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文档简介

§3.2

边际分布与随机变量的独立性问题：已知二维随机变量(X,Y)的分布，如何求出X和Y各自的分布？3.2.1

边际分布函数巳知(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，则

YFY

(y)=F(+

,y).

XFX

(x)=F(x,+

),3.2.2

边际分布列巳知(X,Y)的联合分布列为pij，则

X的分布列为：

Y的分布列为：

XY例3.2.2

设二维随机变量（X,Y）有如下的联合分布

YX011230.090.210.240.070.120.27求X与Y的边际分布解：在上述联合分布列中，对每一行求和得0.54与0.46，并把它们写在对应行的右侧，这就是X的边际分布列。再对每一列求和，得0.16,0.33,和0.51，并把它们写在对应列的下侧，这就是Y的边际分布列。YXP(X=i)010.540.46P(Y=j)10.090.210.240.070.120.271230.160.330.513.2.3

边际密度函数巳知(X,Y)的联合密度函数为p(x,y)，则

X的密度函数为：

Y的密度函数为：

由联合分布可以求出边际分布.但由边际分布一般无法求出联合分布.所以联合分布包含更多的信息.注意点(1)二维正态分布的边际分布是一维正态：

若(X,Y)

N(

)，注意点(2)

则X

N(

)，

Y

N(

).二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.例3.2.1

设(X,Y)服从区域D={(x,y),x2+y2<1}

上的均匀分布，求X的边际密度p(x).解:

由题意得xy-11当|x|>1时，p(x,y)=0，所以p(x)=0当|x|≤1时,不是均匀分布例3.2.2

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为求概率P{X+Y≤1}.解:

P{X+Y≤1}=y=xx+y=11/2

若满足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pipjiii)p(x,y)=pX(x)pY(y)

则称X与Y是独立的，3.2.4

随机变量间的独立性(1)X与Y是独立的其本质是：注意点任对实数a,b,c,d，有(2)X与Y是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.例3.2.3

(X,Y)的联合分布列为:X01Y01

0.30.40.20.1问X与Y是否独立？解:

边际分布列分别为:X01P0.70.3Y01P0.50.5因为所以不独立例3.2.4设（X,Y）是二维离散随机变量，X

和Y

的边际分布列分别如下所示：X-101P

¼

½

¼

Y01P

½

½

如果P{XY=0}=1，试求：（1）（X，Y）的联合分布列；（2）X与Y是否独立？例3.2.5已知(X,Y)的联合密度为

问X与Y是否独立？所以X与Y独立。注意：p(x,y)可分离变量.解:

边际分布密度分别为:注意点(1)

(1)

(X,Y)服从矩形上的均匀分布，则X与Y独立.

(2)

(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，则X与Y不独立.

见前面例子

(3)联合密度p(x,y)的表达式中，若x

的取值与y

的取值有关系，则X与Y不独立.注意点(2)

(4)若联合密度p(x,y)可分离变量，即

p(x,y)=g(x)

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