吉林省长春市朝阳区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）若二次根式x-11有意义，则实数x的取值范围是(

)A.x≥11 B.x>11 C.x≥0sin45°的值等于(

)A.2 B.1 C.32 D.下列计算正确的是(

)A.3+2=5 B.23-一元二次方程x2-3xA.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根某商场一月份的营业额为400万元，一月、二月和三月的营业额共1800万元，设该商场每月营业额的月平均增长率为x，则可列方程为(

)A.400(1+x)2=1800

B.400+400×3x=1800如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是(

)A.12sinα米

B.12cosα米

C.12sinα米如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'.若OAAA'=1

A.2 B.3 C.4 D.9如图，在▱ABCD中，E为边AB上一点，连结DE、AC交于点F.若AFCF=1A.AECD=14 B.△AEF与△CDF的周长比为1：4

C.△AEF与△CDF的面积比为1：4 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）计算：(13)2=一元二次方程x2-12x=0较大的根是在△ABC中，∠C=90°，sinA=45，则如图，在平面直角坐标系中，△AOB顶点A、B分别在第一象限和y轴正半轴上，点C为边OA上一点，过点C作CD//OB交AB于点D.若C、D两点纵坐标分别为1、3，且AC：OC=1：2，则点B的纵坐标为

《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的______倍．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D、E是边BC上的点，点F在边AC上，连结AD、EF，将△ABC分别沿直线AD和EF折叠，使点B、C的对称点重合在边BC上的点G处．若AB=2，AC=3，则AF

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题6.0分)

计算：

(1)27-12+24；(本小题6.0分)

解方程：(x+2)(x(本小题6.0分)

已知：关于x的方程x2-(m+2)x+2m=0．

(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(本小题7.0分)

图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，不要求写出画法．

(1)在图①中边AC上找到一点D，连结BD，使tan∠ABD=1；

(2)在图②中边AC上找到一点E，连结BE，使tan∠ABE=12；

(3)在图③中边AC上找到一点F(本小题7.0分)

如图，某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地面积的一半区域种花，其余部分硬化．小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域，求花带的宽度．(本小题7.0分)

如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°.连接BD、CE．

(1)求证：△BAD∽△CAE；

(2)如图②，延长图①中CE交BD于点F，交(本小题8.0分)

如图①，长春解放纪念碑于1988年10月18日正式竣工落成．纪念碑正面有彭真同志的题词“长春解放纪念碑”，整个建筑由纪念碑主体、台基、浮雕墙及台阶组成．某校数学兴趣小组利用无人机测量纪念碑主体的高度，并绘制了如图②的示意图．无人机在点A处测得纪念碑顶部点B的仰角为45°，纪念碑主体底部点C的俯角为61°，无人机与纪念碑的水平距离AD=11m，求纪念碑主体BC的高度．(结果精确到0.1m)

(本小题9.0分)

如图①，一张等腰三角形纸片ABC，底边BC=12cm，高AD=12cm.在这张纸片中剪出一个正方形EFGH，使其一边FG在边BC上，点E、H分别在边AB，AC上，且EH与AD交于点K．

(1)求证：△AEH∽△ABC；

(2)求正方形EFGH的边长；(本小题10.0分)

【命题】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

【证明】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.求证：BC=12AB．

方法一：如图②，作斜边AB上的中线CD，则CD=12AB=AD=BD．

∵∠A=30°，

∴∠B=60°．

∴△BCD是______三角形．

∴BC=BD=12AB．

方法二：如图③，作点B关于AC的对称点D，连接AD．

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，

∴∠D=∠B=∠BAD=60°．

∴△ABD是等边三角形．

∴BD=AD=______．

∴BC=12BD=12AB．

阅读上面两种不完整的证明方法后，请补全证明过程．

【应用】如图①，在Rt△(本小题12.0分)

如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，BD是该矩形的对角线．动点P从点A出发(点P不与点A、B重合)，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．同时动点Q从点B出发，沿BD以每秒41个单位长度的速度向终点D运动．过点Q作QE⊥BD交折线BC-CD于点E，连结PQ，以QE和PQ为边作▱PQEF，设点P的运动时间为t(s)．

