人教A版高中数学必修第二册同步讲义第15讲 余弦定理、正弦定理应用举例（原卷版）

第15课余弦定理、正弦定理应用举例目标导航目标导航课程标准课标解读1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．3.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.4.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用．1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基础上熟练应用是关键.5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用．知识精讲知识精讲知识点01基线的概念与选择原则1．定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的叫做基线．2．性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越．【即学即练1】已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里知识点02测量中的有关角的概念1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫，目标视线在水平线下方时叫．(如图所示)2．方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示)【即学即练2】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6nmile，渔船乙以5nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα.知识点03三角形的面积公式1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为(1)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB；(2)S＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)．2．△ABC中的常用结论(1)A＋B＋C＝180°，sin(A＋B)＝，cos(A＋B)＝；(2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sinA>sinB；(3)任意两边之和第三边，任意两边之差第三边．【即学即练3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝eq\r(7)，且ccosA＋eq\f(1,2)a＝b.(1)求C的大小；(2)求△ABC的面积．反思感悟求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．能力拓展能力拓展考法01距离问题【典例1】如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离．反思感悟求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．【变式训练】如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度是________m.考法02高度问题【典例2】珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为()A．10米 B．9.72米C．9.40米 D．8.62米反思感悟测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．【变式训练】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是()A．10m B．10eq\r(2)mC．10eq\r(3)m D．10eq\r(6)m考法03角度问题【典例3】甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq\r(3)a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？反思感悟测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．【变式训练】地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40eq\r(3)m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离．分层提分分层提分题组A基础过关练1．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的对边分别是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形2．下列命题中，不正确的是（

）A．“若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0”的否命题为假命题B．在锐角SKIPIF1<0中，不等式SKIPIF1<0恒成立C．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0必是等腰直角三角形D．在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0必是等边三角形3．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西SKIPIF1<0方向上，灯塔B在观察站南偏东SKIPIF1<0方向上，则灯塔A在灯塔B的（

）A．北偏东SKIPIF1<0方向上 B．北偏西SKIPIF1<0方向上 C．南偏东SKIPIF1<0方向上 D．南偏西SKIPIF1<0方向上4．（多选）某人在SKIPIF1<0处向正东方向走SKIPIF1<0后到达SKIPIF1<0处，他沿南偏西SKIPIF1<0方向走SKIPIF1<0到达SKIPIF1<0处，这时他离出发点SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的值可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝1，SKIPIF1<0，则△ABC的面积为______．6．在SKIPIF1<0中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的形状是____________（填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）．7．如图，小明同学在山坡上SKIPIF1<0处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在SKIPIF1<0处测得公路上SKIPIF1<0两点的俯角分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若山坡高为SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在同一水平面），汽车从SKIPIF1<0点到SKIPIF1<0点历时SKIPIF1<0，则这辆汽车的速度为__________SKIPIF1<0.（结果精确到整数，参考数据：SKIPIF1<0）8．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求：(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的面积．9．如图，甲船以SKIPIF1<0海里/小时的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于SKIPIF1<0处时，乙船位于甲船南偏西SKIPIF1<0方向的SKIPIF1<0处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达SKIPIF1<0处时，乙船航行到甲船南偏西SKIPIF1<0方向的SKIPIF1<0处，此时两船相距SKIPIF1<0海里.(1)求SKIPIF1<0；(2)求乙船的航行速度.10．SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0.(1)求A；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值.11．已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长．12．记锐角SKIPIF1<0的角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0边上的高的取值范围．题组B能力提升练1．国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了SKIPIF1<0两点，在SKIPIF1<0､SKIPIF1<0处测得旗杆的仰角分别为SKIPIF1<0.在水平面上测得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的距离为10米，则旗杆的高度为（

）A．5 B．SKIPIF1<0 C．10 D．SKIPIF1<02．某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在SKIPIF1<0处，图书馆在SKIPIF1<0处，为测量SKIPIF1<0､SKIPIF1<0两地之间的距离，甲同学选定了与SKIPIF1<0､SKIPIF1<0不共线的SKIPIF1<0处，构成SKIPIF1<0，以下是测量的数据的不同方案：①测量SKIPIF1<0；②测量SKIPIF1<0；③测量SKIPIF1<0；④测量SKIPIF1<0.其中要求能唯一确定SKIPIF1<0､SKIPIF1<0两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④3．某市某中学高三（4）班同学小李要测量一座山的高度.当地有一座山，高度为OT，小李同学先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北25°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走700米后到达地面B处，测得该山在北偏西5°方向，山顶T处的仰角为60°.同学们建立了如图模型，则山高OT为（

）SKIPIF1<0A．20SKIPIF1<0米 B．50SKIPIF1<0米 C．200SKIPIF1<0米 D．140SKIPIF1<0米4．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为边作等腰直角三角形SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为直角顶点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点在直线SKIPIF1<0的两侧）.当SKIPIF1<0变化时，线段SKIPIF1<0长的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（多选）重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照．如图所示，现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，SKIPIF1<0为解放碑的最顶端，SKIPIF1<0为基座（即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的正下方），在步行街上（与SKIPIF1<0在同一水平面内）选取SKIPIF1<0两点，测得SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0．小组成员利用测角仪已测得SKIPIF1<0，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出解放碑高度SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0，内角SKIPIF1<0所对的边分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的角平分线交SKIPIF1<0于点D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是____________．7．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0.(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？8．SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设SKIPIF1<0．(1)求B；(2)若SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长的最小值．9．某农户有一个三角形地块SKIPIF1<0，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域SKIPIF1<0（点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上）用来养一些家禽，经专业测量得到SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长.10．在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知锐角三角形SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且SKIPIF1<0．(1)求角C的值；(2)求a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．题组C培优拔尖练1．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0分别在直线SKIPIF1<0的两侧，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长度的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<02．在SKIPIF1<0中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，SKIPIF1<0，点D在线段BC上，SKIPIF1<0，过点D作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足分别是E，F，则SKIPIF1<0面积的最大值是______.3．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值为___________．4．在SKIPIF1<0中(角A为最大内角，a，b，c为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边)和SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.5．在SKIPIF1<0中，点D在边BC上，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.6．