江西省2022年中考数学总复习课后强化训练-评估检测卷(六)　圆

评估检测卷(六)圆(本试卷满分120分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项)1．已知⊙O中最长的弦长为8cm，则⊙O的半径是()A．2cm B．4cmC．8cm D．16cm解析：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm.答案：B2．如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB＝52°，则∠NOA的度数为()A．76° B．56°C．54° D．52°解析：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM.∴∠ONM＝90°，∴∠ONB＝90°－∠MNB＝90°－52°＝38°.∵ON＝OB，∴∠B＝∠ONB＝38°.∴∠NOA＝2∠B＝76°.答案：A3.小名同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为160mm，直角顶点到轮胎与底面接触点AB长为320mm，请帮小名计算轮胎的直径为()A．350mm B．700mmC．800mm D．400mm解析：如图，连接OB，OC，作CD⊥OB于D.设⊙O的半径为xmm，在Rt△OCD中，由勾股定理得方程(x－160)2＋3202＝x2，解得x＝400，∴2x＝800.∴轮胎的直径为800mm.答案：C4．如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为(只考虑小于90°的角)()A．54° B．55°C．56° D．57°解析：连接O1P，O2P，如图，∵P在小量角器上对应的刻度为63°，即∠O1O2P＝63°，而O1P＝O1O2，∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°.∴∠PO1O2＝180°－63°－63°＝54°.即点P在大量角器上对应的刻度为54°(只考虑小于90°的角)．答案：A5.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC，过点B作BD∥OC，交⊙O于点D，连接AD，若∠BAC＝20°，则∠BAD的度数等于()A．30° B．40°C．50° D．60°解析：∵∠BAC＝20°，∴∠BOC＝2∠BAC＝40°.∵OC∥BD，∴∠B＝∠BOC＝40°.∵AB为直径，∴∠ADB＝90.∴∠BAD＝90°－40°＝50°.答案：C6．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM＋CN＝4，则⊙O的面积为()A．π B．2πC．4π D．0.5π解析：如图，设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F，连接OE，OF，则四边形OECF是正方形，∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°.∵∠MON＝90°，∴∠EOM＝∠FON.∴△OEM≌△OFN(ASA)．∴EM＝NF.∴CM＋CN＝CE＋CF＝4.∴OE＝2.∴⊙O的面积为4π.答案：C二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是________cm.(结果保留一位小数)解析：由垂径定理可知，圆的圆心在点O处，连接OA，由勾股定理，得OA＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴圆的周长＝2eq\r(2)π≈8.9.答案：8.98．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝2cm，则球的半径为________cm.解析：如图，取EF的中点M，作MN⊥BC于点N，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°.∴四边形CDMN是矩形．∴MN＝CD＝2.设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN－ON＝2－x，MF＝1.在Rt△OMF中，OM2＋MF2＝OF2，即(2－x)2＋12＝x2，解得x＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)9．如图，▱BCDE的顶点B，C，D在半圆O上，顶点E在直径AB上，连接AD，若∠CDE＝68°，则∠ADE的度数为________°.解析：∵四边形BCDE为平行四边形，∴∠B＝∠CDE＝68°.∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∴∠ADC＝180°－68°＝112°.∴∠ADE＝∠ADC－∠CDE＝112°－68°＝44°.答案：4410．如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，OA交⊙O于点B，连接BC.已知⊙O的半径为2，∠A＝20°，则eq\o(BC,\s\up8(⌒))的长为__________．(结果保留π)解析：∵PA切⊙O于点P，PC是⊙O的直径，∴∠APO＝90°.∵∠A＝20°，∴∠BOC＝∠A＋∠APO＝20°＋90°＝110°.∵⊙O的半径为2，∴eq\o(BC,\s\up8(⌒))的长为eq\f(110·π×2,180)＝eq\f(11,9)π.答案：eq\f(11,9)π11．如图，某数学兴趣小组将边长为10的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形ABD的面积为________．解析：由题意eq\o(BD,\s\up8(⌒))的长＝CD＋BC＝10＋10＝20，S扇形ABD＝eq\f(1,2)··AB＝eq\f(1,2)×20×10＝100.答案：10012.如图，在平面直角坐标系中，已知C(2,4)，以点C为圆心的圆与y轴相切．