江西省2022年中考数学总复习课后强化训练-评估检测卷(五)　四边形

评估检测卷(五)四边形(本试卷满分120分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项)1.如图，螺丝母的截面是正六边形，则∠1的度数为()A．30° B．45°C．60° D．75°解析：∵这个正六边形的外角和等于360°，∴∠1＝360°÷6＝60°.答案：C2．如图，在菱形ABCD中，CE⊥AD于点E，cosD＝eq\f(3,5)，AE＝4，则AC的长为()A．8 B．4eq\r(5)C．4eq\r(10) D．4eq\r(13)解析：∵CE⊥AD，cosD＝eq\f(3,5)＝eq\f(DE,CD)，设DE＝3x，CD＝5x，由勾股定理，可得CE＝eq\r(CD2－DE2)＝eq\r(5x2－3x2)＝4x，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.即AE＋ED＝CD，∴4＋3x＝5x.解得x＝2，∴AD＝DC＝10，CE＝8.∴AC＝eq\r(AE2＋CE2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5).答案：B3．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于()A．6 B．8C．4eq\r(3) D．8eq\r(2)解析：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB.∴OA＝OB.∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形．∴OA＝AB＝4.∴AC＝2OA＝8.答案：B4．在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AD∥BC，给出下列条件：①AB∥CD；②AB＝CD；③∠DAB＝∠DCB；④AD＝BC；⑤∠OAD＝∠ODA.从中选1个作为条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A．2种 B．3种C．4种 D．5种解析：已知AD∥BC，加上①AB∥CD可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定；加上②AB＝CD不能判定是平行四边形；加上③∠DAB＝∠DCB可证明AB∥CD，可根据两组对边平行的四边形是平行四边形进行判定；加上④AD＝BC可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；加上⑤∠OAD＝∠ODA不能判定是平行四边形．答案：B5．把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置，则图中阴影部分的面积为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：如图，设BC＝x，则CE＝1－x，易知△ABC∽△FEC.∴eq\f(AB,EF)＝eq\f(BC,CE)，即eq\f(1,2)＝eq\f(x,1－x).解得x＝eq\f(1,3)，∴阴影部分面积为eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×1＝eq\f(1,6).答案：D6．某小区打算在一块长80m，宽7.5m的矩形空地的一侧，设置一排如图所示的平行四边形倾斜式停车位若干个(按此方案规划车位，相邻车位间隔线的宽度忽略不计)．已知规划的倾斜式停车位每个车位长6m，宽2.5m，如果这块矩形空地用于行走的道路宽度不小于4.5m，那么最多可以设置停车位()A．16个 B．15个C．14个 D．13个解析：如图，根据题意，可知AB＝7.5，BC≥4.5，∴AC≤3.当AC＝3时，∵AD＝GF＝6，∴∠ADC＝30°，CD＝3eq\r(3).∴∠EFD＝∠ADC＝30°.∵DE＝2.5，∴DF＝5.设最多可以设置停车位x个，∵S平行四边形ADFG＝DF·AC＝5×3＝15，S△ADC＝eq\f(1,2)×CD·AC＝eq\f(9\r(3),2)，∴15x＋2×eq\f(9\r(3),2)≤80×3.解得x≤14.96，所以最多可以设置停车位14个．答案：C二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作等边△CDF，使点F在其内部，连接FE，则∠DFE＝________°.解析：因为△CDF是等边三角形，所以∠CDF＝60°.因为∠CDE＝(5－2)×180°÷5＝108°，所以∠EDF＝108°－60°＝48°.因为DE＝DF，所以∠DFE＝(180°－48°)÷2＝66°.答案：668．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的高DE＝________cm.解析：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于O，且AC＝8cm，BD＝6cm，∴菱形的面积＝eq\f(1,2)×8×6＝24(cm)2.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝4cm，OD＝3cm.∴AD＝eq\r(OD2＋OA2)＝5cm.∴AB＝5cm.∴菱形的面积＝AB·DE＝24cm2.∴DE＝eq\f(24,5)＝4.8(cm)．答案：4.89．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝________时，平行四边形CDEB为菱形．解析：连接CE交AB于点O，如图所示，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，∴AB＝2BC＝12，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(122－62)＝6eq\r(3).若平行四边形CDEB为菱形，则CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB，∵eq\f(1,2)AB·OC＝eq\f(1,2)AC·BC，∴OC＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(6\r(3)×6,12)＝3eq\r(3).∴OB＝eq\r(BC2－OC2)＝eq\r(62－3\r(3)2)＝3.