第06讲5.4.2正弦函数余弦函数的性质

第06讲5.4.2正弦函数、余弦函数的性质课程标准学习目标①结合正弦函数、余弦函数的图象掌握正、余弦函数的性质。②会求正、余弦函数的周期，单调区间、对称点、对称轴及最值，及结合函数的图象会求函数的解析式，并能求出相关的基本量。会求正、余弦函数的最小正周期，单调区间，对称点，对称区间，会求两类函数的最值.知识点01：函数的周期性一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数叫做这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.

【即学即练1】（2023春·天津红桥·高一统考期末）函数的最小正周期为，则.【答案】【详解】的最小正周期，.故答案为：.知识点02：正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数奇偶性奇函数偶函数当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，为偶函数；【即学即练2】（2023秋·高一课时练习）已知函数的最小正周期为，则.【答案】12【详解】由于，依题意可知.故答案为：知识点03：正弦、余弦型函数的常用周期函数最小正周期或（）或或（）无周期【即学即练3】（2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）函数的最小正周期为.【答案】/【详解】由诱导公式可知，，当时，与不恒相等，故的最小正周期为，故答案为：知识点04：正弦函数、余弦函数的图象和性质函数图象定义域定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数单调性在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减最值当()时，;当()时，;当()时，;当()时，;图象的对称性对称中心为(),对称轴为直线()对称中心为(),对称轴为直线()【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）y＝cos的单调递减区间为.【答案】【详解】因为，所以由得，，，即所求单调递减区间为.故答案为：.题型01三角函数的周期问题及简单应用【典例1】（2023秋·高一课时练习）下列函数，最小正周期为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】函数的最小正周期为，故A不符合；函数，其最小正周期为，故B不符合；因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合；因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合.故选：C.【典例2】（多选）（2023秋·河北秦皇岛·高二校考开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于A，函数满足，且的定义域为关于原点对称，即是奇函数，且注意到其周期为，故A正确；对于B：函数满足，且的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，不是奇函数，故B错误；对于C：，由A选项分析易知是奇函数，同时也是最小正周期是的周期函数，故C正确；对于D：函数满足，且的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，不是奇函数，故D错误．故选：AC．【典例3】（2023秋·高一课时练习）求下列函数的最小正周期．(1)；(2).【答案】(1)(2).【详解】（1）因为，所以自变量至少要增加到，函数，的值才能重复出现，所以函数的最小正周期是.（2）因为的最小正周期为π，且函数的图象是将函数的图象在x轴下方的部分对折到轴上方，并且保留在轴上方图象而得到的．由此可知所求函数的最小正周期为.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中，最小正周期为π的函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A不符合题意；对于B，作出函数的图象，由图可知，函数的最小正周期为，故B符合题意；对于C，函数的最小正周期为，故C不符合题意；对于D，函数，其图象如图，由图可知，函数不是周期函数，故D不符合题意.故选：B.【变式2】（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是周期函数的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】对于A，，的最小正周期为；对于B，，的最小正周期为；对于C，，的最小正周期为；对于D，∵，∴函数图象关于轴对称，不具有奇偶性，故错误.故选：ABC【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）求下列函数的最小正周期．(1)；(2)．【答案】(1)最小正周期为．(2)最小正周期为．【详解】（1）∵，∴．又最小正周期，∴函数的最小正周期为．（2）画出函数的图象，如图所示，由图象可知，函数的最小正周期为．题型02三角函数的奇偶性及其应用【典例1】（2023春·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数，则是为奇函数的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】时，可得，定义域为R，此时，故为奇函数，故充分性成立，而当为奇函数时，得，故不一定为，故必要性不成立，是为奇函数的充分不必要条件.故选：B【典例2】（多选）（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知函数为偶函数，则的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】为偶函数，因此或．所以，故正确，故选：.【典例3】（2023秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知函数，是奇函数，则的值为．【答案】/【详解】∵为偶函数，所以，为奇函数，∴，，∵，∴．故答案为：【典例4】（2023·贵州·校联考模拟预测）若函数为偶函数，则的最小正值为.【答案】/【详解】函数的定义域为，为偶函数，则，即，则，即是偶函数，可知，，即，，故取最小正值为.故答案为：.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）使函数为奇函数，则的一个值可以是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数，因为为奇函数，可得，所以，令，可得.故选：D.【变式2】（多选）（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若函数是偶函数，则的值不可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】由函数是偶函数，可得，即，则，解得，当时，可得，无论取何值，都不可能等于或或．故选：ABD．【变式3】（2023秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）设函数的最大值为，最小值为，则.【答案】2【详解】，令，易知，，即为奇函数，所以结合奇函数性质有.故答案为：2【变式4】（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数为奇函数，则的最小值为.【答案】【详解】因为函数为R上的奇函数，所以，所以，所以，又，所以的最小值为.故答案为：题型03函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题【典例1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知是上的奇函数，且在区间上是单调函数，则的最大值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】函数是上的奇函数，则，所以，，又，所以，则，当，则，又在区间上是单调函数，所以，解得，又，所以则的最大值为.故选：C.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知，且，使得对于任意，都有，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知条件可得的最小正周期为4，所以.由,得，因为存在，使得对于任意，都有，所以，所以，得到函数关于直线对称，故，又，所以.故选:A.【典例3】（2023秋·山西·高三统考期末）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式.①；②；③在上单调递增.【答案】（答案不唯一，满足条件即可）【详解】解：由①可知，函数图像关于直线对称；由②可知函数图像关于点对称；所以，，即，所以，即函数的周期为，故考虑余弦型函数，不妨令，所以，，即，满足性质①②，由③在上单调递增可得，故不妨取，即，此时满足已知三个条件.故答案为：【变式1】（2023·高一课时练习）已知是上的奇函数，若的图象关于直线对称，且在区间内是单调函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为是上的奇函数，则，所以，，因为的图象关于直线对称，则，可得，当时，，因为函数在区间内是单调函数，则，解得，所以，，，故，因此，.故选：A.【变式2】2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数满足，且，则（

