3.1.2椭圆的几何性质（10大题型）（原卷版）

椭圆的几何性质一、椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围，，对称性关于轴、原点对称轴长长轴长：；短轴长：长轴长：；短轴长：顶点离心率离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁通径通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长通径的大小：二、点与椭圆的位置关系焦点在x轴上焦点在y轴上点在椭圆内点在椭圆上点在椭圆外三、直线与椭圆的位置关系1、直线与椭圆的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程．①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出根与系数的关系；（4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；（5）代入求解．四、直线与椭圆相交的弦长公式1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2、求弦长的方法（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：五、解决椭圆中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。证明：设、，则有，上式减下式得，∴，∴，∴。特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。题型一由椭圆方程研究其几何性质【例1】（2024·宁夏银川·高二期中）（多选）已知椭圆：.则下列结论正确的是（）A．长轴为6B．短轴为4C．焦距为D．离心率为【变式11】（2023·全国·高二专题练习）（多选）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（）A．离心率为B．长轴长是C．焦距2D．焦点坐标为【变式12】（2024·浙江温州·高二期中）已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（）A．m的取值范围为B．若该椭圆的焦点在y轴上，则C．若，则该椭圆的焦距为4D．若椭圆的离心率为，则【变式13】（2024·重庆·高二期中）椭圆与椭圆的（）A．长轴相等B．短轴相等C．焦距相等D．离心率相等题型二由椭圆几何性质求标准方程【例2】（2024·河南开封·高二期中）已知椭圆C的焦点在轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点，则的标准方程为（）A．B．C．D．【变式21】（2024·重庆·高二期中）已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（）A．B．C．D．【变式22】（2023秋·高二课时练习）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点且与椭圆有公共的焦点，求椭圆的标准方程．【变式23】（2023秋·重庆·高二校考阶段练习）焦点在轴上且中心为原点的椭圆与椭圆：离心率相同，且，在第一象限内公共点的横坐标为1，则的方程题型三求椭圆离心率的值【例3】（2024·四川成都·高二期中）若椭圆C：的短轴长为2，则椭圆C的离心率为．【变式31】（2024·江苏南通·高二阶段练习）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【变式32】（2023秋·高二课时练习），是椭圆E：的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足，，则椭圆E的离心率为.【变式33】（2023·江苏·高二专题练习）设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为.题型四求椭圆离心率的取值范围【例4】（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（）．A．B．C．D．【变式41】（2024·兰州·高二期中）椭圆的两个焦点为是椭圆上一点，且满足.则椭圆离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【变式42】（2024·重庆·高二期中）已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上不存在点P使，则椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【变式43】（2023秋·重庆·高二校考阶段练习）设椭圆C：的右焦点为F，椭圆C上的两点关于原点对称，且满足，，则椭圆C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．题型五点与椭圆的位置关系【例5】（2023·江苏·高二专题练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（）A．点不在椭圆上B．点不在椭圆上C．点在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系【变式51】（2023·全国·高二专题练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（）A．点P在椭圆C上B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关C．点P在椭圆C内D．点P在椭圆C外【变式52】（2023·江苏·高二专题练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【变式53】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M，设M的坐标为(x0，y0)，若l1⊥l2，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．题型六直线与椭圆的位置关系【例6】（2024·辽宁大连·高二期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．以上选项都不对【变式61】（2023·高二专题练习）直线l：与椭圆C：的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【变式62】（2024·浙江温州·高二期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式63】（2023秋·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点和（1）求椭圆C的标准方程；（2）求直线和椭圆C的公共点的坐标．题型七直线与椭圆相切应用【例7】（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二期末）设椭圆，点在椭圆上，求该椭圆在P处的切线方程.【变式71】（2023·全国·高二专题练习）若方程有解，则的取值范围为（）A．B．C．D．【变式72】（2023·全国·高二随堂练习）求椭圆上的点到直线的最短距离，并求出此时椭圆上的点的坐标.【变式73】（2023·高二专题练习）已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为.题型八直线与椭圆相交弦长问题【例8】（2023秋·高二课时练习）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（）A．4B．2C．1D．4【变式81】（2023·全国·高二专题练习）过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（）A．0B．1C．2D．3【变式82】（2023·江苏·高二专题练习）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且，则直线方程为．【变式83】（2023秋·重庆·高二校考阶段练习）已知圆：和圆：，以动点为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切.记动点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）过的直线交轨迹于，两点，点在直线上.若为以为斜边的等腰直角三角形，求的长度.题型九椭圆的中点弦与点差法【例9】（2024·江苏南京·高二阶段练习）以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点和，直线与椭圆相交于两点，为线段的中点．（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，求直线的方程；【变式91】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（）A．B．C．D．【变式92】（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）椭圆与直线相交于A，B两点，过的中点M与坐标原点的直线的斜率为2，则（）A．B．C．D．2【变式93】（2023秋·重庆·高二校考期末）已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．题型十椭圆的综合问题【例10】（2024·江苏盐城·高二阶段练习）已知椭圆E：的下焦点、上焦点为，离心率为过焦点且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于A，B两点．（1）求m的值；（2）求（O为坐标原点）面积的取值范围．【变式101】（2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知椭圆方程为，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）对于，是否存在实数k，使得直线分别交椭圆于点P，Q，且，若存在，求出k的值；