九年级数学下册3-3垂径定理教案北师大版

*3.3垂径定理径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．理解垂径定理和推论的内容，并会 变式训练《学练优本课时练习“课证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题； 堂达标训练”第3题(重点) 【类型二】垂径定理的实际应用利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)一、情境导入如图①某公园中心地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm80c能算出大石头的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】利用垂径定理求直径或弦的长度如下图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( )A．23cm B．32cmC．42cm D．43cmAB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵POB的中点，设OPx，OD2x，在Rt△DOP中，依据勾股定理列方程32＋＝()，解得＝3.∴O＝23，∴AB＝43.应选D.

如图，一条大路的转弯处是一段︵圆弧(图中的AB)，点O是这段弧的圆心，C︵CD＝50m，则这段弯路的半径是 m.解析：此题考察垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，依据勾股定理可列方程－50)＋152R＝250250.方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等学问进展解答．堂达标训练”第8【类型三】垂径定理的综合应用O的直径AB垂直于CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，CF⊥AD.(1EOB的中点；(2)假设AB＝8，求CD的长．解析：(1EOB的中点，只要求证OE＝1OB＝1OC，即∠OCE＝30°；(2)2 2在直角△OCECE的长，进而求出CD的长．证明：连接AC，如图，∵直径AB︵︵垂直于弦CD于点AAAA.∵OCF⊥AD，∴AF＝DFCFAD的垂直平分线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30Rt△COE

1OE OC

1OE OB，中，＝2EOB的中点；

，∴＝2

A、B是⊙O上两点，AB解：在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝1AB＝4.又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE2＝O2－O＝16－4＝2343.心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．

＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BPOOE⊥APE，OF⊥PBF，求EF的长．EF是△ABPEF与AB建立关系，从而解决问题．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，EF1 1∴＝AB＝×10＝5(cm)．后稳固提升”第5题 2 2探究点二：垂径定理的推论【类型一】利用垂径定理的推论求角的度数如下图，⊙OAB、AC的夹

解决问题时才能得心应手．2【类型三】动点问题如图，⊙O10cm，弦AB＝8cm，P是弦ABOP的长度范围．︵︵50°，M、N分别是AB、AC的中点，则∠MON的度数是( )A．100°B．110°C．120°D．130°︵︵ 解析：当点P处于弦AB的端点时，OP解析：M、N分别是AB、AC的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC

最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OPOP的长．解：作直径MNAB，交ABD，1AD＝DB＝AB＝4cm.又∵⊙O＝360°－90°－90°－50°＝130°.应选D.6【类型二】利用垂径定理的推论求边的长度

210cm，连接OA，∴OA＝5cmRt△AODO＝O2－A＝3cm.∵OP的长度3cm≤OP≤5cm.OP最长、易出错的地方是不能确定最值时的状况．三、板书设计垂径定理垂径定理垂径定理的推论垂径定理是中学数学中的一个很重要的定圆形纸片，课上利用此纸片探究、体验圆是究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.3.3一、教学目标性.径定理及其逆定理.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进展有关的计算和证明.二、课时安排1三、教学重点运用探究、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.四、教学难点运用垂径定理及其逆定理进展有关的计算和证明.五、教学过程〔一〕导入课引导学生说出点与圆的位置关系：〔二〕讲授课1：探究1：圆的相关概念——弧、弦、直径称弧.２.连接圆上任意两点的线段叫做弦.３.经过圆心的弦叫做直径

2：ABOCD,CD⊥ABM.你能觉察图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.小明觉察图中有:理由：OA,OBOA=OB.Rt△OAMRt△OBM∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.A和点B关于CD∵⊙OCD∴当圆沿着直径CDAB重合,AC和BC重合,AD和BD重合.ACBC,ADBD.2：探究归纳且平分弦所对的弧。推论：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.∵CD=20，∴AO=CO=10.∴OM=OC–CM=10–4=6.在⊙O中，直径CD⊥AB，∴AB=2AM，△OMARt△OMAAO=10，OM=6，根据勾股定理，得：A CAO2OM2AM2，O AM AO2OM2 D B〔三〕重难点精讲例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，CD=20，CM=4，AB.CA M BO

∴AB=2AM=2×8=16.2OCDAB你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？D证明：连接OA，〔四〕归纳小结通过本课时的学习，需要我们把握：1.垂径定理及推论、圆的对称性.解:作OG⊥AB，∵AG=BG,CG=DG，∴AC=BD.例3.如图,一条大路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD所在圆的圆心),其中CD=600m,E是CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.

