2021年重庆市合川区中考数学押题试卷（二）解析版

2021年重庆市合川区中考数学押题试卷（二）

一.选择题（满分48分，每小题4分）

1.在-1,0,2,加四个数中，最大的数是（）

A.-1B.0C.2D.M

2.下列图形中是轴对称图形的是（）

.72

A.a*a—aB.a2+a4—as

4.下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相

垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边

三角形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.B4,分别切。0于A,2两点，点C为。。上不同于的任意一点，已知NP=40°,

6

A.70°B.110°C.70°或110°D.不确定

6.估算J?加+2在哪两个整数之间（）

A.4和5B.5和6C.6和7D.7和8

7.如图，在平行四边形ABC。中，点E在边DC上，DE：EC=3：1,连接AE交BO于点

F,则△/）£■厂的面积与△D4F的面积之比为（）

DEC

A.9：16B.3：4C.9：4D.3：2

8.《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折

测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折

成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一

尺.问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为（）

A.AX_^=_LX_|B.3x+4=4x+l

C..L4=—v+iD.3（x+4）=4（x+1）

3Y+4

9.下列图案是用长度相同的牙签按一定规律摆成的.摆图案（1）需8根牙签，摆图案（2）

需15根牙签…按此规律.摆图案（〃）需要牙签的根数是（）

(1)(2)(3)

A.7，?+8B.7〃+4C.7n+lD.In-1

10.数小人在数轴上的位置如图所示，下列各式中正确的个数是（）

①a+b>0；®ab<0；③|a|+b<0；④a-Q0；⑤|a|=-a.

-JL_J__I_L*_>

-2-10123

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.若整数〃使关于x的不等式组:无解，且使关于x的分式方程上-工=

x-3a<C-2x-55-x

-3有正整数解，则满足条件的a的值之积为（）

A.28B.-4C.4D.-2

12.如图（1）,△A3C是等腰直角三角形，NC=90°,AQ为3c边上的中线，沿中线AD

把△45C折叠，如图（2）,则下列判断正确的是（)

图②

A.S^BDG>SMCGB.S^BDG=SMCG

C.S^BDG<SMCGD.无法确定

二.填空题（满分24分，每小题4分）

13.我国最大的领海是南海，总面积有3500000to2,用科学记数法可表示为

knr.

14.规定侈是一•种新运算规则：-廿，例如：2（8）3=22-3?=4-9=-5,则5<8）［l（g）

(-2)]=

15.从-1,1,2这三个数中随机抽取两个数分别记为x,y,把点M的坐标记为（x,y）,

则点M在直线/：y=-x上的概率为.

16.如图，矩形4BCD的边AB=1,BE平分N4BC,交4。于点E,AD=2AB,以点8为

圆心，BE为半径画弧，交BC于点F,则图中阴影部分的面积是,

17.甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两

人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间r（分）之间的函数关系如图所示.下

列说法：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③6=480；④a=24.其中

正确的是.（填序号）.

18.某地突发地震期间，为了紧急安置房屋倒塌的30名灾民，需要搭建可容纳6人或4人

的帐篷若干个，若所搭建的帐篷恰好(既不多也不少)能容纳这30名灾民，则不同的搭

建方案有种.

三.解答题(共78分)

19.计算：

(1)(a+h)(a-b)+a(,3b-a)；

(2)(l-x+上红)+——-——.

x-1X2-2X+1

20.如图，在△ABC中，ZACB=\20°,BC=2AC.

(1)利用尺规作等腰△OBC,使点。，A在直线BC的同侧，且。8=BC,NDBC=N

4c8.(保留作图痕迹，不写画法)

(2)设(1)中所作的△QBC的边QC交A8于E点，求证：AE=BE.

21.某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽

取部分学生进行调查.调查结果分为四类：A类--非常了解；8类--比较了解；C-

一般了解；。类--不了解.现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图

中的信息解答下列问题：

(1)本次共调查了名学生.

(2)补全条形统计图.

(3)。类所对应扇形的圆心角的大小为.