∴AD＝AB－2OB＝12－2×3＝6.答案：610．如图，在平面直角坐标系中，若矩形OABC的边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC＝6，OA＝12，则点B的坐标为______________．解析：如图，过点B作BE⊥x轴于E，交OA于H，∴∠OEH＝90°.∵四边形ABCO是矩形，∴AB＝OC＝6，∠A＝90°.∵∠AOE＝30°，∴∠AHB＝∠OHE＝60°.∴AH＝eq\f(\r(3),3)AB＝6×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3).∴BH＝2AH＝4eq\r(3).∵OA＝12，∴OH＝12－2eq\r(3).∴HE＝eq\f(1,2)OH＝6－eq\r(3)，OE＝eq\f(\r(3),2)OH＝6eq\r(3)－3.∴BE＝BH＋HE＝6＋3eq\r(3).∴点B的坐标是(6eq\r(3)－3,6＋3eq\r(3))．答案：(6eq\r(3)－3,6＋3eq\r(3))11．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线，分别交AD，BC于点E，F，若正方形的对角线长为eq\r(2)，则图中阴影部分的面积是________．解析：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC＝eq\r(2)，∴正方形ABCD的边长为1.∵依据已知和正方形的性质及全等三角形的判定可知△AOE≌△COF，∴图中阴影部分的面积为正方形面积的eq\f(1,4)，∵正方形的边长为1，其面积为1，∴这个图中阴影部分的面积为eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．解析：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝eq\r(BA2＋AC2)＝10.∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°.∴四边形DMAN是矩形．∴MN＝AD.∴当AD⊥BC时，AD的值最小．此时，△ABC的面积＝eq\f(1,2)AB×AC＝eq\f(1,2)BC×AD，∴AD＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(24,5).∴MN的最小值为eq\f(24,5).答案：eq\f(24,5)三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，过O作直线EF，与边AB，CD分别相交于点E，F.求证：四边形EHFG是平行四边形．证明：∵对角线AC的中点为O，∴AO＝CO.又∵AG＝CH，∴GO＝HO.∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB.∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA.∴△COF≌△AOE(ASA)．∴FO＝EO，且GO＝HO.∴四边形EHFG是平行四边形．14.如图，点E在▱ABCD的内部，AF∥BE，DF∥CE.(1)求证：△BCE≌△ADF；(2)若▱ABCD的面积为96cm2，求四边形AEDF的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∴∠ABC＋∠BAD＝180°.∵AF∥BE，∴∠EBA＋∠BAF＝180°.∴∠CBE＝∠DAF.同理，可得∠BCE＝∠ADF，在△BCE和△ADF中，∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠CBE＝∠DAF，,BC＝AD，,∠BCE＝∠ADF，))∴△BCE≌△ADF(ASA)；(2)∵点E在▱ABCD内部，∴S△BEC＋S△AED＝eq\f(1,2)S▱ABCD.由(1)，知△BCE≌△ADF，∴S△BCE＝S△ADF.∴S四边形AEDF＝S△ADF＋S△AED＝S△BEC＋S△AED＝eq\f(1,2)S▱ABCD.∵▱ABCD的面积为96cm2，∴四边形AEDF的面积为48cm2.15．如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的角平分线BE与CE相交于点E，且点E恰好落在AD上．(1)求证：BE2＋CE2＝BC2；(2)若AB＝2，求▱ABCD的周长．解：(1)∵证明：BE，CE分别平分∠ABC和∠BCD，∴∠EBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq\f(1,2)∠BCD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠ABC＋∠BCD＝180°.∴∠EBC＋∠ECB＝90°.∴∠BEC＝90°.∴BE2＋CE2＝BC2.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝2.∴∠EBC＝∠AEB.∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE.∴∠AEB＝∠ABE.∴AB＝AE.同理，可得DE＝DC，∴DE＋AE＝AD＝4.∴C▱ABCD＝2×(4＋2)＝12.16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA.(1)求证：四边形ADCE是菱形；(2)连接DE，若AC＝2eq\r(3)，BC＝2.求证：△ADE是等边三角形．证明：(1)∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝eq\f(1,2)AB＝BD＝AD.∴平行四边形ADCE是菱形；(2)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2eq\r(3)，BC＝2，∴tan∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(3),3).∴∠CAB＝30°.∵四边形ADCE是菱形，∴∠EAD＝2∠CAB＝60°，AE＝AD.∴△ADE是等边三角形．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，O为BC中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接BE，CE.