专题03 弦图模型与勾股树模型（原卷版）

专题03弦图模型与勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。模型1、弦图模型（1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。图1图2图3（2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD=4S△EAB+S正方形EFGH。（3）内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（

）

A．7 B．8 C．9 D．10例2．（2023.成都市八年级期中）如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________．例3．（2023·山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中的边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A． B． C． D．例4．（2022·杭州市九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（）A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8例5．（2023春·浙江温州·八年级校考阶段练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图）中的两个正方形和八个直角三角形按图方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，．若，，则正方形的面积为（）

A．144 B．104 C．72 D．52模型2.勾股树模型例1．（2022·四川成都·八年级期末）如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为3，7，1，3，则最大的正方形的面积是__________．例2．（2022·重庆涪陵·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是（

）A．6 B．8 C．9 D．10例3．（2022秋·广东佛山·八年级校联考阶段练习）如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，再分别以正方形②和②’的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，...，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（

）A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．64cm2例4．（2023春·山西吕梁·八年级统考阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（

）A． B． C． D．例5．（2023·浙江八年级期中）如图，以的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为、，的面积．若，，则的值为________．例6．（2022·上饶市初二期中）已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为_______．例7．（2023·浙江·八年级专题练习）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积，，之间满足的等量关系是：__________．迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形，，，的边长分别是，，，，则正方形的面积是________．【探究三】如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积，，之间满足的等量关系是________．迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，则图中阴影部分的面积等于________．【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长多少？课后专项训练1．（2023·江苏镇江·八年级期中）如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，图中阴影部分面积分别为S1，S2，S3，S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，则S3的值为（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2022·云南九年级一模）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（）A．12 B．32 C．64 D．1283．（2022·广东揭阳·七年级期末）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是等腰直角三角形，且最大的正方形的边长为4．若按照图①至图③的规律设计图案，则在第个图中所有等腰直角三角形的面积和为（）A． B． C． D．324．（2022·浙江初三学业考试）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分的面积为，且，则的长为（）图1图2A． B． C． D．5．（2022·青海西宁·八年级期末）如图，直线上有三个正方形，若，的面积分别为5和11，则的面积为（

）A．13 B．16 C．36 D．556．（2023·浙江·杭州八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1﹣S2＝12，S△ABC＝4，则正方形BCFG的面积为（）A．16 B．18 C．20 D．227．（2022·涡阳县初二月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（）A． B． C． D．9．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为，则的长为（

）

A． B． C． D．10．（2022·重庆江津·八年级期中）如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，AD＝2，则阴影部分的面积是__________11．（2022·贵州铜仁·八年级期中）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则___________；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为___________．12．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图①，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了②；如此继续“生长”下去，则第2023次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为．13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图2中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．14．（2023春·陕西西安·七年级高新一中校考阶段练习）用八个全等的直角三角形拼接了一幅“弦图”，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则．

15．（2023·浙江台州·八年级校考期中）如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．（1）如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；（2）如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O（正方形两条对角线的交点），则Ⅱ中有水部分的面积为．16．（2022·广东·八年级课时练习）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形．（1）试画出2次操作后的图形．（2）如果原来直角三角形斜边长为，写出2次操作后的图形中所有正方形的面积和．（3）如果一直画下去，你能想象出它的样子吗？（4）图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，你能想象出此时“毕达哥拉斯树”的形状吗？17．（2022·湖南·八年级课时练习）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长24，，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为，若，求．18．（2022·山东潍坊·八年级期中）阅读理解：我国是最早了解勾股