弦所对的弧.平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.〔五〕随堂检测假设MN＝3，那么BC＝ .CEFDO2.〔芜湖·中考〕如下图，在⊙O解:连接OC.设弯路的半径为Rm,则OF(R90)m.OECD,

有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为〔 〕CF

1CD1600300(m).2 2根 据 勾

股 定 理 得 ：

A．19 B．16 C．18

CF2OF2,即R23002R902.

3〔烟台·中考ABC内接于⊙O，D为线段ABODO解这个方程得R=545545

点E，连接AE，BE，则以下五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤AE 2正确结论的个数是〔 〕A.2个 B.3个 C.4个 D.5

6.〔襄阳·中考〕⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD〔〕A．17cm B．7cm个C．12cm D．17cm7cmC N D C N A M B4.〔湖州·中考〕如图，⊙O的直AB⊥CDE，以下结论中肯定正确的选项是〔〕

OO A M图(1)图(2)7.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦ABAB过点M.并且AM=BM.M●O●A．AE＝OE B．CE＝DE1D．∠AOC＝60°OC⊥ABDAB＝6cm，OD＝4cm，DC〔〕A．5cmB．2．5cmC．2cmD．1cm

【答案】BC=2MN=6.答案：6答案:D答案:B答案:B答案:D答案：D解：连接OMMAB⊥OM，交⊙OA，B六．板书设计3.3例题1： 例题2：3：七、作业布置P761、2练习册相关练习八、教学反思3.3一、教学目标性.径定理及其逆定理.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进展有关的计算和证明.二、课时安排1三、教学重点运用探究、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.四、教学难点运用垂径定理及其逆定理进展有关的计算和证明.五、教学过程〔一〕导入课引导学生说出点与圆的位置关系：〔二〕讲授课1：探究1：圆的相关概念——弧、弦、直径称弧.２.连接圆上任意两点的线段叫做弦.３.经过圆心的弦叫做直径

2：ABOCD,CD⊥ABM.你能觉察图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.小明觉察图中有:理由：OA,OBOA=OB.Rt△OAMRt△OBM∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.A和点B关于CD∵⊙OCD∴当圆沿着直径CDAB重合,AC和BC重合,AD和BD重合.ACBC,ADBD.2：探究归纳且平分弦所对的弧。推论：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.∵CD=20，∴AO=CO=10.∴OM=OC–CM=10–4=6.在⊙O中，直径CD⊥AB，∴AB=2AM，△OMARt△OMAAO=10，OM=6，根据勾股定理，得：A CAO2OM2AM2，O AM AO2OM2 D B〔三〕重难点精讲例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，CD=20，CM=4，AB.CA M BO

∴AB=2AM=2×8=16.2OCDAB你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？D证明：连接OA，〔四〕归纳小结通过本课时的学习，需要我们把握：1.垂径定理及推论、圆的对称性.解:作OG⊥AB，∵AG=BG,CG=DG，∴AC=BD.例3.如图,一条大路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD所在圆的圆心),其中CD=600m,E是CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.

弦所对的弧.平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.〔五〕随堂检测假设MN＝3，那么BC＝ .CEFDO2.〔芜湖·中考〕如下图，在⊙O解:连接OC.设弯路的半径为Rm,则OF(R90)m.OECD,

有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为〔 〕CF

1CD1600300(m).2 2根 据 勾

股 定 理 得 ：

A．19 B．16 C．18

CF2OF2,即R23002R902.

3〔烟台·中考ABC内接于⊙O，D为线段ABODO解这个方程得R=545545

点E，连接AE，BE，则以下五个结论①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤AE 2正确结论的个数是〔 〕A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

6.〔襄阳·中考〕⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD〔〕A．17cm B．7cmC．12cm D．17cm7cmC N D C N DA M BOO AM4.〔湖州·中考〕如图，⊙O的直AB⊥CDE，以下结论中肯定正确