(4)己知。类中有2名女生，现从。类中随机抽取2名同学，试求恰好抽到一男一女

的概率.

22.某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人,

街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.

(1)求A社区居民人口至少有多少万人？

(2)街道工作人员调查A,8两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：

A社区有1.2万人知晓，8社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个

月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为机％,B社区的知晓人数第一个月

增长了机％,第二个月增长了2〃2％,两个月后，街道居民的知晓率达到76%,求相的值.

23.小帆根据学习函数的过程与方法，对函数尸L|"+6|(a>0)的图象与性质进行探究.已

4

知该函数图象经过点(2,1),且与x轴的一个交点为(4,0).

(1)求函数的解析式；

(2)在给定的平面直角坐标系中：

①补全该函数的图象；

②当2WxW4时，)，随x的增大而(在横线上填增大或减小)；

③当x<4时，的最大值是.

4

①直线丫=/与函数y=L|or+例有两个交点,贝!|k=_______

4

24.任意一个四位数〃可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一

个新的四位数，小记f(")=ri"m.如“=1234,则“7=3412,f(1234)—

9999

--22.

(1)直接写出f(1111)=,f(5025)=,并求证：对任意一个四位数〃，f

(〃)均为整数.

(2)^5=1200+10a+/j,f=1000H100〃+14(l〈aW5,lWbW5,a、匕均为整数)，当了

(s)t/'(力是一个完全平方数时，求满足条件S的最大值.

25.如图1,抛物线丫=以2+公+2•与x轴交于点A(-1,0),C(3,0),点B为抛物线顶

2

点，连接A8,BC,AB与y轴交于点£>,连接CD.

(1)①求这条抛物线的函数表达式；

②直接写出顶点B的坐标；

(2)直接写出AABC的形状为；

(3)点尸为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PCC的面积为S,点P的横坐标为〃

当S有最大值时，求〃?的值；

(4)如图2,连接OB,抛物线上是否存在点Q,使NBC4+NQC4=Na,当tana=2

时，请直接写出点。的横坐标；若不存在，说明理由.

26.已知△ABC中,ZACB=90°,AC=2BC.

(1)如图①，若A8=B£>,AB^BD,求证：CD=QB；

(2)如图②，若AB=4D,AB1AD,8c=1,求C£＞的长;

(3)如图③，若AO=B£>,ADLBD,AB=2遥,求CO的长.

图③

2021年重庆市合川区中考数学押题试卷（二）

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

1.在-1,0,2,我四个数中，最大的数是（）

A.-1B.0C.2D.我

【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值

大的反而小，据此判断即可.

【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得

-1<0<&<2,

在：-1,0,2,四个数中，最大的数是2.

故选：C.

2.下列图形中是轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可.

【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意:

3、是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

。、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

故选：B.

3.下列计算正确的是（）

A.a'^—a1B.c^+a4—^C.(ab)3—ab3D.ai-ra—a1

【分析】分别根据同底数曷的乘法法则，合并同类项的法则，积的乘方以及同底数幕的

除法法则逐一判断即可.

【解答】解：a-a2=a\故选项A不合题意；

J与公不是同类项，所以不能合并，故选项8不合题意；

(")3=//,故选项c不合题意;

cr'-i-a—a2,正确，故选项。符合题意.

故选：D.

4.下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相

垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边

三角形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题共有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据正方形、菱形、等边三角形的性质以及平行四边形的判定即可一一判断；

【解答】解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故正确；

②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故错误：

③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故正确；

④等边三角形既是轴对称图形不是中心对称图形，故错误，

故选：B.

5.PA,分别切。0于A,8两点，点C为0。上不同于的任意一点，已知NP=40°,

6

A.70°B.110°C.70°或110°D.不确定

【分析】连接04、OB,可求得乙4OB,再分点C在窟上和位上，可求得答案.

【解答】解：如图，连接OA、OB,

'：PA,PB分别切于A,8两点，

以。=NPBO=90°,

AZAOB=360°-90°-90°-40°=140°,

当点Ci在ABC上时，则NAC1B=，NAOB=70°,

2

当点C2在窟上时,则/AC2B+/ACI8=180°,

AZAC2B=110°,

故选：c.

