小学数学思想方法

小学数学思想方法选讲2021/5/91一、什么是数学思想方法？

所谓的数学思想，是指人们对数学理论与数学内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。

所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。

数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法有时很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。

2021/5/92二、小学为什么要渗透数学思想方法？《数学课程标准》明确提出数学的学习目标是：“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必需的应用技能。”在小学阶段有意识地让学生感悟一些基本的数学思想方法可以加深对数学概念、公式、法则、定理的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在；同时也能为初中数学思想方法的学习打下较好的基础。2021/5/93三、在小学阶段，数学思想方法主要有小学阶段数学思想方法主要有：抽象、模型、推理（合情推理、演绎推理）抽象（分类思想、符号化思想、数形结合思想、集合思想、守恒思想、对称思想、极限思想）合情推理（转化思想、联想类比思想、归纳思想、特殊与一般思想）；演绎推理（演绎推理思想、变换思想、公理化思想、等量代换思想）模型思想（简化思想、量化思想、方程思想、函数思想、优化思想、统计概率思想）2021/5/94（一）感悟符号化思想数学符号是数学的语言，数学世界是符号化的世界，数学作为人们进行表示数量关系，计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才能使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学普及和发展。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。1、符号化思想的概念：2021/5/95（一）感悟符号化思想2、符号在小学数学教材中渗透知识领域知识点具体应用应用拓展数与代数数的表示阿拉伯数字：0-9中文数字：一至十百分号：%千分号：‰负号：-用数轴表示数数的运算+、－、×、÷、（）、[]、平方、立方大括号：{}数的大小=、≈、﹥、﹤≦、≧、≠运算定律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：（ab）c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+aca(b-c)=ab-ac2021/5/96（一）感悟符号化思想2、符号在小学数学教材中渗透知识领域知识点具体应用应用拓展空间与图形用字母表示计量单位长度单位：km、m、dm、cm、mm面积单位：km2m2dm2cm2体积单位：m3、dm3、cm3容积单位：l、ml质量单位：t、kg、g用符号表示图形用字母表示点、三角形ABC用符号表示角△ABC线段AB射线C直线L两线段平行：AB//CD两线段垂直：AB⊥CD□ABCD2021/5/972、符号在小学数学教材中渗透知识领域知识点具体应用应用拓展用字母表示公式三角形面积：s=1/2ah平等四边形面积：s=ah长方形面积：s=ab正方形面积：s=a2长方形周长：c=2(a+b)正方形周长：c=4a梯形面积：1/2(a+b)h圆周长：c=2∏r圆面积：s=∏r2长方体体积：v=abh正方体体积：v=a3圆柱体体积：v=sh圆锥体体积：v=1/3sh统计与概率统计图和统计表描述分析各种信息可能性用分数表示可能性的大小2021/5/98（一）、感悟符号化思想3、符号化思想在教学中感悟和运用。（1）能从具体的情境中引导学生逐步抽象数量关系和变化规律，并能用符号来表示。（2）培养学生理解并自觉运用符号表示数量关系和变化规律。（3）培养学生进行符号间的转换。（4）指导能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。2021/5/99（二）、感悟“转化”数学思想1、转化思想的概念人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式，把它化为能够解决或比较容易解决的问题，最终使得问题得到解决，这种思想方法称为转化思想。2、转化思想所遵循的原则（1）数学化原则（2）熟悉化原则（3）简单化原则（4）直观化原则2021/5/9103、转化思想在小学数学教学中的应用知识领域知识点应用举例数的意义整数的意义：用实物操作和直观图形帮助理解小数的意义：用直观图和人民币分数的意义：用直观图来帮助学生理解负数的意义：用数轴和温度计来直观四则运算的意义加法的意义：实物和直观图形帮助理解合并意义减法的意义：加法的逆运算（或直观认识）乘法的意义：由同数连加算式转化而来除法的意义：乘法的逆运算四则运算的法则整数加减法：用实物操作和直观图理解算法小数加减法：小数点对齐，然后按照整数方法计算小数乘法：先按整数乘法的方法计算，再点小数点小数除法：先把除法转化为整数，按照整数除法的法则进行计算。异分母公数加减法：转化为同分母数加减法计算2021/5/9113、转化思想在小学数学教学中的应用渗透知识领域知识点应用举例四则运算的法则分数乘整数：转化为同数连加分数乘分数：用直观图帮助理解分数除法：转化为分数乘法四则运算部分之间的关系a+b=c,c-a=b;ab=c,c÷a=b.简便计算运用运算定律和性质转化成能凑整的形式来计算方程解方程：解方程的过程就是不断把未知数前的系数转化为“1”的过程用方程解决问题：把复杂题意转化为简单的等量关系（数学模型）过程解决问题的策略化繁为简，植树问题，烙饼，鸡兔同笼等化抽象为直观，用线段图、图表、图象等直观表示数量之间的关系，帮助推理化实际问题为数学问题；简单应用题的两个转化,化一般问题为特殊问题化未知为已知化新问题为旧问题2021/5/9123、转化思想在小学数学教学中的应用渗透知识领域知识点应用举例三角形内角和通过剪、拼.折等操作活动转化为平角多边形的内角和通过分割转化为若干个三角形的内角和面积公式把正方形面积转化为长方形求面积平行四边形面积转化成长方形求面积三角形面积转化为平行四边形的面积梯形面积转化为平行四边形、三角形、长方形求面积圆的面积转化为近似长方形、平行四边形等求面积组合图形的面积转化为基本图形的面积体积公式正方体的体积转化为长方体的体积圆椎的体积转化为近似长方体的体积圆锥的体积转化为圆柱石体积横截面是梯形大体积转化为长方体的体积统计表和统计图应用不同的统计图表描述各种数据并相互转化可能性应用不同的方式表示可能性的大小2021/5/913（二）感悟“转化”数学思想4、解决问题中的转化策略在教学中的应用（1）化抽象问题为直观问题（2）化繁为简（化大为小）（3）化实际问题为特殊的数学问题（4）化未知问题为已知问题（5）化一般问题为特殊问题2021/5/914（三）、感悟模型思想数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表程序等都是数学模型。1、模型思想的概念2、模型思想的重要意义《新课标》修改稿，明确提出“初步形成模型思想”，并具体解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程，不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。这不仅表明了数学的应用价值，同时明确建立模型是数学应用和解决问题的核心。2021/5/9153、模型思想的具体感悟知识领域知识点应用举例数与代数数的表示自然数列：0、1、2、3…….用数轴表示数数的运算a+b=cc-a=bc-b=aa×b=c(a≠0、b≠0)c÷a=bc÷b=a运算定律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：abc=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc运算性质减法性质：a-b-c=a-(b+c)除法性质：a÷b÷c=a÷(bc)方程ax±b=cax+bx+c=d数量关系时间、速度和路程：s=rt数量、单价和总价：a=np2021/5/9163、模型思想的具体感悟知识领域知识点应用举例数与代数数量关系时间、速度和路程：s=rt数量、单价和总价：a=np正比例关系：y/x=k反比例关系：xy=k用表格表示数量关系用图像表示数量关系空间与图形用字母表示公式长方形面积：s=ab长方形周长：c=2(a+b)三角形面积：s=1/2ah平行四边形面积：s=ah梯形面积：s=1/2(a+b)h正方形面积：s=a2

