2023-2024学年海南省陵水黎族自治县高三上册第三次模拟测试数学试题（含解析）

2023-2024学年海南省陵水黎族自治县高三上册第三次模拟测试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2【正确答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）．A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得，.故选：B.本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A. B. C. D.【正确答案】D【详解】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4.已知向量满足，则（）A. B. C.0 D.1【正确答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量满足，所以.故选：B5.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是A.y＝x B.y＝lgx C.y＝2x D.y＝【正确答案】D【详解】试题分析:因函数的定义域和值域分别为,故应选D．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．6.函数的图象大致是A. B. C. D.【正确答案】A【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；因为时，所以排除D,故选A7.若为偶函数，则（）．A. B.0 C. D.1【正确答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.【详解】因为为偶函数，则，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.8.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，全选错的得0分）9.若，则下列说法中正确的是（

）A. B.C. D.【正确答案】CD【分析】根据指数函数，幂函数及对数函数的性质逐一判断即可.详解】由于，对于A：由于，所以函数为减函数，所以，故A错误；对于B：由于，所以函数为减函数，所以，故B错误；对于C：由于，所以函数在上为增函数，所以，故C正确；对于D：由于，所以，所以，所以，故D正确.故选：CD10.下列命题正确的是（）A.函数，，的零点分别为，则的大小顺序为B.平面与，的充要条件是内有两条相交直线都与平行C.方程表示焦点在轴上的双曲线D.若，则【正确答案】AB【分析】在同一直角坐标系中作出，，的图像，根据图像即可判断的大小关系，进而判断A；根据面面平行的性质与判定定理，即可判断B；分类讨论的范围，即可判断C；作出的图像，其中，即可判断D．【详解】对于A项，由，得，可解得，即，由，得，由，得，在同一平面直角坐标系中画出，，，的图像，由图像可知：，故A项正确；对于B，由面面平行的性质与判定定理，可判断B正确；对于C，对于方程，当，即时，此方程表示焦点在轴上的椭圆；当，即时，方程为，即，表示两条直线；当，即时，方程表示焦点在轴上的双曲线；故C错误；对于D，作出的图像，其中，由图像可知，当时，则，故D错误，故选：AB．11.下列函数的说法正确的是（）A.函数在区间内的零点个数是个.B.函数既是奇函数又是增函数.C.函数与是互为反函数，它们的图像关于直线对称.D.函数的递增区间为【正确答案】ABCD【分析】根据零点的存在性定理即可判断A；根据函数的奇偶性及单调性即可判断B；根据指数函数与对数函数图象的关系即可判断C；根据正弦函数的单调性即可判断D.【详解】对于A，因为函数都是R上的增函数，所以函数是R上的增函数，又，所以函数在区间内有且只有个零点，故A对；对于B，，因为，所以函数是奇函数，又当时为增函数，且，所以函数为R上的增函数，故B对；对于C，函数与是互为反函数，它们的图像关于直线对称，故C对；对于D，，由，得，令，得，所以函数得增区间，故D对.故选：ABCD12.下列命题正确的是（）A.若则实数的取值范围为.B.若数列的前项和，且，则；C.若数列与，且，则；D.的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b，c成等比数列，则的最小值为.【正确答案】ABD【分析】对于A，利用指对幂函数的单调性解不等式即可；对于B，裂项相消求和；对于C，错位相减求和；对于D，利用余弦定理及基本不等式求最值即可.【详解】A项，由，得；由，得；当时，由，得，则，所以A正确；B项，裂项有：，得.所以B正确；C项，用错位相减法,由，得；两式相减，得，得，所以C错误;D项，由成等比数列，得，由余弦定理得，，当且仅当时等号成立．得最小值为，所以D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的定义域为______________.函数的值域为______________.若，则______________.【正确答案】①.②.③.2【分析】根据函数解析式列出相应不等式，即可求得函数的定义域；分类讨论，利用基本不等式可求得的值域，根据函数解析式结合对数的运算性质可求得的值.【详解】由有意义，得，得，得函数的定义域为；函数的定义域为，当时，，当且仅当时取等号，此时；当时，，当且仅当时，此时；，故函数的值域为.由，得，故；；214.函数是上周期为5的奇函数，且，，则________.若函数的定义域为，且函数与都是偶函数，则的最小正周期为______.【正确答案】①.-1②.4【分析】空1：根据函数周期5且为奇函数，分别求出，的值，从而求解；空2：根据函数和都是偶函数，从而求出函数的两对称轴，，从而求出最小正周期.【详解】空1：因为函数为奇函数且周期为，从而得：，，所以，，所以.空2：因为为偶函数，所以函数关于对称，又因为为偶函数，所以函数关于对称，所以得函数的最小正周期.故;415.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.【正确答案】【详解】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.16.对于任意实数，定义.设函数，，则函数的最大值是_______.【正确答案】【分析】画出和的图象，得到的图象，根据图象得到最大值.【详解】在同一坐标系中，作出函数的图象，依题意，的图象为如图所示的实线部分，令,则点为图象的最高点，因此的最大值为，故四、解答题（本大题共6小题，每小题70分，共20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.【正确答案】（1）；（2）当时，.当时，.【分析】设的公差为d，的公比为q，（1）由条件可得和，解方程得，进而可得通项公式；（2）由条件得，解得，分类讨论即可得解.【详解】设的公差为d，的公比为q，则，.由得.①（1）由得②联立①和②解得（舍去），因此的通项公式为.（2）由得.解得.当时，由①得，则.当时，由①得，则.本题主要考查了等差数列和等比数列的基本量运算，属于基础题.18.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【分析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得,再根据正弦定理求,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求，再根据三角形面积公式求结果.【详解】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19.如图，在正方体中，E为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.【详解】（Ⅰ）[方法一]：几何法如下图所示：在正方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；[方法二]:空间向量坐标法以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，设平面的法向量为，由，得，令，则，，则.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：几何法延长到，使得，连接，交于，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,连接，作,垂足为,连接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直线平面,又∵直线平面∴平面平面,∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为2，则,,∴,∴,∴,即直线与平面所成角的正弦值为.[方法二]：向量法接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.[方法三]：几何法+体积法如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．因为，所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．设正方体的棱长为2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直线与平面所成角的正弦值为．[方法四]：纯体积法设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，设直线与平面所成的角为，所以．【整体点评】（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.20.已知椭圆C：过点，且离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l方程.【正确答案】（1）（2）【分析】(1)根据离心率求出参数的关系，再根据椭圆过点，进而求解；(2)设的方程为，联立方程组，利用韦达定理求出两交点坐标的关系，再利用弦长公式即可求解.【小问1详解】因为，所以，所以，又椭圆过点，所以，所以，故所求椭圆方程为.【小问2详解】设的方程为，点，联立方程组，整理，得，所以，解得：，所以，，则，解得.故所求直线的方程为.21.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【正确答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.【详解】（1），，，.（2）依题意，，，，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.22.2022年北京冬奥会仪式火种台（如图①）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器——尊（如图②），造型风格与火炬、火种灯和谐一致.仪式火种台采用了尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”.顶部舒展开阔，寓意着迎接纯洁的奥林匹克火种.祥云纹路由下而上渐化为雪花，象征了“双奥之城