5.3.2函数的极值与最大（小）值（第二课时）

第五章《一元函数的导数及其应用》5.3.2函数的极值与最大（小）值（第二课时）[核心素养·学习目标]课程标准课标解读1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．3.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.4.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．通过本节课的学习，要求会求函数在局部区间的最大（小）值，能利用函数的导数解决恒成立问题与存在性问题.课前预习课前预习1.函数的最大(小)值与导数(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值.知识讲解知识讲解一、最大值:一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有;（2）存在，使得那么，称是函数的最大值二、最小值:一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有;（2）存在，使得那么，称是函数的最小值【大招总结】大招1函数y=f((1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值；(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．解释(1)极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值.(2)一般地，如果在区间[a，b【例】如下图，可知函数y=f(x)在区间[a，b]上的极大值为fx1，fx3；极小值为yxyxbxxxxa大招2求简单函数的最值【方法总结】求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值的方法（1）求函数f（x）的导函数f′（x）.（2）解方程f′（x）=0，求出使得f′（x）=0的所有解.（3）计算函数f(x)在区间[a，b]内的各极值以及端点处的函数值.（4）比较以上各个函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.大招3求含参函数的最值问题【方法总结】含参函数最值的求解策略由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值变化.因此需要对参数进行分类讨论，分类时常见的讨论∶①f′（x）的类型，如f′（x）=ax2＋2x1时，可以分a>0，a=0，a<0三种情况讨论；②当f'（x）=0时注意是否有解，若有解，则讨论根是否在定义域内，根的大小是否确定；③有时可以用可能的极值或最值的大小关系分类讨论.典型例题典型例题【例1】设a∈R，函数f(x)=x(1)求f(x)的极值；(2)若x∈[−1,2]，求函数f(x)的值域．【详解】(1)f'(x)=3x2−2x−1当x变化时，f'(x)，x−−−1(1,+f+0−0+f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是f−13(2)因为x∈[−1,2]，由(1)知，f−f(1)=a−1，f(−1)=a−1，f(2)=a+2．则f(x)的值域为[a−1,a+2]．点拨函数y=f((1)求函数y=f((2)将函数y=f(x)【例2】已知函数f(x)=e(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在(0,(2)求f(x)的单调性；(3)求函数f(x)在[0,1]上的最小值．【详解】(1)当a=0时，f(x)=ex(x−1)切线的斜率为k=f又f(0)=−1，所以切线方程为y−f(0)=k(x−0)，即y=−1．(2)f'当x⩾a时，f'(x)⩾0，当x<a时，f'(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(a,+∞)，单调递减区间为(3)当a⩾1时，f(x)在(0,1)上单调递减，所以f(x)当a⩽0时，f(x)在上单调递增，所以f(x)min当0<a<1时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞所以f(x)综上所述，f(x)【例3】已知函数f((1)当a=−1时，求函数f(2)若函数f(x)在[0,1]上的最小值为3【答案】(1)f(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增；(2)【详解】(1)f(x)的定义域是Ra=−1时，f由f'(x)>0，得x∈(0,+∞)，由∴f(x(2)由(1)得f'(①若a≥−1，则ex+f(x)在[0,1]上是增函数，∴②若a≤−e，则exf(x)在[0,1]递减，∴③若−e<a<−1，当0<x当ln(−a)<x<1∴f∴a综上所述：a=−【例4】证明：不等式lnx【证明】设f(x)=ln∴函数定义域是(0,+∞)，令f'(x)=0，得当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x<1时，f'(x)>0，所以f(x)在x=1处取到最大值f(1)=0，即f(x)=ln⁡x−x+1≤0，所以点拨构造函数证明不等式恒成立.【例5】已知函数f(x)=ln(1)求函数f(x)的单调区间；(2)已知a、b∈R，a>b>e，(其中e是自然对数的底数)，求证:【详解】(1)f(x)=ln当x>e时，f'(x)<0，∴函数当0<x<e时，f'(x)>0，∴函数∴f(x)的增区间是(0,e)，减区间是(2)证明:∵b要证:ba只要证:aln只要证lnb由(1)得函数f(x)在(e,+∞当a>b>e时，有f(b)>f(a)即lnb∴b点拨类似ba>ab这样的指数式不等式，可两边去对数，化为对数式【例6】已知函数f(x)=x2−2(1)存在x1∈[1,4]，对任意x2∈[1,4]，有不等式(2)如果存在x1、x2∈[1,4]【详解】(1)存在x1∈[1,4]，对任意x2所以f(x)min⩽g(x所以f'(x)=2x−2所以函数y=f(x)在区间[1,4]上单调递增，所以f(x)min=f(1)=1−m，函数g(x)=所以g(x)min=g(4)=m+116所以实数m的取值范围是1532(2)存在x1、x所以M⩽fx1由(1)可知，函数y=f(x)在区间[1,4]上单调递增，所以f(x)min所以M⩽f(x)所以满足条件的最大整数M的值为12．强化训练强化训练一、单选题1．函数在区间的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用导数求得在区间的最大值.【详解】，所以在区间递增；在区间递减.所以时，取得极大值也即是最大值.故选：A2．若对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】构造函数，利用导数研究函数在单调性，并计算，可得结果.【详解】令，则，令若时，若时，所以可知函数在递减，在递增所以由对任意的实数恒成立所以故选：A【点睛】本题考查利用导数解决恒成立问题，关键在于构建函数，通过导数研究函数性质，属基础题.3．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（

