2021中考数学-圆的综合题训练（有答案）

2020中考数学——圆的综合题训练

班级姓名完成情况

1.如图，四边形“88是。，AD=BD>为直径，DELBC,垂足为£

(1)求证：8平分

(2)若HC=8,CE=3,求

(1)证明：•四边形

.,./必/>/88=18・0°,

■：ABCl>ADCE=180°,

/DCE—/BAD,

AD=BD)

/BAD—NACD,

.,,ZDCE=ZACD,

.■.8平分

(2)解：:4C为直径，

.,.NOC=90°,

■：DELBC,

:./DEC=90°,

ZDEC=NADC,

/DCE=ZACD,

:ADCESRACD、

.CECDBn3CD

CDCACD8

--CD=2A/6.

2.如图，为。。的直径，C、尸为OO上两点，且点C为前的中点，过点。作力尸的

垂线，交工厂的延长线于点£交的延长线于点2

(1)求证：。万是的切线t

(2)当8。=2,sinO=1■时，求的长.

5

(1)证明：连接OC如图，

•・•点C为弧8厂的中点，

，弧8C=弧。尸.

：.LBAC=/.FAC,

■：OA=OC,

ZOCA=ZOAC.

NOCA=/FAC,

1

OCIIAE,

■：AE1DE,-

:.OCLDE.

石是。。的切线;

⑵•.•sinO=史3

OD5

，设OC=3x,OD=5x,

贝ij5x=3x+2,

/.x=1,

.0.C?C=3,OD-5,

AD—8,

AE_AE_3

'.'sinZ?=

AD

・•・心丝.

5

3.如图，已知，直线/切。。于点力,8为。，。上一点，过点8作8C_L/,垂足为点C,连

接力8、OB.

(1)求证：ZABC=ZABO\

(2)若而，AC=1,求。。的半径.

(1)证明：连接04

OB=OA,

NOBA=N0/48,

•・・/4C切。。于“，

OA_LAC,

\'BCLAC,

・•・OAIIBC,

NOBA=NABC、

AABC=/_ABO\

(2)解：过O作。。18c于。

\'OD]_BC,8clscOALAC,

ZODC=ZDCA=ZOAC=90°,

:.OD=AC=],

在Rt2XXC8中，/45--710，AC=1,由勾股定理得：BC=V(Vio)2-i2=3'

■：OD1.BC,过O,

2

BD=DC=工X3=1.5,

22

在中，由勾股定理得：O8=yJ]2+i.52=零，

即。。的半径是逗.

2

4.如图，为。。的直径，。为。。上一点，经过点。的切线交48的延长线于点£

/ZZLEC交Q的延长线于点D,连接/C.

(1)求证：SC平分/以£

⑵若cos/。/(金焉BE=2,求。。的半径.

(1)证明：连接OC

・•・上是。。的切线，

:.OC]_DE,

■：ADLDE,

OCIIAD,

/_OCA=/_DAC,

•：OA=OC,

/OCA—NOAC,

ADAC=Z.OAC,

，工。平分/。力£

(2)解：设。。的半径为r,

■：OCIIAD,

ZDAE=ZCOE,

9

/.cosZDAE=cos/COE=—,BE=2,

3

,r.2

-'r+2"3'

解得：r=4,

即。。的半径为4.

3

5.如图a,为0。直径，/C为。。的为弦，Q4为。。的切线，Z^C=2Z1.

(1)求证：QC是。。的切线.

(2)当/1=30。，48=4时，其他条件不变，求图匕中阴影部分的面积.

(1)证明：连结OC

在圆O中，OA=OC,

...N8OC=2/1=ZAPC,N8OC+N工0c=180°,

：.AAPC+/_AOC=\^°,

・•,以为。。的切线，

OAP=90°

又四边形内角和为360°,

，/。6=90°,OC为。。的半径，

二户。为。。的切线；

(2)解：以为0。的切线，QC为。。的切线.