(1)求BD的长；

(2)用含t的代数表示QE的长；

(3)连结PE，当PE与△BDC的某条边垂直时，求t的值；

(4)连结

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由题意得：x-11≥0，

解得x≥11，

故选：A．

根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．2.【答案】D

【解析】解：sin45°=22，

故选：D．

根据特殊角的三角函数值得出即可．3.【答案】C

【解析】解：A．3+2无法合并，故此选项不合题意；

B.23-3=3，故此选项不合题意；

C.3×2=6，故此选项符合题意；

D.4.【答案】B

【解析】解：∵Δ=(-3)2-4×1×1=5>0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

先计算根的判别式的值得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．

本题考查了一元二次方程ax2+5.【答案】D

【解析】解：∵一月份的营业额为400万元，月平均增长率为x，

∴二月份的营业额为400(1+x)，

∴三月份的营业额为400(1+x)(1+x)=400×(1+x)2，

∴可列方程为400+400(1+x)+400(1+x)2=1800，6.【答案】A

【解析】解：Rt△ABC中，sinα=BCAB，

∵AB=12，

∴BC=12sinα．

7.【答案】C

【解析】解：∵以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'，OAAA'=12，

∴S四边形ABCDS四边形A'B'C'D'8.【答案】C

【解析】解：∵AFCF=14，

∴△ADF与△CDF的面积比为1：4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD，

∴△AEF∽△CDF，

∴AFCF=AECD=9.【答案】13

【解析】解：(13)2=13．

故答案为：13．

10.【答案】12

【解析】解：x2-12x=0，

x(x-12)=0，

x=0或x-12=0，

解得x1=0，x2=12，

所以方程较大的根是x11.【答案】34【解析】解：∵sinA=BCAB=45，

∴设BC=4x，AB=5x，

由勾股定理得：AC=AB2-BC2=3x，

∴tanB=ACBC=3x412.【答案】6

【解析】解：∵点B在y轴上，且CD//OB，

∴CD//y轴，

∵C、D两点纵坐标分别为1、3，

∴CD=3-1=2，

∵AC：OC=1：2，

∴ACAO=13，

∵△ACD∽△AOB，

∴CDOB=ACAO=13，

∴OB=3CD=3×2=6，

∴点B的纵坐标为6，

故答案为：6．

由点B在y轴上，且CD//OB，得CD//y轴，所以13.【答案】1.2

【解析】解：由题意得，5m被称物=6m砝码．

∴m被称物：m砝码=6：5=1.2．14.【答案】136【解析】解：∵∠BAC=90°，

∴∠B+∠C=90°，

由翻折可知：∠AGD=∠B，∠FGE=∠C，

∴∠AGD+∠FGE=90°，

∴∠AGF=90°，

∵AG=AB=2，

设AF=x，则FG=FC=AC-AF=3-x，

15.【答案】解：(1)原式=33-23+26

=3+26；

(2)原式【解析】(1)原式化简后，合并即可得到结果；

(2)原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．

此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16.【答案】解：原方程可化为

x2-3x-11=0．

∵a=1，b=-3，c=-11，

且Δ【解析】将原方程整理后，利用解一元二次方程的公式法求解即可．

此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．

17.【答案】(1)证明：∵a=1，b=-(m+2)，c=2m，

∴Δ=b2-4ac=[-(m+2)]2-4×1×2m【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac，可得出Δ=(m-2)2≥0，进而可证出：无论m为何值，方程总有实数根；

(2)将x=5代入原方程可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．

本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：(1)18.【答案】解：(1)如图①中，点D即为所求；

(2)如图②中，点E即为所求；

(3)如图③中，点F即为所求．

【解析】(1)取AC的中点D，连接BD即可；

(2)取AC与格线的交点E，连接BE即可；

(3)取格点J，作射线BJ交AC于点F，点F即为所求．

本题考查作图-应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

19.【答案】解：设花带的宽度为x m，则硬化的部分长为(30-2x)m，宽为(20-x)m，

依题意得：(30-2x)(20-x)=30×20×12，

整理得：x2-35x+150=0，

解得：x1【解析】设花带的宽度为x m，则硬化的部分长为(30-2x)m，宽为(20-x)m，根据硬化部分的面积为空地面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再20.【答案】(1)证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，

∴AE=2AD，AC=2AB，∠DAE=∠BAC=45°，

∴AEAD=ACAB=2，∠DAB【解析】(1)由等腰直角三角形的性质可得AE=2AD，AC=2AB，∠DAE=∠BAC=45°，由相似三角形的判定可得结论；21.【答案】解：由题意可得，

AD=11m，∠BAD=45°，∠DAC=61°，

∴tan∠BAD=BDAD，tan∠DAC=CDAD，

∴1=BD11【解析】根据题意和锐角三角函数，可以计算出BD和CD的长，然后即可得到BC的长．

本题考查解直角三角形—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22.【答案】(1)证明：∵四边形EFGH是正方形，

∴EH//BC，

∴△AEH∽△ABC；

(2)解：∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，

∴四边形EFDK是矩形，

∴EF=DK，

设正方形EFGH的边长为x，

∵△AEH∽△ABC，

∴EHBC=AKAD，

∴x12=12-x12，

∴x=6，

∴正方形EFGH的边长为6cm；

(3)解：∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°【解析】(1)根据EH//BC即可证明；

(2)如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得EHBC=AKAD，列出方程即可解决问题；23.【答案】等边

AB

12【解析】【证明】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.求证：BC=12AB．

方法一：如图②，作斜边AB上的中线CD，则CD=12AB=AD=BD．

∵∠A=30°，

∴∠B=60°．

∴△BCD是等边三角形．

∴BC=BD=12AB．

方法二：如图③，作点B关于AC的对称点D，连接AD．

∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，

∴∠D=∠B=∠BAD=60°．

∴△ABD是等边三角形．

∴BD=AD=AB．

∴BC=12BD=12AB，

故答案为：等边，AB；

【应用】(1)如图①，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，

∴AB=2BC=2，

过P作PH⊥AB于H，

∴∠AHP=90°，

∵AP=12AB=1，∠A=30°，

∴PH=12AP=12，

故点P到边AB的距离为12，

故答案为：12；

(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，

∴AB=2BC=2，

∴AC=AB2-BC2=3，

过P作PH⊥AB于H，

∴∠AHP=90°，

∵CP=12AB=1，

∴AP=3-1，

∵∠A=30°，

∴PH=12AP=3-12，

故点24.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB=5，BC=4，

∴AD=BC=4，CD=AB=5，∠A=90°，

∴BD=AB2+AD2=52+42=41，

∴BD的长是41．

(2)如图1，点E在BC上，BQ=41t，

若点Q与点D重点，