周长：c=4a圆面积：s=∏r2

圆周长：c=2∏r长方体体积v=abh正方体体积：v=a3圆椎体体积：v=sh圆锥体体积：v=1/3sh用统计图表描述和分析各信息用分数表示可能性的大小2021/5/917（三）感悟模型思想4、模型思想的教学1、注重感悟模型思想。2、教会学生如何建立数学模型，并喜欢数学。（1）学生学习数学模型大概有两种情况：①基本模型的学习，即学习教材中的例题为代表的新知识，这个学习过程可能是一个探索的过程，也可能是一个接受学习的理解过程。②是利用基本模型去解决各种问题，即利用学到的基本知识解决教材中丰富多彩的习题以及教师有意识设计各种课内外问题。（2）数学建模是一个比较复杂和富有挑战性过程，大致经历以下几个步骤：①理解问题的实际背景，明确要解决什么问题，属于什么模型系统。②把复杂的事情经过分析和简化，确定必要的数据。③建立模型，可以是数量多少，还可以是图表形式。④解答问题。注意两点：2021/5/918（四）感悟推理思想1、推理思想的概念推理是从一个或几个已有的判断得出另一个判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的结论推出特殊性结论的推理。①三段论②选言推理③假言推理④关系推理合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。①归纳推理②类比推理2021/5/919（四）感悟推理思想我国传统小学数学教育的主要优势在于重视培养学生的运算能力、推理能力和空间想象能力，比较强调逻辑推理而忽视了合情推理。但《新课程》过于强调合情推理，在逻辑推理方面有所淡化。实践证明两者不可偏废。《新课标（试行稿）》明确推理的范围及作用“推理能力的发展应贯彻于整个教学过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们在学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论，演绎推理用于证明结论的正确性。2、推理思想的重要意义2021/5/9203、推理思想在小学教材中的感悟思想方法知识点应用举例不完全归纳法找规律找数列和图形的推理规律整数计算四则计算法则的总结（也有类比）运算定律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：a×b=b×a乘法结合律：（ab）c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac运算性质减法性质：a-b-c=a-(b+c)除法性质：a÷b÷c=a÷

