人教A版高中数学必修第二册同步讲义第39讲 总体百分位数的估计（原卷版）

第39课总体百分位数的估计目标导航目标导航课程标准课标解读1.结合实例，能用样本估计百分位数.2.理解百分位数的统计含义．前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断．接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？知识精讲知识精讲知识点01百分位数的定义1．一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按排列原始数据．第2步，计算i＝.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的．注意点：(1)中位数相当于是第50百分位数．除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数．(2)第25,50,75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．(3)第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．【即学即练1】下列表述不正确的是()A．50%分位数就是总体的中位数B．第p百分位数可以有单位C．一个总体的四分位数有4个D．样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确反思感悟分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置．百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息．知识点02由样本数据求百分位数【即学即练2】从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8，8.3,8.0，分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数．反思感悟计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤第1步，按照从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项和第(i＋1)项数据的平均数．知识点03由频数(频率)分布表求百分位数【即学即练3】某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现按比例分配分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)．(1)A类工人和B类工人中各应抽查多少人？(2)A类工人中的抽查结果和B类工人中的抽查结果分别如表1和表2所示．表1生产能力分组[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]人数48x53表2生产能力分组[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]人数6y3618先确定x，y的值，再分别计算A类工人和B类工人生产能力的样本数据的60%分位数(保留两位小数)．反思感悟题目给出的分布表与原始数据相比，损失了一些信息，不知道这些具体数据的情况，在求解时，可以把它们看成均匀地分布在某区间上．能力拓展能力拓展考法01百分位数的定义【典例1】15%分位数的含义是()A．总体中任何一个数小于它的可能性是15%B．总体中任何一个数小于或等于它的可能性是15%C．总体中任何一个数大于它的可能性是15%D．总体中任何一个数大于或等于它的可能性是15%考法02由样本数据求百分位数【典例2】某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.9，则其50%分位数为________．考法03由频数(频率)分布表求百分位数【典例3】从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频率分布表如下：排号分组频数频率1[0,2)60.062[2,4)80.083[4,6)17b4[6,8)220.225[8,10)250.256[10,12)120.127[12,14)a0.068[14,16)20.029[16,18]20.02合计1001(1)求频率分布表中a，b的值；(2)计算50%分位数，并估计是否有50%的学生的阅读时间达到7.68小时．考法03由频率分布直方图求百分位数例4某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组：[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知年龄在[20,25)的参赛者有5人．(1)求x；(2)估计抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)；(3)以下是参赛的10人的成绩：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99，求这10人成绩的20%分位数和平均数，以这两个数据为依据，评价参赛人员对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．反思感悟由频率分布直方图求百分位数的方法(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．(2)一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可．跟踪训练4为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗？ 分层提分分层提分题组A基础过关练1．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是()A．14B．17C．19D．232．已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是()A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数3．下列一组数据的下四分位数是()2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6A．3.2B．3.0C．4.4D．2.52．1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，下四分位数即第25百分位数，由10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是下四分位数．4．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，试估计此样本数据的第50百分位数为________．题组B能力提升练1．数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的30%分位数为()A．8.4B．8.5C．8.6D．8.32．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)：78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，则这15人成绩的第80百分位数是()A．90B．90.5C．91D．91.53．(多选)一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，这组数据的一个四分位数是15，则它是()A．第一四分位数 B．下四分位数C．第三四分位数 D．上四分位数4．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a，第50百分位数为b，则有()A．a＝13.7，b＝15.5 B．a＝14，b＝15C．a＝12，b＝15.5 D．a＝14.7，b＝155．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，估计棉花纤维的长度的样本数据的80%分位数是()A．29mm B．29.5mmC．30mm D．30.5mm6．(多选)某校高一(6)班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是()A．没有人的成绩在30～40分这组内B．第25百分位数位于40～50分这组内C．第50百分位数位于60～70分这组内D．第75百分位数位于70～80分这组内7．某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，则60分为成绩的第________百分位数．8．如图是某市2022年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，这7天的日最高气温的第10百分位数为______，日最低气温的第80百分位数为______．9．求下列数据的四分位数．13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20.10．某网络营销部门随机抽查了某市200名网友在2022年6月18日的网购金额(单位：千元)，所得数据如下表：网购金额(单位：千元)人数频率[0,1)160.08[1,2)240.12[2,3)xp[3,4)yq[4,5)160.08[5,6]140.07合计2001.00已知网购金额低于3千元与不低于3千元的人数比恰为3∶2.(1)试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图；(2)估计网购金额的25%分位数(结果保留3位有效数字)．题组C培优拔尖练1．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位某地市民，他们的幸福感指数为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的75%分位数等于()A．7B．7.5C．8D．8.52．按从小到大排序的一组数据为6，a，b，20，24，若40%分位数为16，则下列情况可能的是()A．a＝15，b＝17 B．a＝16，b＝17C．a＝17，b＝18 D．a＝16，b＝193．(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数C．甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数D．甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差4．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为____秒．5．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是()A．[4.5，＋∞) B．[4.5,6.6)C．(4.5，＋∞) D．(4.5,6.6]6．某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量(单位：千瓦时)划分为三档，月用电量