PA=PC,

•."1=30°,N"C=2/1,

ZAPC=60°,

.•.△/PC为等边三角形,

连结OROC,

四边形AOCP-2X,X2X2=4,S扇形go。xnx4=n,

•'•S阴影部分的面积二4-TT.

4

6.如图，线段经过。。的圆心，交。。于。两点，BC=],为OO的弦，连

接BD,£BAD=±ABD=30°,连接。。并延长交。。于点E,连接8f交。。于点M.

(1)求证：直线6。是。。的切线；

(2)求切线8。的长；

(3)求线段8/W的长.

(1)证明：,.•/8/4。=/48。=30°,

008=2/845=60°,

008=180°-30°-60°=90°,

即BD,

:。。过。，

•・・直线6。是。。的切线；

(2)解：设OD=OC=r,

在中，sin30°=毁=工，

OBr+1

解得：r=l,

即OD=1,OB=1+1=2,

由勾股定理得：8。=料2_]2=«；

(3)解：连接。用，

・•・止是。。的直径，

：./.DME=90°,

即N。例8=N8OF=90°,

ZDBM=ZDBE,

:ABMDSABDE,

,BMBD

"BD"BE'

.B见一五

FF

解得：

7

一7.如图，四边形468为0。的内接四边形,且/C为。。的直径，AD=CD＞延长6c

到£使得8三=/8,连接。£

(1)求证：AD=DE;

(2)若上为。。的切线，旦DE=2M，求前的长度.

5

(1)证明：连接8。，

AD=CD，

Z.ABD=/.DBE,

•：AB=BE,80=8。，

:.△ABD^REBD(SAS),

：.AD=DE;

(2)解：连接OD,

AD=CD，

AD=CD、

•:AD=DE、

・・.CD=DE、

..YC为。。的直径，

/.Z5=Z/IZ9C=90°,

•:AD=CD、。为的中点，

:.^ODE=^ADC=45°,

为。。的切线，

/.ZODE=90,

:./_CDE=45°,

,\/_ADE=90°+45°=135°,

•・,CD=DE,

:./_DCE=Z.DEC=030,

/.Z5/4Z?=67.5°,

•:AD=CD,NZOC=90°,

.,.ZZ?/4C=45°,

:./_BAC=72.5°,

AD=CZ9=2j^,

AC=4,

OC=2,

・贡的长度是气萨受

8.如图，。。是△48C的外接圆，S8是直径，ODVAC,垂足为D

点，直线。。与OO相交于£尸两点，尸是。。外一点，户在直线

。。上，连接以，PB,PC,且满足NQd=NS8C

(1)求证：PA=PC,

(2)求证：必是。。的切线；

(3)若8c=8,总旧，求。E的长.

Dr2

6

(1)证明••.OOl/C,

AD=CD,

，也是4c的垂直平分线，

PA=PC,

(2)证明：由(1)知：PA=PC,

/_PAC=/.PCA.

.•.48是。。的直径，

:.AACB=90°,

^CAB+^CBA=90°.

又•：乙PCA=(ABC、

:.^PCA+ACAB=9QQ,

ACAB+APAC=9GO,BPABLPA,

..•%是。。的切线；

(3)解：；AD=CD,OA=OB,

ODIIBC,O£?=■^■8C=X8=4,

,.AB_2

.DF-2'

设48=3a,DF=2a,

•:AB=EF,

:.DE-3a-2o=a,

.,.。。=4=至-a,

2

<7=8,

:.DE=8.

9.如图，C是盘上的一定点，。是弦力8上的一定点，尸是弦C8上的一动点，连接。冗

将线段叨绕点尸顺时针旋转90°得到线段PD1,射线PD'与温交于点Q.已知

BC=6cm,设Q,C两点间的距离为xs,P,。两点间的距离为hcm,P,Q两点

间的距离为y2cm.