点A，B在x轴上，且OA＝OB.点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则线段AB长度的最大值为__________．解析：如图，连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A，B，此时AB的长度最大，∵C(2,4)，∴OC＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴⊙C的半径为2.∴OP＝OA＝OB＝2eq\r(5)＋2.∵AB是直径，∴∠APB＝90°.∴AB长度的最大值为4eq\r(5)＋4.答案：4eq\r(5)＋4三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13.如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM，OP上，并且∠POM＝45°，求正方形ABCD的边长．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD.∴∠DCO＝90°.∵∠POM＝45°，∴∠CDO＝45°.∴CD＝CO.∴BO＝BC＋CO＝BC＋CD.∴BO＝2AB.连接AO，如图，∵MN＝10，∴AO＝5.在Rt△ABO中，AB2＋BO2＝AO2，即AB2＋(2AB)2＝52，解得AB＝eq\r(5)，则正方形ABCD的边长为eq\r(5).14.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是圆O上任意一点，连接AD，AG，GD.(1)求证：∠ADC＝∠AGD；(2)若BE＝2，CD＝6，求圆O的半径．解：(1)证明：∵AB⊥CD，∴eq\o(AC,\s\up8(⌒))＝eq\o(AD,\s\up8(⌒)).∴∠ADC＝∠AGD；(2)如图，连接OC，设OC＝r，∵BE＝2，CD＝6，∴CE＝3，OE＝r－2.在Rt△OEC中，32＋(r－2)2＝r2，解得r＝eq\f(13,4)，∴圆O的半径为eq\f(13,4).15.在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD.(1)求证：AD＝CD；(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．解：(1)证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∴图形G为△ABC的外接圆⊙O.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴eq\o(AD,\s\up8(⌒))＝eq\o(CD,\s\up8(⌒)).∴AD＝CD；(2)如图，连接OD，∵AD＝CM，AD＝CD，∴CD＝CM.∵DM⊥BC，∴BC垂直平分DM.∴BC为直径．∴∠BAC＝90°.∵eq\o(AD,\s\up8(⌒))＝eq\o(CD,\s\up8(⌒)).∴OD⊥AC.∴OD∥AB.∵DE⊥AB，∴OD⊥DE.∴DE为⊙O的切线．∴直线DE与图形G的公共点个数为1.16.如图，已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R.(1)求证：eq\f(AC,sinB)＝2R；(2)若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝eq\r(3)，求BC的长及sinC的值．解：(1)证明：如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，则∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(AC,2R)，∴eq\f(AC,sinB)＝2R；(2)∵eq\f(AC,sinB)＝2R，同理，可得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝2R，∴2R＝eq\f(\r(3),sin60°)＝2.∴BC＝2R·sinA＝2sin45°＝eq\r(2).如图2，过C作CE⊥AB于E，∴BE＝BC·cosB＝eq\r(2)cos60°＝eq\f(\r(2),2)，AE＝AC·cos45°＝eq\f(\r(6),2).∴AB＝AE＋BE＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).∵AB＝2R·sinC，∴sinC＝eq\f(AB,2R)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为eq\o(BD,\s\up8(⌒))的中点，延长AD，BC交于P，连接AC.(1)求证：AB＝AP；(2)当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长．解：(1)证明：∵C为eq\o(BD,\s\up8(⌒))的中点，∴∠BAC＝∠CAP.∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ACP＝90°.∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠P＋∠CAP＝90°，∴∠ABC＝∠P.∴AB＝AP.(2)如图，连接BD.∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDP＝90°.∵AB＝AP＝10，DP＝2，∴AD＝10－2＝8.∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(102－82)＝6.∴PB＝eq\r(BD2＋PD2)＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).∵AB＝AP，AC⊥BP，∴BC＝PC＝eq\f(1,2)PB＝eq\r(10).∴CP＝eq\r(10).