6.估算遥•近+2在哪两个整数之间（）

A.4和5B.5和6C.6和7D.7和8

【分析】先根据二次根式的乘法法则化简，再估算我的范围即可.

【解答】解：虫•加+2=/+2=3我+2,

vl.4<V2<1-5,

.-.4.2<3&<4.5,

.-.6.2<3V2+2<6.5,

即/冬4+2在6和7两个整数之间•

故选：C.

7.如图，在平行四边形ABC。中，点E在边DC上，DE：EC=3：1,连接AE交8。于点

F,则△£>《尸的面积与尸的面积之比为（）

A.9：16B.3：4C.9：4D.3：2

【分析】先根据平行四边形的性质得到AB=C£>,AB//CD,则OE：48=3：4,再证明

△DEFSXBAF,利用相似比得到旦2=旦，然后根据三角形面积公式求△0EF的面积与

AF4

△D4尸的面积之比.

【解答】解：；四边形ABC。为平行四边形,

：.AB=CD,AB//CD,

\'DE：EC=3：1,

：.DE：AB=DE：DC=3：4,

■:DE//AB,

：.XDEFS[\BAF,

».•^E―^F―-_DE_3,

AFAB4

•••△。石歹的面积与494歹的面积之比=防：AF=3：4.

故选:B.

8.《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折

测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折

成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一

尺.问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为()

A.-yx-4='^'X-lB.3x+4=4x+l

C.]X+4=LX+]D.3(x+4)—4(x+1)

【分析】设井深为x尺，根据绳子的长度固定不变，即可得出关于x的一元一次方程，

此题得解.

【解答】解：设井深为X尺，

依题意，得：3(x+4)=4(x+1).

故选：D.

9.下列图案是用长度相同的牙签按一定规律摆成的.摆图案(1)需8根牙签，摆图案(2)

需15根牙签…按此规律.摆图案(〃)需要牙签的根数是()

OOO…

(1)(2)

A.7〃+8B.7/2+4C.7n+lD.In-1

【分析】根据图案①、②、③中牙签的数量可知，第1个图形中牙签有8根，每多一个

多边形就多7根牙签，由此可知第〃个图案需牙签8+7(«-1)=7〃+1根.

【解答】解：•••图案①需牙签：8根；

图案②需牙签：8+7=15根；

图案③需牙签：8+7+7=22根；

图案〃需牙签:8+7（n-1）=7〃+1根,

故选：C.

10.数m6在数轴上的位置如图所示，下列各式中正确的个数是（）

①。+匕>0；②。6<0：③同+b<0；®a-b>0；⑤⑷=-a.

ab

__•____I_____________I______1_•_____>

-2-10123

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数.原点左边的数为负数，原

点右边的数为正数.从图中可以看出。<0<6,网>同，再根据有理数的运算法则判断即

可.

【解答】解：根据数轴上a,6两点的位置可知，b<0<a,\b\>\a\,

①根据有理数的加法法则，可知a+h>0；故正确；

②出?<0；故正确：

③间+6>0,故错误；

-h<0,故错误；

⑤间=-a,故正确.

故选：C.

11.若整数a使关于x的不等式组!'-a）?无解，且使关于x的分式方程上一旦=

（x-3a<-2x-55-x

-3有正整数解，则满足条件的〃的值之积为（）

A.28B.-4C.4D.-2

【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组无解确定出«的范围，分式方程去分母转

化为整式方程，表示出分式方程的解，由分式方程有正整数解确定出«的值，即可求出

所求.

【解答】解：不等式组整理得：J,

x<3a-2

由不等式组无解，得到3a-2Wa+2,

解得：aW2,

分式方程去分母得：ar+5=-3x+15,即（a+3）x=10,

由分式方程有正整数解，得到x=也，即a+3=l,2,5,10,

a+3

解得：a=-2,-1,2,7,

；xW5,即用W5

a+3

・・・〃W-1

综上，满足条件〃的为-2,2,之积为，-4,

故选：B.