小石根据学习函数的经验，分别对函数看,为随自变量x的变化而变化的规律进行了探

究，下面是小石的探究过程，请补充完整：

7

(1)按照下表中自变量X的值进行取点、画图、测量，分别得到了必，力与X的几组对

应值：

x!cm0123456

y}/cm4.293.331.651.221.502.24

ydcm0.882.843.574.044.173.200.98

(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点(x,7,),

(X,为)，并画出函数片,为的图象;

(3)结合函数图象，解决问题：连接。Q,当△。尸Q为等腰三角形时，尸C的长度约为

1.3或5.7cm.(结果保留一位小数)

解：(1)观察图象发现规律可知：

表格数据为：2.44;

(2)如图所示：

即为两个函数片,发的图象；

(3)观察图象可知：

两个图象的交点的横坐标即为△。尸。为等腰三角形4

时，尸C的长度，

两个交点的横坐标为L3和5.7.-2

-3

故答案为：1.3或5.7.-W4

8

10.如图(1),某数学活动小组经探究发现：在。。中，直径与弦8相交于点尸，此

忖PA・PB=PC・PD

(1)如图(2),若与8相交于圆外一点尸，上面的结论是否成立？请说明理由.

(2)如图(3),将也绕点尸逆时针旋转至与OO相切于点C,直接写出外、PB、PC

之间的数量关系.

(3)如图(3),直接利用(2)的结论，求当尸C=«,21=1时，阴影部分的面积.

解：(1)成立.理由如下：

如图(2),连接4。、BC,

则N8=ZD

,:乙P=LP

:ZADs^PCB

,PA_PD

-PC-PB

:.PA*PB=PC»PD\

(2)PC1=PA»PB

理由如下：

如图(3),连接8C,OC,

・•・QC与OO相切于点C,

，"CO=90°,

,二"是直径，

;./ACB=9b

,1.ZPCA=ZOCB

■：OC=OB

,■,ZOCB=zOBC

/PCA=/OBC

•：/P=NQ

:APCAs4PBe

PC\PB=PA\PC

9

：.PC^=PA»PB.

(3)如图(3),连接OC,

■：P(^=PA»PB,PA=\

PB—3,AO—CO—1

:・PO=2

•.•9C与。。相切于点C,

・・.△PC。是直角三角形

:.s\n/_CPO=—=—

PO2

60=30°,ZCOP=60°

.•.△4OC为等边三角形

—XIX返考

2

60•兀XF71

S扇形QOC二

360T

S阴影=S扇形AOC~S&AOC

二三一返.

64

11.在平面直角坐标系xOy中，已知点工(0,2),点8在x轴上，以48为直径作。C,

点尸在y轴上，且在点力上方，过点尸作。C的切线尸Q,。为切点，如果点。在第一

象限，则称。为点尸的离点.例如，图1中的。为点尸的一个离点.

(1)已知点尸(0,3),々为尸的离点.

①如图2,若8(0,0),则圆心C的坐标为(0,1),线段尸Q的长为；

②若8(2,0),求线段化？的长；

(2)已知直线/:•y=kx+k+3(幺片0).

①当左=1时，若直线/上存在尸的离点Q,则点Q纵坐标f的最大值为6;

②记直线/：y=kx+k+3(ZxO)在-lvx<l的部分为图形G,如果图形G上存在P

10

的离点，直接写出左的取值范围.

解：(1)①如图可知：C(0,1),

在Rt△产GC中，CQ=],PC=2,

-t-PQ-

故答案为(0,1)；V3；

②如图，过C作CVLLy轴于点M,连接CP,CQ.

■.-A(0,2),B(2,0),

.­.C(l,1).

：.M(0,1).

在^△4。的中，由勾股定理可得C4=&.

-1.CQ=1\[2.

■：P(0,3),M(0,1),

：.PM=2.

在Rt△尸OW中，由勾股定理可得尸。=旄.