）A．3 B．3或7 C．5 D．7【答案】D【详解】由题意，函数满足，可得是函数的一条对称轴，所以，即，即，所以又由，可得或，即或，因为，可得，所以，当时，可得，即，（不符合题意，舍去）；当时，可得，即，解得，如：时，可得，解得，符合题意，所以.故选：D.【变式3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，函数，若函数为奇函数，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】解：因为，所以关于点对称，要使为奇函数，因为关于点对称，为奇函数，所以只需使为偶函数即可，所以，故符合题意的有B、D；故选：BD【变式4】（2023·全国·高三专题练习）某函数满足以下三个条件：①是偶函数；②；③的最大值为4．请写出一个满足上述条件的函数的解析式．【答案】（答案不唯一）【详解】因为是偶函数，所以的图象关于y轴对称，因为，所以，即所以的图象关于点对称，所以4为的一个周期，又的最大值为4，所以满足条件.故答案为：（答案不唯一）题型04求三角函数的单调区间【典例1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【详解】可化为，故单调增区间：，，解得，.令，，令，.，所以的单调递增区间是.故选：D【典例2】（2023·高一单元测试）函数单调减区间为【答案】【详解】正弦函数的单调递减区间为，由，得，记，则，故答案为：.【典例3】（2023·全国·高一课堂例题）用“五点法”作出函数的图象，并指出它的最小正周期、最值及单调区间.【答案】图象见解析，最小正周期为，最大值为5，最小值为1，减区间为，，增区间为，【详解】①列表如下：035313②描点.③连线成图，将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得的图象.如图所示.函数的最小正周期，最大值为5，最小值为1，函数的减区间为，，增区间为，.【变式1】（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知函数，则在上的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】当时，，所以当，即时，函数单调递增．故选：B.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）y＝cos的单调递减区间为.【答案】【详解】因为，所以由得，，，即所求单调递减区间为.故答案为：.【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）求函数的单调递增区间．【答案】，．【详解】．令，函数的单调递增区间是，．由，得，．因此，函数的单调递增区间是，．题型05利用单调性比较三角函数值的大小【典例1】（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由诱导公式知：，，在上单调递增，，即.故选：D.【典例2】（2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习）下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由于在上递增，所以，A选项错误.由于在上递减，所以，B选项错误.，，所以，C选项正确.在上递增，所以，D选项错误.故选：C【典例3】（2023秋·高一课时练习）比较下列各组数的大小.(1)与；(2)cos1与sin2.【答案】(1)(2)【详解】（1），，因为在上单调递减，且，所以，所以，（2）因为，且在上递减，，所以，所以.【典例4】（2023·全国·高一随堂练习）不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）与；