12.如图(1),ZVIBC是等腰直角三角形，ZC=90°,AO为BC边上的中线，沿中线4。

把△43。折叠，如图(2),则下列判断正确的是()

A.S^BDG>S^ACGB.S&BDG=S&ACG

C.S&BDG<SAACGD.无法确定

【分析】根据等底同高的两三角形面积相等可知：S^ADB=MDC,然后依据等式的性质即

可得出△AGC和△3GO的面积相等.

【解答】解：TA。是△ABC一边5C上的中线，

：.BD=DC.

:.S〉ADB=SMDC.

S^ADB-S^ADG=SMDC-SAADG.

:.S4AGC=S4BGD.

故选：B.

二.填空题(共6小题)

13.我国最大的领海是南海，总面积有3500000如用科学记数法可表示为3.5X106..

【分析】科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值>1时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，"是负数.

【解答】解：将3500000用科学记数法表示为：3.5X106.

故答案为：3.5X106.

1222

14.规定区是一种新运算规则:a®h=a-bf例如：203=2-3=4-9=-5,则50[10

(-2)1=16.

【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值.

【解答】解：根据题中的新定义得：原式=5笆)(1-4)=50(-3)=25-9=16.

故答案为：16.

15.从-1,1,2这三个数中随机抽取两个数分别记为x,y,把点M的坐标记为(x,y),

则点用在直线/：y=-x上的概率为1.

一3一

【分析】根据题意画出树状图得出所有点M的坐标，得出符合条件M的坐标，然后根据

概率公式即可得出答案.

【解答】解：根据题意画图如下：

得到点M的坐标分别是(-1,1)(-1,2)(1,-1)(1,2)(2,-1)(2,1),

共有6个等可能的结果，点M在直线/：y=-x上的结果有2个，

二点何在直线/：y=-x上的概率为2=1，

-63

故答案为：.1.

3

16.如图，矩形ABC。的边48=1,BE平分NABC,交AD于点E,AD=2AB,以点8为

圆心，BE为半径画弧，交BC于点凡则图中阴影部分的面积是二二

【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE,BE的长以及NE8尸的

度数，进而利用图中阴影部分的面积=S矩形AB6-S“8E-S扇彩EBF,求出答案.

【解答】解：：矩形ABC。的边A8=l,BE平分/ABC,

:.NABE=NEBF=45°,AD//BC,

AZAEB=ZCBE=45°,

：.AB=AE=1,BE=版,

•・•点E是AZ）的中点，

：.AE=ED=1,

・•.图中阴影部分的面积=S矩形ABC。-S^ABE-S隔形EBF

=lX2-/XlX|-45兀x（&）2=，匹.

236024

故答案为：1-2L.

24

17.甲、乙二人从学校出发去科技馆，甲步行一段时间后，乙骑自行车沿相同路线行进，两

人均匀速前行，他们的路程差s（米）与甲出发时间M分）之间的函数关系如图所示.下

列说法：①乙先到达科技馆；②乙的速度是甲速度的2.5倍；③b=480；④“=24.其中

正确的是①②③（填序号）.

【分析】根据甲步行720米，需要9分钟，进而得出甲的运动速度，利用图形得出乙的

运动时间以及运动距离，进而分别判断得出答案.

【解答】解：由图象得出甲步行720米，需要9分钟，

所以甲的运动速度为：720+9=80（血分），

当第15分钟时，乙运动15-9=6（分钟），

运动距离为：15X80=1200（〃?），

，乙的运动速度为：1200+6=200（加分），

；.200+80=2.5,（故②正确）;

当第19分钟以后两人之间距离越来越近，说明乙已经到达终点，则乙先到达青少年宫,

（故①正确）；

此时乙运动19-9=10（分钟），

运动总距离为：10X200=2000（，〃），

.•.甲运动时间为:20004-80=25（分钟）,

故。的值为25,(故④错误)；

：甲19分钟运动距离为：19X80=1520(/»),

.,.6=2000-1520=480,(故③正确).