(b×c)除法商不变的性质：分数分数的基本性质面积长方形面积公式的推理体积长方体体积公式的推理完全归纳法三角形三角形内角和的推导2021/5/9213、推理思想在小学教材中的感悟思想方法知识点应用举例类比推理读数、写法亿以内数的读写与万以内数读写相类比整数的运算四则计算法则：多位数加减法与两位数加减法相比较；除数是多位数除法与除数是一位数除法相类比小数的运算将整数的运算法则顺序、定律推广到小数分数的运算将整数的运算顺序和运算定律推广分数除法、分数和比除法商不变性质，分数的基本性质，比的基本性质面积与平行四边形面积公式的推导方法相类比、三角形、梯形和圆面积公式。同时也用转化思想。长度、面积、体积线、面、体之间的类比：线段有长度，用长度单位来计量；平面图形有大小，用面积单位来计量；立体图形占空间大小用体积单位来计量。解决问题数量关系相近的实际问题相类比，如分数实际问题与百分数问题。鸡兔同笼不同的素材的鸡兔同笼相类比抽屉原理不同素材抽屉原理问题相比较牛吃草、替换、盈亏等不同素材牛吃草、替换、盈亏问题相比较

2021/5/9223、推理思想在小学教材中的感悟思想方法知识点应用举例三段论多边形多边形内角和的推导面积正方形面积公式的推导三角形面积的推导梯形面积公式推导圆面积公式推导、扇形面积公式推导体积正方体体积的推导圆柱体体积推导圆锥体体积推导选言推理猜数、推理类似于人教版二年级数学广角中的“猜一猜”假言推理根据概念、性质进行判断的一些问题关系推理大小比较、恒等变形、等量代换2021/5/923（四）感悟推理思想4、推理思想在小学数学教学中的感悟《数学课程标准（试行稿）》指出：推理贯彻于数学教学始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理形式。教师在教学过程中应当设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。第一、推理是重要的方法之一，是数学基本思维方式，要贯彻于数学教学始终。第二、合情推理和演绎推理两者不可偏废。第三、在教学过程中要给学生提供各个领域的丰富的、有挑战性的观察、实验、猜想、验证等任务，去发现结论，培养推理能力。第四、把握好推理思想渗透教学的层次性和差异性。2021/5/924（五)感悟方程和函数思想方程和函数思想是初等数学代数领域的主要内容，也是解决实际问题的重要工具。它们都可以用来描述现实世界各种数量关系，而且它们之间有着密切的联系1、方程思想的核心是将问题中的未知数用数字以外的数学符号（常用x、y）表示，根据相关数量之间相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知的对应统一。2、函数思想的核心是事物变量之间存在着一种依存关系，因变量随着自变量的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的普遍联系的观点。方程研究确定的数和未知数常数之间数量关系（常量），函数研究变量之间的数量关系。可以将一些二元一次的不定方程转化为函数，用函数图像来求解。Ax+by+c=0==y=-a/bx-c/b它们在直角坐标系里画出来图像就是一条直线。再如y=kx+b的函数值得等于0，就是一元一次方程kx+b=0两者区别:两者联系:1、方程和函数思想的概念2021/5/925（五）感悟方程和函数思想2、方程和函数思想的具体应用思想方法知识点应用举例方程思想方程用一元一次方程解决整数和小数等各种问题分数、百分数和比例用一元一次方程解决分数、百分数和比例等数学问题等量代换二元一次方程组思想的渗透鸡兔同笼用方程解决鸡兔同笼问题2021/5/926（五）、渗透方程和函数思想2、方程和函数思想的具体应用思想方法知识点应用举例函数思想加法一个加数不变,和随着另一个加数变化而变化。可表示为y=x+b，渗透一次函数（一年级开始）积的变化规律一个因数不变,积随着另一个因数的变化而变化，可表示为y=kx，渗透正比例函数（二年级）商的变化规律除数不变，商随着被除数的变化而变化，可表示y=x/k，渗透正比例函数。被除数不变，商随着除数的变化而变化，可表示为y=k/x，渗透反比例函数思想。正比例关系正比例关系改写成y=kx,就是正比例函数反比例关系反比例关系改写成y=k/x,就是反比例函数数列等差数列、等比数列、一般数列每一项与序号之间的对应关系，可以看作特殊函数关系空间与图形长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式、长方体、正方体、圆柱体、圆锥体积公式、圆周长和圆面积等都是渗透了函数的思想统计图表函数列表法与统计表有相似之处2021/5/927（六）感悟几何变换思想变换是数学中一个带有普遍性的概念，代数中有数与式恒等变换，几何中有图形的变换。图形变换是初等几何中的一种重要的思想方法，它以运动变化的观点来处理孤立静止的几何问题，往往在解决问题的过程中收到意想不到的效果。1、初等几何变换的概念2、初等几何变换的分类

