平面（教学设计）

一、内容和内容解析内容：平面的三个基本事实及其推论．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第八章第4节第1课时的内容．立体几何定性研究的重点是直线、平面间的位置关系.研究这些位置关系，需要学生对点、直线、平面这些组成立体图形的基本要素有所理解．在立体几何的研究中，立体图形问题经常转化为平面图形问题，这是解决立体图形问题的重要思想方法，而转化的基本依据就是关于平面的基本事实及其推论.因此，本小节内容是几何学习的重要基础.与点、直线一样，平面是不加定义的几何概念，三个基本事实刻画了平面的“平”和“无限延展”的特征.点是空间的基本元素，直线、平面都是点的集合，因此在图形语言和文字语言的基础上，用集合的符号表示几何对象及其之间的关系是自然的，并且书写简洁.立体几何中的概念、定理，一般要用图形、文字、符号三种语言形式表示．二、目标和目标解析目标：（1）初步理解平面的概念、三个基本事实和推论，会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和推论．（2）在探究三个基本事实的情境中，感悟立体几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养．目标解析：（1）会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和推论的内容；能利用三个基本事实说明平面“平”、“无限延展”的基本特征；能够利用三个基本事实和推论作图、证明简单问题．（2）在探究三个基本事实的过程中，体会通过研究基本元素之间的位置关系来刻画基本元素特征的方法；体会从研究问题出发，通过直观感知、实验操作获得结论，再对某些结论通过说理或推理确认结论的研究立体几何问题的一般思路．发展直观想象和数学抽象的素养.基于上述分析，本节课的教学重点定为：对三个基本事实和三个推论的理解及其集合符号的语言表示．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：本节课所研究的三个基本事实和推论，是立体几何的理论基础．对于平面的概念，其“平”、“无限延展”是客观存在的，学生会对为什么学习这三个基本事实，并用它们对平面的特征进行刻画不理解．教学时要注意引导学生从公理化的角度理解平面的概念和三个基本事实之间的关系：基本事实的意义就是去刻画平面这一不加定义的概念，利用基本事实，就可以用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”．2．教学问题二：在本节课的学习中，要用图形、文字、符号三种语言形式表述基本事实和推论．图形语言比较直观，文字语言也比较容易理解．但用集合的符号语言表示几何元素之间的关系以及几何命题，学生还不习惯．这种不习惯多数情况是学生对图形表达的几何要素之间的关系不理解．教学时要引导学生理解图形或文字语言所反映的几何关系的本质，逐步熟悉用符号语言进行表达．3．教学问题三：对于本节课的一些结论（如三个推论），需要从存在性和唯一性的角度进行理解，这对于学生来讲比较陌生，也比较困难．教学时要注意控制难度，不要采用严格的证明形式，宜采用说理的形式进行说明，使学生循序渐进，逐步学会证明立体几何命题的方法．基于上述情况，本节课的教学难点定为：对基本事实的理解和集合符号语言的表示，对推论的说理证明．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到三个基本事实和推论，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中借助实物模型．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视三个基本事实和推论的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，基本事实的证明与基本事实的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境，引入新课[问题1]教室里的桌面、黑板面、海平面，它们呈现出怎样的形象？[问题2]生活中的平面有大小之分吗？[问题3]几何中的“平面”是怎样的？教师1：提出问题1．学生1：平的．教师2：提出问题2．学生2：有．教师3：提出问题3．学生3：从物体中抽象出来的，绝对平、无大小、厚度之分、无限延展的.通过观察图片，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。探索交流，解决问题[问题4]在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象而来的，那么现在的平面又是怎么来的呢？有什么特点呢？[问题5]几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？[问题6]一个平面把空间分成了几部分？[问题7]在日常生活中，我们经常看到这样一个场景：自行车用一个脚架和两个车轮就可以站稳，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机，这是一种什么原理呢？[问题8]直线l与平面α如果只有一个公共点P，那么直线在平面内吗？如果直线与平面有两个公共点，那么直线在平面内吗？[问题9]把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗？[问题10]基本事实1有什么作用？[问题11]基本事实2有什么作用？[问题12]基本事实3有什么作用？教师4：提出问题4．学生4：平面是从课桌面、黑板面，平静的水面等抽象出来的，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的.教师5：小结．1、平面(1)平面的概念几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.(2)平面的画法①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图(1).②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图(2).(3)平面的表示平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等.教师6：提出问题5.学生5：没有.平行四边形.教师7：提出问题6.学生6：两部分.教师8：小结.2、点、直线、平面之间的位置关系及语言表达：点A在直线l上，则A∈l，点A在直线l外，则A∉l;点A在平面α内，则A∈α，点A在平面α外，则A∉α;直线l在平面α内，则l⊂α，直线l在平面α外，则l⊈α;平面α与平面β相交直线l，则α∩β=l.教师9：提出问题7.学生7：这实际上就是我们平常说的三角形的稳定性，其原理就是三点可以确定一个平面.教师10：小结基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。图形：符号：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α教师11：提出问题8.学生8：若一个公共点，直线不一定在平面内，两个公共点，则直线一定在平面内．教师12：小结基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。图形：符号：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α教师13：提出问题9.学生9：由于平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线．教师14：小结基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。图形：符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l教师15：提出问题10.学生10：①确定平面的依据；②判定点线共面.教师16：提出问题11.学生11：①确定直线在平面内的依据；②判定点在平面内.教师17：提出问题12.学生12：①判定两平面相交的依据；②判定点在直线上.教师18：小结利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可得下面三个推论推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面。作用：确定一个平面。类比点和直线的概念，引出平面的概念，类比直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”．通过讲解，让学生明白点与直线、平面关系的数学符号表示，教给学生数学语言的运用。通过思考，引入基本事实1，提高学生分析问题、概括能力。通过思考，引入基本事实2，提高学生分析问题的能力。通过思考，引入基本事实3，了解两个相交平面交于一条直线。典例分析，举一反三1.立体几何三种语言的相互转化例1.用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．2.点、线共面问题例2.已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.线共点和三点共线问题例3.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点).[课堂练习1]如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为()A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α[课堂练习2]如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．教师19：完成例题1.学生13：(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．教师20：完成例题2.学生14：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.学生15：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.教师21：完成例题3.学生16：因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.所以AB，CD必定相交于一点.设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD，l共点(相交于一点).教师22：布置课堂练习1、2．学生17：完成课堂练习，并核对答案．通过例题讲解，让学生进一步熟悉用数学语言表示点、直线、平面之间的关系，提高学生数学语言的运用能力。通过例题2、3应用三个基本事实解决问题，提高学生的概括问题的能力、解决问题的能力。[课堂练习1]巩固符号语言的表示．[课堂练习2]应用三个基本事实解决问题.课堂小结升华认知[问题10]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.下列有关平面的说法正确的是()2.下列命题中正确的是()A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合3.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC.A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A