四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，在7×7的正方形网格(每个小正方形的边长为1)中，一条圆弧经过A，B，C三点.(1)在正方形网格中直接标出这条圆弧所在圆的圆心O；(2)求弧AC的长．解：(1)如图，连接AB，BC作线段AB、线段BC的垂直平分线，两线交于点O，则点O即为所求；(2)连接AC，AO，OC，∵AC2＝62＋22＝40，OA2＋OC2＝42＋22＋42＋22＝40，∴AC2＝OA2＋OC2.∴∠AOC＝90°.在Rt△AOC中，∵OA＝OC＝2eq\r(5)，∴eq\o(AC,\s\up8(⌒))的长＝eq\f(90·π×2\r(5),180)＝eq\r(5)π.19.如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，BC＝PC.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若AB＝2，BP＝7，求⊙O的半径．解：(1)证明：如图，连接OB.∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.又∵BC＝PC，∴∠P＝∠CBP.∵OP⊥AD，∴∠A＋∠P＝90°.∴∠OBA＋∠CBP＝90°.∴∠OBC＝180°－(∠OBA＋∠CBP)＝90°.∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；(2)∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∴∠ABD＝∠AOP.∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AOP.∴eq\f(AB,OA)＝eq\f(AD,AP).设⊙O的半径为r，则AD＝2r，∵AB＝2，BP＝7，∴eq\f(2,r)＝eq\f(2r,2＋7).∴r＝3(负值舍去)．∴⊙O的半径为3.20.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝m，∠D＝60°，以AB为直径作⊙O.(1)求圆心O到BC的距离；(2)求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示)；(3)当m取何值时，CD与⊙O相切；(4)当m取何值时，CD与圆有两个交点．解：(1)如图，过点O作OH⊥BC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝60°.∵AB＝10，∴OB＝5.∴OH＝eq\f(\r(3),2)OB＝eq\f(5\r(3),2).∴圆心O到BC的距离为eq\f(5\r(3),2)；(2)如图，分别过A，O两点作AE⊥CD，OF⊥CD，垂足分别为点E，F，∴AE∥OF，OF就是圆心O到CD的距离．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴AE＝OF.∵在Rt△ADE中，∠D＝60°，sin∠D＝eq\f(AE,AD)，∴sin60°＝eq\f(AE,AD).∴eq\f(\r(3),2)＝eq\f(AE,m).∴AE＝eq\f(\r(3),2)m.∴OF＝AE＝eq\f(\r(3),2)m.∴圆心到CD的距离OF为eq\f(\r(3),2)m；(3)∵OF＝eq\f(\r(3),2)m，AB为⊙O的直径，且AB＝10，∴当OF＝5时，CD与⊙O相切于F点．即eq\f(\r(3),2)m＝5，m＝eq\f(10\r(3),3)，∴当m＝eq\f(10\r(3),3)时，CD与⊙O相切；(4)若⊙O与线段CD有两个公共点，则5<m＜eq\f(10\r(3),3).五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21.如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．解：(1)证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是eq\o(BC,\s\up8(⌒))对的圆周角，∠ABC与∠APC是eq\o(AC,\s\up8(⌒))所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴△ABC为等边三角形；(2)如图，过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1.∴等边△ABC的边心距为1.22.如图，AB是⊙O的弦，直线BC与⊙O相切于点B，AD⊥BC，垂足为D，连接OA，OB.(1)求证：AB平分∠OAD；(2)当∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm时．①直接写出扇形AOB的面积约为________cm2(结果精确到1cm2)；②点E是⊙O上一动点(点E不与点A，B重合)，连接AE，BE，请直接写出∠AEB＝__________°.解：(1)证明：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.∵OB⊥CB，AD⊥BC，∴OB∥AD.∴∠OBA＝∠DAB.∴∠OAB＝∠DAB.∴AB平分∠OAD；(2)①∵∠AOB＝100°，⊙O的半径为6cm，∴扇形AOB的面积为eq\f(100π×62,360)≈31(cm2)．故答案为31；②当点E在优弧AB上时，∵∠AOB＝100°，∴∠AEB＝50°.当点E在劣弧AB上时，∠AEB＝180°－50°＝130°，故答案为50或130.六、(本大题共12分)23．已知：如图，⊙O的半径为r，在射线OM上任取一点P(不与点O重合)，如果射线OM上的点P′，满足OP·OP′＝r2，则称点P′为点P关于⊙O的反演点．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙O的半径为2.(1)已知点A(4,0)，求点A关于⊙O的反演点A′的坐标；(2)若点B关于⊙O的反演点B′恰好为直