的内力都忽略不记,采用w′+u=0假定,由上面方程求得式(2)。Pi,Y.L.和Bradford采用(37a)和(7a)这两种不同的线性应变式分别建立拱的总势能方程,非线性应变与Simitses相同,令总势能的二阶变分为零得到稳定方程。用w′+u=0假定,可以分别得到式(2)和式(1),但有限元结果更接近式(1)。Yoo采用Vlasov的内力表达式,用直梁比拟的方法,得到拱的总势能方程:在采用中面不可伸长假定后,得到稳定方程如下:解此方程可得到式(1)。Yang中采用的应变式如下:与本文式(7)比较可知:正应变非线性部分忽略了剪应变非线性部分与本文的(7e)式比较并不完整,考虑了横向应力σx的影响,但σx对面积的积分为∫AσxrdA=M,与本文的(14)式有区别。Yang用上述应变由虚功原理推出平衡方程如下(均布荷载为0):Yang中没有考虑横向应力σx的影响,方程中有M的影响:假定两端铰支拱在均布径向力作用下拱内只有轴力N=qxR。其他的内力都忽略不记,采用w′+u=0假定,文献得到了(26)式。Kang采用下列应变式:其他应变分量全为零。与式(7)比较,它忽略了剪应变和横向应变的非线性部分,纵向正应变的非线性部分也不相同。Kang用上面的应变式由虚功原理推出的平衡方程如下:假定两端铰支拱在均布径向力作用下拱内只有轴力N=qxR,采用w′+u=0假设,得到稳定方程:解此方程得到式(3)。比较表5中的值,可以看出:对非线性纵向正应变的项的简化,忽略某一项的一部分并不比把该项全部忽略得到的结果精度高。Rajasekaran采用的线性应变式与Kang的相同,但在正应变的非线性部分的推导中出现了量纲问题,导致了不正确的结果。许强是采用与Yang相同的纵向应变,但忽略所有其他应变,平衡方程为:假定拱内只有轴力N=qxR,利用w′+u=0假定,得到(26)式通过上边的比较可以看出:(1)式(1)和式(2)的不同是由于正应变的线性部分的不同产生的。式(3)是由于不同的正应变的非线性部分得到的。(2)虽然很多研究者都得到了式(1),但他们的非线性平衡方程式是不同的。只是在假定两端铰支拱在均布径向力作用下拱内只有轴力N=qxR,其他的内力都忽略不记,屈曲时假定拱轴线不可伸长即w′+u=0以后,才得到了相同的结果。7拱非线性作用下的屈曲问题本文由平截面假定出发,引用有限变形下的应变位移关系,由虚功方程推导出了圆拱的平面内的非线性平衡方程。推导中完整地考虑了横向应力和剪应力的二阶效应,没有忽略任何的非线性项。并给出了工字型单轴对称截面拱的横向应力和剪应力的非线性功的显式。利用拱微段线性平衡方程,求出拱的内力分布,对非线性方程做了线性化近似,得到的方程更为简化,但也引入了一定的近似。得到的方程可以作为非线性问题的线性化近似,可以用于求解屈曲问题和非线性不是特别严重的拱的失稳问题(拱矢高比大于等于1:10)。本文研究表明,忽略横向应力的非线性影响会导致总势能表达式中的某些项不能抵消掉,导致不正确的结果。本文由拱的非线性平衡方程入手,推导了屈曲方程,对以前的研究者的研究做了对比,指出了他们之间的出现差异的原因。文中求得了两端铰接圆拱在匀布径向力作用下的线性解析解。结果表明,当拱的圆心角的一半α≥π/8时(拱的矢高比大于1:10)时,假设拱内只有拱轴力有比较好的近似。当圆心角更小时,拱以截面弯曲抵抗荷载的比例增加较快,拱的非线性效应会增加。本文对两端铰接的圆拱在匀布径向力作用下的反对称屈曲做了深入的分析。推导了可以考虑屈曲前的内力和变形影响的稳定方程