故正确的有：①②③.

故答案为：①②③.

18.某地突发地震期间，为了紧急安置房屋倒塌的30名灾民，需要搭建可容纳6人或4人

的帐篷若干个，若所搭建的帐篷恰好(既不多也不少)能容纳这30名灾民，则不同的搭

建方案有3种.

【分析】可设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶.根据两种帐篷容纳的总人数为30

人,可列出关于x、y的二元一次方程，根据x、y均为非负整数，求出x、y的取值.根

据未知数的取值即可判断出有几种搭建方案.

【解答】解：设6人的帐篷有x顶，4人的帐篷有y顶，

依题意，有：6x+4y=30,整理得y=7.5-l.5x,

因为x、y均为非负整数，所以7.5-1.5x20,

解得：0WxW5,

从0到5的奇数共有3个，

所以x的取值共有3种可能.

故答案为：3.

三.解答题(共8小题)

19.计算：

(1)(a+b)(a-b)+a(3b-a)；

(2)(1-2)-----x----

x-1x2-2x+l

【分析】(1)先计算多项式乘多项式和单项式乘多项式，再合并同类项即可得；

(2)根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得.

【解答】解：⑴原式=/-廿+3而-/

=3ab-h2.

2

(2)原式=(2x-x-l+l-2x)+_x_

2

X-lX-l(X-l)

=-x2.（X-1）2

x-lx

=-x（x-I）

=-x2+x.

20.如图，在△ABC中，ZACB=}20°,BC=2AC.

（1）利用尺规作等腰△DBC,使点D,A在直线BC的同侧，且DB=BC,ZDBC=Z

4c8.（保留作图痕迹，不写画法）

（2）设（1）中所作的△O8C的边0c交A3于E点，求证：AE=BE.

【分析】（1）先作NCBQ=NACB,然后截取BC=BC；

（2）作8F〃AC交CD于凡如图，根据平行线的性质得到NCBF=60°,利用等腰三

角形的性质计算出NO8F=60°,/BC£>=N8OC=30°,则N8尸C=90°,从而得到

BF=XBC=AC,然后证明△BEFgZVICE,从而得到结论.

2

【解答】（1）解：如图，点。为所作；

(2)证明：作2尸〃AC交C。于凡如图,

:乙4cB=120°,

AZCBF=1800-NACB=60°,

"：ZDBC=ZACB=120°,BD=BC,

；.NDBF=60°,N8CD=/2OC=30°,

：.ZBFC=90°,

在RtZXBCF中，BF=1-BC,

2

\'BC=2AC,

：.BF=AC,

\'BF//AC,

：.NFBE=/A,

在和△ACE中，

，ZBEF=ZAEC

,ZFBE=ZA，

BF=AC

：./\BEF^/\ACE（A4S）,

：.AE=BE.

21.某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽

取部分学生进行调查.调查结果分为四类：A类--非常了解；8类--比较了解；C-

一般了解；。类--不了解.现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图

中的信息解答下列问题：

（1）本次共调查了50名学生.

（2）补全条形统计图.

（3）。类所对应扇形的圆心角的大小为36°.

（4）己知。类中有2名女生，现从。类中随机抽取2名同学，试求恰好抽到一男一女

的概率.

【分析】（1）根据条形图和扇形图得出8类人数为20名，占40%,即可得出总数；

（2）根据总人数减去A,B,。的人数得出C的人数，即可补全条形统计图；

（3）用360。乘以。类部分所占百分比即可得出圆心角的度数；

（4）画出树状图，共有20个等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有12个，再由概

率公式求解即可.

【解答】解：（1）本次共调查的学生数为：20-40%=50（名），

故答案为：50；

(2)C类学生人数为：50-15-20-5=10(名),

补全条形统计图如下：

(3)。类所对应扇形的圆心角为：360°X旦=36°,

50

故答案为:36°；

(4)画树状图如图：

开始

男男男女女

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共有20个等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有12个，

•••恰好抽到一男一女的概率为22=3.

205

22.某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人,

街道划分为A,B两个社区，3社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.