）A．是函数的极大值点B．函数在区间上单调递增C．是函数的最小值点D．曲线在处切线的斜率小于零【答案】B【分析】根据导函数的图象，得到函数的单调区间与极值点，即可判断；【详解】解：由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当或时，则在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极小值即最小值，所以是函数的极小值点与最小值点，因为，所以曲线在处切线的斜率大于零，故选：B4．已知在区间上有极小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极小值点，从而得到不等式组，解得即可.【详解】函数定义域为，，所以时，当或时，所以在上单调递增，在，上单调递减，所以在处取得极小值，因为在区间上有极小值，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：D5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过构造函数，利用导数求函数的单调性，比较各式的大小.【详解】，设，函数定义域为，则，故在上为增函数，有，即，所以，故.设，函数定义域为，则，，解得；，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.当时，取最大值，所以，即，时等号成立，所以，即，又，所以.故选：D．6．已知函数在处有极值0，则实数的值为（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11【答案】D【分析】根据极值点列方程，结合函数的单调性确定其正确答案.【详解】，则，即，解得或.当时，，不符合题意，舍去；当时，，令，得或；令，得．所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意，则．故选：D7．若函数有两个极值点，其中，且，则方程的实根个数为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】试题分析：因为函数有两个极值点,所以在区间上有两个零点，即方程在区间上有两个零点，所以由得或，又，所以在上，，函数单调递减，在上，，函数单调增，在上，，函数单调递减，所以是的极小值点，是的极大值点，又，所以，结合函数的图象可知方程有两个不同的实根，有三个不同的根，所以方程共有个不同的根，故选C.考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与方程.【名师点睛】本题考查函数的单调性、极值、函数与方程相关的知识，属难题；利用导数求函数的单调性与极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．8．若函数的图象与x轴有三个交点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】利用导数求的极值，根据函数图象与x轴有三个交点判断极值的符号列不等式组，求a的范围.【详解】由，则时，当时，，递增；当时，，递减；当时，，递增；所以极大值为，极小值为，且趋向负无穷为负无穷大，趋向正无穷为正无穷大，要使与x轴有三个交点，只需，即.故选：D二、多选题9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（

）A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点【答案】AC【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC10．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，给出下列命题：①当时，；②函数有2个零点；③的解集为；④，都有.其中所有正确结论的编号是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】CD【分析】设，则，利用函数的奇偶性即可判断①；可看出，1，0都是的零点，即可判断②；直接解不等式可判断③；根据导数符号可判断的单调性，根据单调性即可求出的值域，即可判断④.【详解】是定义在R上的奇函数，设，则，则，所以，故①错误；因为，，又，所以有3个零，故②错误；当时，由，得，得，当时，由，得，得；所以的解集为，故③正确；当时，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以时，取的最小值为，且时，，所以，即，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以时，取最大值为，且时，，所以，所以，所以的值域为，所以，，都有，故④正确；故选：CD．11．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．在上是增函数B．在上是增函数C．在上是减函数D．当时，取得极小值【答案】BD【分析】由的图象可判断单调性，即可判断各选项正误.【详解】由图象可知，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，故B正确，AC错误；又由以上分析可知，时，取得极小值，故D正确；故选：BD12．已知是自然对数的底，若，则的值可以是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】AC【分析】设，结合单调性可得，从而，令，利用导数求得的范围即可判断.【详解】设，则在R上单调递增，∵，∴，即，∴，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，从而，故AC符合.故选：AC.三、填空题13．已知函数，，则的最大值为．【答案】【分析】利用导数的性质进行求解即可.【详解】当时，由，所以此时函数单调递增，所以当时，函数有最大值，最大值为，故答案为：14．已知函数，设函数，则的最大值是．【答案】0【分析】求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；【详解】解：因为定义域为，所以．当时，；当时，．所以在上为增函数，在上为减函数，从而．故答案为：．15．已知函数（）有两个极值点，，则的最大值为．【答案】【分析】求函数的导数，并令，因为函数有两个零点，所以，，求出，代入根与系数的关系求函数的最大值．【详解】的定义域为，，设，由题意可知在内有两个不等的实数根、，∴，解得，又∵,，∴，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为．故答案为：【点睛】思路点睛：本题在根据函数有两个极值点，得到在上有两个不同的解，后，也可分离参数，将问题转化为函数，（）的图象有两个不同的交点，从而求解的取值范围．16．已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为.【答案】【分析】利用换元法、函数与导数、函数图象结合一元二次函数与一元二次方程进行求解.【详解】由题意得，当时，单调递增，当时，单调递减，故，当，，但对数增长缓慢，所以，当，，，所以，所以可知函数的图像如图所示：令，则有三个不等实根等价于有两个不等实根，令，因为则有两个不等实根，因为，所以不妨令，所以，解得，实数的取值范围.故答案为：.四、解答题17．求函数在区间的最大值与最小值．【答案】；．【分析】根据导数，列表求函数的最值即可.【详解】解：，令得当变化时，变化如下：3+00+18．已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值.【答案】（1）；（2）极大值为：；极小值为：.【分析】(1)结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求得结果；(2)利用导数讨论函数的单调性，进而可得到函数的极值.【详解】(1)由，得，所以，故曲线在点