（2）与.【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）因为，，由于函数在范围内单调递增，所以，所以，所以（2）因为，，由于函数在上单调递减，，所以，即【变式1】（2023春·四川眉山·高一校考期中）令，，判断a与b的大小关系是（

）A． B． C． D．无法判断【答案】B【详解】因为函数在上单调递增，且，所以.故选：B【变式2】（2023·全国·高一课堂例题）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)，；(2)，．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由于，且在区间上单调递增，所以．（2）由于，且在区间上单调递增，所以．【变式3】（2023·全国·高一课堂例题）比较下列各组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）∵函数在上单调递减，且，∴．（2），．利用诱导公式化为同一单调区间上的角．∵函数在上单调递减，且，∴，即．（3）∵，∴，又在上单调递减，∴．（中间值法）又，∴．故．题型06已知三角函数的单调情况求参数问题【典例1】（2023秋·云南大理·高二云南省下关第一中学校考阶段练习）已知函数在时有最大值，且在区间上单调递增，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】在时取得最大值，即，可得，所以，因为要求的最大值，所以这里可只考虑的情况，又因为在上单调递增，所以，解得，当时，，所以的最大值为，故选：C.【典例2】（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知函数，对于，，且在区上单调递增，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为对于，，可得在时取得最大值，即，可得，所以，又因为在上单调递增，所以且，解得，当时，，所以的最大值为.故选：C.【典例3】（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.【答案】【详解】由题意有,可得,又由，在上为减函数，故必有,可得.故实数的取值范围为.故答案为：【变式1】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】已知，令，解得则函数对称轴方程为函数在区间不单调，，解得，又由，且，得，故仅当时，满足题意.故选：C.【变式2】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【详解】当时，，由，得，因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，所以，解得，当时，由，得，因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，所以，解得，综上所述.故选：A.【变式3】（多选）（2023春·湖北省直辖县级单位·高一校考期中）已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是（

）A．1 B． C． D．2【答案】AB【详解】，，由于函数在上单调递减，，，解得，，时，，

的值可以是．故选：AB．【变式4】（2023春·辽宁朝阳·高一朝阳市第一高级中学校考期中）已知函数的图象关于直线对称，且在区间内单调，则的最大值为．【答案】【详解】因为区间的左端点为对称轴，且在区间内单调，所以，其中，所以，又，所以，所以的最大值为.故答案为：.题型07三角函数的对称性【典例1】（2023·全国·高一假期作业）设函数的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为的最小正周期为，所以，所以，令，，解得，所以的对称轴为直线，当时，，其它各项均不符合，所以是函数的对称轴，故选：A．【典例2】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，所以有，所以，因为是奇函数，所以，由可得：，而，所以，当时，，因为，所以，即，当时，，显然此时函数单调递减，符合题意，所以；当时，，因为，所以，即，当时，，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，故选：D【典例3】（2023·河南开封·统考三模）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则.【答案】/【详解】因为函数的最小正周期为，所以；又因为函数图象关于直线对称，可得，可得，且，所以，所以，所以．故答案为：.【典例4】（2023春·北京·高一校考期中）设函数，若的图象关于点对称，则的值可以是．（写出一个满足条件的值即可）【答案】（答案不唯一）【详解】因为函数，且的图象关于点对称，所以，，解得，，所以的值可以是，，，，，（写出一个即可）．故答案为：（答案不唯一）．【变式1】（2023秋·江西·高二宁冈中学校考开学考试）函数的一条对称轴为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】函数的对称轴满足，解得，令，则，故选：A.【变式2】（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的图像关于点中心对称，所以，，所以，，所以当时，当时，时，所以的最小值为.故选：C【变式3】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数满足，且，则（