(1)求4社区居民人口至少有多少万人？

(2)街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：

4社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个

月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为，"％,8社区的知晓人数第一个月

增长了皿％,第二个月增长了2机％,两个月后，街道居民的知晓率达到76%,求胆的值.

【分析】(1)设4社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居

民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；

(2)A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5X76%,据此列出关于m的方程并解答.

【解答】解：(1)设A社区居民人口有x万人，则B社区有(7.5-%)万人，

依题意得：7.5-xW2x,

解得x22.5.

即A社区居民人口至少有2.5万人；

(2)依题意得：1.2(1+〃?％)2+lX(1+w%)X(1+2，〃％)=7.5X76%

设M％=“，方程可化为：

1.2(1+a)2+(1+a)(l+2a)=5.7

化简得：32a2+54。-35=0

解得4=0.5或-—(舍)

16

.\m=50

答：机的值为50.

23.小帆根据学习函数的过程与方法，对函数y=L|以+加(〃>0)的图象与性质进行探究.I」

4

知该函数图象经过点(2,1),且与x轴的一个交点为(4,0).

(1)求函数的解析式;

(2)在给定的平面直角坐标系中:

①补全该函数的图象;

②当2<xW4时，v随x的增大而减小(在横线上填增大或减小);

③当x<4时，y=*|ax+例的最大值是」

①直线>=女与函数y=L|or+例有两个交点，则k=0或1

4

【分析】(1)将点(2,1),(4,0)代入即可;

4

(2)画出函数图象即可求解.

【解答】解：⑴将点(2,1),(4,0)代入尸L|or+川

4

得至Ua=-1,b=4或n=l,b=-4,

b=-4,

：.y=Xx\x-4|；

4

(2)①如图所示：

②由图可知，当2WxW4时，y随x的增大而减小；

故答案为减小；

③当x<4时，由图象可知，当x=2时，y=*|x-4|有最大值,

此时y=L

故答案为1；

④直线y=《与函数y=L|x-4|有两个交点，由图象可知，

4

k=0或攵=1；

故答案。或1.

24.任意一个四位数〃可以看作由前两位数字和后两位数字组成，交换这两个两位数得到一

个新的四位数机，记/(〃)=n-m如〃=1234,则加=34⑵f(1234)跄-3也2

9999

=-22.

(1)直接写出/(II11)=0,/(5025)=25,并求证：对任意一个四位数〃，

/(H)均为整数.

(2)若s=1200+10a+b,f=1000加■100a+14(1〈a&5,1W6W5,a.b均为整数)，当/

(s)4/(f)是一个完全平方数时，求满足条件s的最大值.

【分析】(1)利用新定义直接计算即可得出结论；

(2)先求出f(s)和/(力，进而求出/(s)+f⑺=9(b-a)-2,由题意判断出b

-。=1或2或3或4,最后计算判断即可得出结论.

【解答】解：(1),.”=1111,

"=1111,

.-./(ini)=ilii-UiUo,

99

■=5025,

，加=2550,

：.f(5025)=§。25-255。=25,

99

设任意一个四位数，?=abed，(a，b,c,d为正整数，且aWO,cWO),

・・・m=cdab，

：.n-;n=abcd-cdab=lOOOa+lOOb+lOc+d-(lOOOc+lOOd+lOa+b)=990。+996-990c

-99d=99(lOa+A-10c-d),

;./(〃)=9=99(10a+b-10c-d)=Wa+b70c,丁

9999

''a,b,c,〃为正整数，且aWO,cWO,

.♦•/(〃)均为整数，对任意一个四位数n,/(〃)均为整数.