(1)求证：四边形DCEB为菱形；(2)若AC＝6，∠DCB＝30°，求四边形DCEB的面积．解：(1)证明：∵O是BC边的中点，∴OC＝OB.又∵OE＝OD，∴四边形DCEB是平行四边形．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形DCEB为菱形；(2)∵CD＝BD，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝∠DCB＝30°.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠ABC＝30°，∴AB＝12，BC＝6eq\r(3).∵D是AB的中点，O是BC的中点，∴DO＝eq\f(1,2)AC＝3.∴S菱形DCEB＝BC·DO＝18eq\r(3).四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18.如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE.(1)求证：AF＝CE；(2)连接AC，若AC平分∠FAE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°.∵∠DAF＝∠BCE，∴△DAF≌△BCE(ASA)．∴AF＝CE；(2)如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠CAB＝∠DCA.∵CE＝4，∴AF＝4.∵AC平分∠FAE，∴∠FAC＝∠CAB.∴∠FAC＝∠DCA.∴FC＝AF＝4.在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝2.∴CD＝6.19.如图，在△AOC中，OA＝OC，OD是AC边的中线．延长AO至点B，作∠COB的角平分线OH，过点C作CF⊥OH于点F.(1)求证：四边形CDOF是矩形；(2)连接DF，若cosA＝eq\f(3,5)，CF＝8，求DF的长．解：(1)证明：∵在△AOC中，OA＝OC，OD是AC边的中线，∴OD⊥AC，OD平分∠AOC.∴∠ODC＝90°，∠COD＝eq\f(1,2)∠AOC.∵OH平分∠COB，∴∠COF＝eq\f(1,2)∠COB.∵∠AOC＋∠COB＝180°，∴∠COD＋∠COF＝90°，即∠DOF＝90°.∵CF⊥OH，∴∠CFO＝90°.∴四边形CDOF是矩形；(2)如图所示．∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO.∵四边形CDOF是矩形，∴CD∥OF.∴∠ACO＝∠COF.∴cos∠COF＝eq\f(OF,OC)＝cosA＝eq\f(3,5).设OF＝3x，OC＝5x，则CF＝eq\r(OC2－OF2)＝eq\r(5x2－3x2)＝4x，∴CF＝8＝4x.∴x＝2.∴OC＝10.∴在矩形CDOF中，DF＝OC＝10.20.如图，矩形ABCD的四个顶点在等边△EFG的边上，已知等边△EFG的边长为2，记矩形ABCD的面积为S，边长AB为x.求：(1)S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围；(2)当S＝eq\f(\r(3),2)时，x的值．解：(1)在矩形ABCD中，AB＝x，则DC＝x，∵△EFG是等边三角形，∴ED＝DC＝x.∵△EFG的边长为2，∴DF＝2－x.在Rt△DFA中，sinF＝sin60°＝eq\f(DA,DF)＝eq\f(DA,2－x)，∴DA＝eq\f(\r(3),2)(2－x)．∴S＝eq\f(\r(3),2)x(2－x)．即S关于x的函数表达式为S＝－eq\f(\r(3),2)x2＋eq\r(3)x，自变量x的取值范围是0＜x＜2；(2)当S＝eq\f(\r(3),2)时，eq\f(\r(3),2)＝－eq\f(\r(3),2)x2＋eq\r(3)x，解得x＝1.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21.如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，且△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)判断CE与EF的位置关系，并说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°.∴∠ABF＋∠FBC＝90°.∵△FBE是等腰直角三角形，∠EBF＝90°，∴BF＝BE，∠CBE＋∠FBC＝90°.∴∠ABF＝∠CBE.在△ABF和△CBE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABF＝∠CBE，,BF＝BE，))∴△ABF≌△CBE(SAS)；(2)CE与EF的位置关系是互相垂直，理由：由(1)，知△ABF≌△CBE，则∠FAB＝∠ECB，∵∠FAB＋∠AGB＝90°，∠AGB＝∠CGE，∴∠CGE＋∠GCE＝90°，即CE与EF的位置关系是互相垂直．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF；(2)填空：①当∠ACB＝________°时，四边形ADCF为正方形；②连接DF，当∠ACB＝________°时，四边形ABDF为菱形．解：(1)证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，∴AD＝CD＝BD.∵点E为AD的中点，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵∠AEF＝∠DEB，∴△AEF≌△DEB(AAS)．∴AF＝BD，∴AD＝AF；(2)①当∠ACB＝45°时，四边形ADCF为正方形；∵AD＝AF，∴AF＝CD.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是菱形．∴∠ACD＝∠ACF＝45°.∴∠DCF＝90°.∴四边形ADCF是正方形；②当∠ACB＝30°时，四边形ABDF为菱形；如图，∵四边形ADCF是菱形，四边形ABDF是平行四边形，∴CD＝CF.∵∠ACB＝∠ACF＝30°，∴∠DCF＝60°.∴△DCF是等边三角形．∴DF＝CD.∴DF＝BD.∴四边形ABDF为菱形．故答案为45,30.六、(