22

在Rt△9中，由勾股定理可得PQ=VPC-CQ=V3-

(2)①如图1:当Z=1时，％户4,

.•.O(/-2,f),

.•.CQ=、2t2-8t+10,

当/=2时，CG最大，

在RtZ\C7?Q中，CD=aCQ最大则。Q最大，

.•.Q(2,6),故答案为6;

②；-1wxv1,

Q点的在端点(-1,3)和(1,2Z+4)之间运动,

当。在(1,2Z+4),P(0,4)时，

直线9Q的解析式/=(24-1)x+4,

点C(l,1)到直线尸。的距离为加时，可得幺=。或左=4,

.,.0<k<4.

12.已知为。。的直径.

(1)如图。，点。为余的中点，当弦&?=SC时，求N4

(2)如图b点。为宸的中点，当48=6,点5为8。的中点时，求OE的长.

(3)如图G点。为左上任意一点(不与力、C重合)，若点C为的中点，探求8。、

AD.8之间的数量关系，直接写出你探求的结论，不要求证明.

解：(1)如图1,连结OC,

点。为众的中点,

•-AD=D(rBC

O

Z/1=—ZCO5=^XAX180=30°.

223

(2)如图2,连结OD,BC,交/IC于点尸，

48为。。的直径，

.1,ZC=900

点。为众的中点，半径。。所在的直线为。。的对称

轴，

则点力的对应点为C,

：.OD^AC,平分/C,即：AF=CF,

在丛DEF和丛BEC中,

rDE=BE

<ZDFE=ZC=90°,

ZDEF=ZBEC

:.XDEPAXBEC{AAS).

/.CE=EF,BC=DF,

12

-：AO=BO,AF=CF,

:.OF=—BC=—DF,又45=6,

22

OD—3

/.OF=1,BC=DF=2.

在RtA/IBC中，AB=6,5C=2,

••・"C=VAB2-BC2=VB2-22=4V2，

•・.点尸为方C的中点，点f■为fC的中点

图3

:.EF=M，

在Rtao任中，EF=M、OF=I,

:QE=VOF2+EF2=V2+1=«•

(3)BD、AD.C。之间的关系为：BD-AD=MCD,

如图3,连接8C,OC,

.•."8为0。的直径，点C为众的中点，

:"ACB=90°,AC=BC,

Z.BAC=/.BDC=A5°,

过点C作CF1CD交BD于点F,

.・.△OC厂是等腰直角三角形，

.,.CD=CF,DF=&CD,

■：Z.ACD=Z.BCF=90°-/.ACF,

又...工C=8C,CD=CF

:./XACD^ABCF(SAS)•,

:.AD=BF,

■：BD=BF+DF,

BD=Agyf^CD,

即BD-AD=42CD-

13.如图，在△46C中，AB^AC,/4=30°,48=10,以46为直径的。。交8c于

点。，交/C于点£连接。£过点8作8尸平行于。£

交。。于点尸，连接CROP.

(1)求证：点。为8c的中点；

(2)求♦户的长度;

(3)求证：6是。。的切线.

解：(1)BD=DC.理由如下：

如图1,连接力。，

13

•.Y8是直径,

408=90°,

:.ADLBC.

(2)如图1,连接

..•/。是等腰△Z8C底边上的中线,

ZBAD=ZCAD,

•1•BD=DE'

BD=DE.

BD=DE=DC,

NDEC-ZDOE,图1

△/8C中，AB=AC,Z/=30°,

：.ADCE=AABC=^(180°-30°)=75°,

.1.ZDEC=75°,

:./_EDC=180°-75°-75°=30°,

■：BPIIDE,

ZPBC=ZEDC=30°,

ZABP=ZABC-ZPBC=75°-30°=45°,

08=OP,

：./_OBP=£OPB=45°,

ZBOP=90°.

.•.△/。尸是等腰直角三角形.

■：AO=—AB=5.

2

；AP=MAO=5M；

(3)解法一：设。尸交SC于点G,如图1,则N/IOG=/8O尸=90°,

在RtaZOG中，NO/4G=30°,

.0G_1

一前一5

又•巫=史二

ACAB2

.O