）A．3 B．3或7 C．5 D．7【答案】D【详解】由题意，函数满足，可得是函数的一条对称轴，所以，即，即，所以又由，可得或，即或，因为，可得，所以，当时，可得，即，（不符合题意，舍去）；当时，可得，即，解得，如：时，可得，解得，符合题意，所以.故选：D.【变式4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为．【答案】【详解】的图象关于点对称，，即，令，可得的最小值为．故答案为：题型08利用三角函数的有界性和单调性求值域或最大(小)值【典例1】（2023春·山西朔州·高一校考阶段练习）函数的值域为．【答案】【详解】试题分析：当时，，在区间上，所以的值域为.【典例2】（2023秋·河南南阳·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)求的单调区间；(2)求在上的值域．【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为(2)【详解】（1）令，，得，，所以的单调递增区间为．令，，得，，所以的单调递减区间为，综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，故在上的最大值为，最小值为，在上的最大值为，最小值为．所以在上的最大值为2，最小值为－2，即在上的值域为．【典例3】（2023春·江西南昌·高一南昌市第五中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的对称中心和单调递减区间；(2)若，求函数的值域.【答案】(1)对称中心为；单调递减区间为(2)【详解】（1）令，解得：，此时，的对称中心为；令，解得：，的单调递减区间为.（2）当时，，则，，即的值域为.【变式1】（2023·全国·高一专题练习）函数y=2cos(2x+)，x[，]的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，因为x[，]，所以，而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，即函数的值域是．故选：A．【变式2】（2023秋·甘肃·高三校考阶段练习）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)当时，求的最小值和最大值.【答案】(1)(2)最小值为0，最大值为【详解】（1）由题意，，所以的最小正周期；（2）当时，，可知，即，故的最小值为，最大值为.【变式3】（2023春·新疆·高二校考期末）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递增区间.(3)求函数在上的最大值.【答案】(1)(2)单调递增区间为(3)2【详解】（1）由，得的最小正周期为；（2）由于的单调递增区间为，故令，可得：，∴的单调递增区间为（3）因为，则，故，∴，即函数在上最大值为2.题型09换元法求值域或最大(小)值(可化为一元二次函数型）【典例1】（2023春·四川泸州·高一校考阶段练习）函数的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，故当时，函数取最大值，且.故选：A.【典例2】（2023·全国·高一课堂例题）求函数，的最大值．【答案】答案见解析【详解】．①若，则当时，取得最大值，；②若，则当时，取得最大值，；③若，则当时，取得最大值，．【典例3】（2023春·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）已知函数（）的定义域为，且函数的最大值为3，最小值为1，求a，b的值．【答案】或【详解】由，可得，令，则可令，，当时，，这与题意不符；当时，抛物线开口向上，对称轴，当时，；当时，，即，解之得当时，抛物线开口向下，对称轴，当时，；当时，，即，解之得综上，或【变式1】（2023秋·甘肃天水·高一校联考期末）函数，的值域为．【答案】【详解】令，则，当时，则函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为，故函数的值域为.故答案为：【变式2】（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值是．【答案】【详解】函数，，当时，函数取得最小值.故答案为：【变式3】（2023·高一课时练习）已知，求函数的值域．【答案】.【详解】因为，所以，又，所以，当时，，当时，，故函数的值域为.题型10分式型求值域或最大(小)值【典例1】（2023·高一课时练习）函数的定义域是，值域是．【答案】【详解】由可得,函数的定义域为,又,，所以函数的值域为；故答案为：；.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域．【答案】【详解】由题知，，因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以函数的值域为.【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为.【答案】【详解】，，则，，故.故答案为：【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为．【答案】【详解】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础1．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）函数的一个单调减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】画出的图象，如下，可以看出的一个单调减区间为，其他选项不合要求.故选：C2．（2023春·四川眉山·高一统考期中）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，在中，在中，，对称轴：，∴函数在上单调递增，在处取最小值，，故选：B.3．（2023秋·江西抚州·高二黎川县第二中学校考开学考试）函数是（