几何变换平移变换相似变换合同变换旋转变换反射变换（轴对称）2021/5/9283、图形变换思想的具体应用思想方法知识点教学应用举例对称变换画简单的轴对称图形认识轴对称图形，画出一个简单图形的轴对称图形平移变换认识平移、把简单图形平移1、判断生活中物体运动哪些是平移现象。2、画出一个简单图形沿水平方向，竖直方向平移后的图形。3、解决一些利用平移方法解决的周长和面积等问题。旋转变换感知旋转现象判断一些生活中物体运动哪些是旋转现象。把简单图形旋转90度画出一个简单图形顺时针或逆时针旋转90度的图形运用旋转解决问题能运用旋转方法解决一些图形中的问题合同变换图形的面积计算平行四边形、三角形、梯形和圆面积公式等推理图案的欣赏设计判断一些图案是由一些基本图形经过什么变换得到，利用平移、旋转、轴对称变换设计美丽图案相似变换画出长方形、正方形、三角形等简单的图形按照一定的比例放大或缩小后的图形变换简单图形放大或缩小（比例尺）2021/5/929（七）感悟分类讨论思想1、分类讨论思想的概念人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究来解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是“分而治之，各个击破，综合归纳”。（4）综合归纳、概括得出最后结论。它具有以下四个特点：（1）确定同一分类标准（2）既不重复又不遗漏（3）逐类逐级进行讨论2021/5/930（七）感悟分类讨论思想2、分类讨论思想的重要意义（1）分类讨论思想是培养有条理地思考和良好思维品质的一种重要而有效方法。无论解决纯数学问题，还是解决实际问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到有顺序、有层次全面的地思考和解决问题（2）从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局又能够由表及里，细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。分类思想与集合思想也有着比较密切联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。2021/5/9313、分类讨论思想在小学数学中的具体应用知识点教学应用举例分类一年级上册物体的分类，渗透分类思想与集合思想数的认识①整数可以分为奇数和偶数②正整数可以分为1、素数和合数③小数分有限和无限两类，无限小数分无限循环小数和无限不循环小数④分数可以分为真分数和假分数数的运算根据运算意义进行分类：＋、－、×、÷图形的认识平面图形中多边形可分为：三角形、四边形、五边形、六边形三角形按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三角形按边分类：不等边，等腰两类等腰三角形又可分为等边三角形和腰与底边不相等腰三角形四边形按对边是否平行可分为：平行四边形、梯形和两组对边都不平行的统计数据分类整理和描述排列组合分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础概率排列组合是概率计算的基础植树问题先确定几排树，再确定每排树的情况：两端都种、一端种一端不种、两端都不种抽屉原理构建抽屉实际上是应用分类标准，把所有元素进行分类解决比较复杂问题需要先分类讨论，然后解决问题2021/5/932（七）感悟分类讨论思想4、分类讨论思想的在教学中运用（1）在一年级分类单元的教学中注意渗透分类思想和集合思想。（2）在三大领域知识：教学中注意经常性地让学生感悟分类和集合思想，如平面图形和立体图形的分类，数的分类，运算的分类。（3）注意从数学思维和解决问题方法上感悟分类思想，如排列、组合、可能性的计算、抽屉原理等问题经常运用分类讨论思想和解决。2021/5/933（八）感悟统计思想1、统计思想的概念现实生活中有大量的数据需要分析和研究，有时需要对所有数据进行全面调查，如我国为了掌握人口真实情况，曾经多次进行过人口普查。但一般情况不可能也不需要考察所有对象，如物价指数，商品合格率等，就需要采取抽样调查的方法收集和分析数据，用样本来估计总体，从而进行合理的推断和决策，这就是统计的思想方法。2、统计思想的重要意义传统教材中统计图表的知识是必学内容，但对统计认识和教学仅局限于统计知识和技能本身，并没有把统计与信息时代和市场经济社会很好联系起来。因而《新课程》对统计的教学内容和要求进行调整：要使学生熟悉统计思想方法，逐步形成统计观念，有助于应用随机的观点理解世界，形成科学世界观和方法论。2021/5/934（八）感悟统计思想3、统计思想在小学数学教材中具体体现：小学数学中，统计思想的应用大体可分为两种：一是在各册教材中安排很多独立单元，进行统计知识的教学。二是在其他领域知识学习中不同程度应用统计知识作为知识呈现的的载体和解决问题方法进行教学。具体知识点主要有：象形统计图、单式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图，单式折线统计图，扇形统计图、平均数、中位数、众数等。（3）能对给定数据的来源、收集和描述的方法，以及分析的结论进行合理的质疑。4、统计思想教学举例（1）注重过程性目标的教学（2）认识统计对决策的作用，能从统计角度思考与数据有关问题2021/5/935（九）感悟集合思想1、集合的概念把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合，其中每个事物叫做该集合的元素。给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个事物是否属于这个集合