故答案为：0,25；

(2)；s=1200+10。+/;且1WaW5,；.〃?=1000a+100b+12,

：.s-m=1200+10a+b-(1000〃+100。+12)=-990。-990+1188=99(-10a-fe+12),

：.f(s)=.§Z5L=12-\Oa-b

99

10006+1004+14且1W6W5,

I”=1400+106+〃，

Ar-w'=1000/?+100a+14-(1400+1OZ>+a)=990b+99a-1386=99(lOb+a-14)

：.f(f)=Lm'=io-a-14,

：.f(5)+f(r)=12-10a-6+106+a-14=9(b-a)-2,

•：f(5)tf(f)是一个完全平方数，

.•.9(b-a)-2是一个完全平方数，

..TWaW5,WW5,

；.b-a=l或2或3或4,

当6-“=1时，f(s)4/(f)=7,不是完全平方数，

当b-a=2时，f(s)+f(t)=16,是完全平方数，

：s=1200+10〃+6,且s要越大,

越大，

二。=3,6=5,此时，s—1200+30+5=1235,

当b-a=3时，f(s)+fdt)=25,是完全平方数，

：s=1200+10«+/?,且s要越大，

--a越大，

；.a=2,b=5,此时，s=1200+20+5=1225,

当匕-a=4时，/(s)+f(f)=34,不是完全平方数，

即：当f(s)t/G)是一个完全平方数时，满足条件s的最大值1235.

25.如图1,抛物线y=ax2+fec+旦与x轴交于点A(-1,0),C(3,0),点8为抛物线顶

2

点，连接48,BC,A8与y轴交于点力，连接CD

(1)①求这条抛物线的函数表达式；

②直接写出顶点B的坐标(1,2)；

(2)直接写出△ABC的形状为等腰直角三角形；

(3)点尸为抛物线上第一象限内的一个动点，设△「小?的面积为S,点尸的横坐标为处

当S有最大值时，求相的值；

(4)如图2,连接OB,抛物线上是否存在点Q,使NBC4+NQC4=Na,当tana=2

时，请直接写出点。的横坐标；若不存在，说明理由.

AV

yBB

XX

图1图2

【分析】(1)①把点A(-1,0),C(3,0)代入抛物线y=/+次+3中，列方程组，

2

解出即可求得结论；

②配方后可得顶点B的坐标；

(2)利用两点的距离分别计算AB2,AC2,BC1的值，根据勾股定理的逆定理可得：△

ABC是等腰直角三角形；

(3)如图2,作辅助线，求出直线C。的解析式，用含机的代数式表示出点尸和点N的

坐标，计算PN的长，根据三角形面积公式可得：S关于m的函数关系式，并根据二次函

数的性质写出S的最大值时m的值；

(4)分两种情况讨论：①当点。在x轴下方时，如图3,先确定C尸的解析式，利用抛

物线与直线CF的解析式列方程，解出可得Q的横坐标；②当。在x轴下方时，如图4,

同理可得结论.

【解答】解：(1)①把点A(-1,0),C(3,0)代入抛物线y=o?+fcv+3中得：

2

’3,

a-b+y=0f_1

-,解得：『=下,

9a+3b+^-=0b=l

抛物线的解析式为：y=-L2+x+旦；

22

@y--Xx1+x+——-A(%-1)2+2,

222

顶点B的坐标为(1,2)；

故答案为：(1,2)

(2)4ABC的形状是等腰直角三角形，理由是：

如图1,

图1

VA(-1,0),C(3,0),B(I,2),

：.AC2=(3+1)2=16,

AB2=(1+1)2+22=4+4=8,

BC?=(3-1)2+(2-0)2=4+4=8,

：.AB2+BC2=AC2,

，NABC=90°,AB=BC,

.••△ABC的形状是等腰直角三角形；

(3)由题意得：P(〃?，-—m2+m+—),

22

VA(-1,0),8(1,2),

设直线A8的解析式为：y^kx+n(AW0),

则「kF=0,解得：。=1,

lk+n=2In=l

二直线AB的解析式为：y=x+l,

：.D(0,1),

同理可得直线CD的解析式为：y=-2+1,

3

如图2,过户作PN〃y轴，交.CD于N,

图2

:.N(〃2,-),

3

PN---itr+m+--(-—m+1)=--m2+—m+—,

223232

•■-5=yPN-0C)

=%(多2亭卷),

=--i?r+2m+—,

44

--3-(7??-A)2+至，

4312

:-3<o,

4

.•