）A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．以上都不对【答案】B【详解】依题意，函数，化为是偶函数.故选：B4．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期.故选：B.5．（2023秋·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）已知函数，若，在区间上没有零点，则的取值共有（

）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B【详解】由题意，在中，，∴,所以，两式相减得，所以，即，，因为，所以，令，，由题意知在上无零点，故，，所以，即，两式相加得，所以，又，所以，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，所以的取值有5个.故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）使函数为奇函数，则的一个值可以是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由函数，因为为奇函数，可得，所以，令，可得.故选：D.7．（2023春·安徽阜阳·高一安徽省阜南实验中学校考阶段练习）已知函数的值域是，则实数的值等于（

）A．2 B．2 C． D．【答案】C【详解】当时，由，得，因为的值域为，所以，解得，当时，显然不符合题意；当，由，得，因为的值域为，所以，解得，故选：C8．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知函数，若，，且在区间上单调，则的值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【详解】因为，所以函数图象关于点成中心对称，又，所以的图象关于直线对称，且在区间上单调，所以，即，．又，，，所以，所以，所以．故选：B.二、多选题9．（2023秋·河北秦皇岛·高二校考开学考试）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于A，函数满足，且的定义域为关于原点对称，即是奇函数，且注意到其周期为，故A正确；对于B：函数满足，且的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，不是奇函数，故B错误；对于C：，由A选项分析易知是奇函数，同时也是最小正周期是的周期函数，故C正确；对于D：函数满足，且的定义域为关于原点对称，所以是偶函数，不是奇函数，故D错误．故选：AC．10．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）设函数，则下列结论正确的是（

）A．是奇函数B．的周期是C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称【答案】BCD【详解】对选项A：由，所以函数不是奇函数，故A错误；对选项B：由，知函数的周期为，故B正确；对选项C，由，知点是函数的对称中心，故C正确；对选项D，由，取得最小值，所以为函数的一条对称轴，故D正确.故选：BCD.三、填空题11．（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知，设函数，则的单调递减区间是．【答案】（开区间，半开半闭区间也正确）【详解】依题意，因为函数在上单调递减，令，解得，所以的单调递减区间是．故答案为：．12．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）写出一个同时满足下列条件的函数解析式.①；②.【答案】（答案不唯一）【详解】由①；②知，该函数为周期是8的偶函数，取，所以，又，满足②，故答案为：（答案不唯一）.四、解答题13．（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）已知函数图象相邻两对称轴之间的距离为且.(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间.【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为【详解】（1）由，又，则.函数图象相邻两对称轴之间的距离为，故，.（2）令且，解得，，令且，解得，，故的单调递增区间为，单调递减区间为.14．（2023春·新疆塔城·高一塔城地区第一高级中学校考阶段练习）已知函数，(1)求不等式的解集(2)若求函数的值域【答案】(1)(2)【详解】（1）由，即，故，，得，所以不等式的解集.（2）由，得，所以故，即函数的值域为.15．（2023春·江西南昌·高一校考阶段练习）已知函数(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；(2)直接写出函数的值域和最小正周期．列表：作图：【答案】(1)答案见解析(2)值域，最小正周期为【详解】（1）解：列表:0图象如图所示：（2）解：因为，则，故