《概论与数理统计》全概率公式和贝叶斯公式的教学体会

《概论与数理统计》全概率公式和贝叶斯公式的教学体会

1基于全概率公式的事件a发生的概率概率公式如下所示：假设随机试验e的样本空间为s。A为E的事件,B1,B2,…,Bn为S的一个划分,且P(Bi)>O(I=1,2,…,n),则P(A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(AB2)+…+P(Bn)P(ABn)全概率公式的意义在于:对于一个复杂的事件A,若无法直接求出它的概率P(A),则可将A分解成若干个简单的事件来求其概率。由此可见全概率公式可起到化整为零,化难为易的作用。我在教学中发现,在全概率公式的实际应用中,有不少学生往往搞不清楚事件组B1,B2,…,Bn究竟表示什么,而且也不会合理设计样本空间S的一个划分。其实,事件组B1,B2,…,Bn可以看成是引起事件A发生的一系列原因或A的发生要受因素B1,B2,…,Bn的影响,一个事件A往往可能在若干个不同原因B1,B2,…,Bn下发生,因而可将A分解成若干个互不相容的事件,只要知道了各种原因B1,B2,…,Bn发生的概率以及各种原因B1,B2,…,Bn发生的条件之下A发生的条件概率,利用全概率公式就可求得事件A发生的概率。下面举一些例子来说明这层意思。例1某商店有彩电10台(其中次品有3台),现已出售2台,求从剩下的彩电中任取一台是正品的概率。解显然“从剩下的彩电中任取一台是正品”这一事件要受“已出售2台”的影响,因为若“已出售2台”为次品,则从剩下的彩电中任取一台是正品的概率要大一些;若“已出售2台”为正品,则从剩下的彩电中任取一台是正品的概率要小一些,因此该例可用全概率公式来解决。样本空间的一个划分可以这样来设计:B1=“已售2台为正品”,B2=“已售2台为一正一次”,B3=“已售2台为次品”。已售2台不外乎这样三种情况,因此B1,B2,B3是样本空间S的一个划分。A=“从剩下的彩电中任取一台是正品”。P(B1)=C27C210‚P(B2)=C17C13C210‚P(B3)=C23C210‚P(A/B1)=58‚P(A/B2)=68‚P(A/B3)=78Ρ(B1)=C72C102‚Ρ(B2)=C71C31C102‚Ρ(B3)=C32C102‚Ρ(A/B1)=58‚Ρ(A/B2)=68‚Ρ(A/B3)=78。应用全概率公式得,P(A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)P(B3)P(A/B3)=710Ρ(A/B3)=710例2设有N个袋子,每个袋子中装有a只黑球b只白球。从第一个袋中任取一球放入第二个袋中,再从第二个袋中任取一球放入第三个袋中,如此进行下去。问从最后一个袋中取出一只黑球的概率是多少?解设A1=“从第一袋中任取一球取出的是黑球”,Ai=“从第一袋中任取一球放入第二袋,再从第二袋中任取一球放入第三袋中,如此进行下去……,最后从第i个袋中任取一球取出的球是黑,球”,i=2,3,…,N。显然后一动作的结果要受前一动作的影响,因此是样本空间的一个划分,且P(A1)=aa+b‚P(A1−)=ba+bΡ(A1)=aa+b‚Ρ(A1-)=ba+b,由全概率公式得P(A2)=P(A1)P(A2/A1)+P(A1−)+P(A2/A1−)Ρ(A2)=Ρ(A1)Ρ(A2/A1)+Ρ(A1-)+Ρ(A2/A1-)=aa+b⋅a+1a+b+1+ba+b⋅aa+b+1=aa+b⋅a+1a+b+1+ba+b⋅aa+b+1=aa+b=aa+b由此猜想P(Ai)=aa+b‚i=1‚2‚3‚⋯‚NΡ(Ai)=aa+b‚i=1‚2‚3‚⋯‚Ν。以下用数学归纳法证明之。假设n=k时,P(Ak)=aa+bΡ(Ak)=aa+b成立,则由全概率公式有P(Ak+1)=P(Ak)P(Ak+1/Ak)+P(Ak−)+P(Ak+1/Ak−)=aa+b⋅a+1a+b+1+ba+b⋅aa+b+1=aa+bΡ(Ak+1)=Ρ(Ak)Ρ(Ak+1/Ak)+Ρ(Ak-)+Ρ(Ak+1/Ak-)=aa+b⋅a+1a+b+1+ba+b⋅aa+b+1=aa+b故当n=k+1时,P(An)=aa+bΡ(An)=aa+b也成立。因此,从最后一个袋中取出一只黑球的概率是aa+baa+b。在教学中,由具体例子引入全概率公式学生较易理解。2贝叶斯公式中的概率由全概率公式可导出另一个重要公式—贝叶斯公式,它是由英国数学家贝叶斯(BayesThomas)在1763年发表的,其陈述如下:设随机试验E的样本空间为S。A为E的事件,B1,B2,Bn为S的一个划分,且P(BI)>0(i=1,2,…n),则P(Bi/A)=P(Bi)P(A/B1)∑j=1nP(Bj)P(A/Bj)‚I=1‚2⋯‚nΡ(Bi/A)=Ρ(Bi)Ρ(A/B1)∑j=1nΡ(Bj)Ρ(A/Bj)‚Ι=1‚2⋯‚n贝叶斯公式的意义在于:设事件A已发生,我们需要判断引起A发生的“原因”。如果已知A发生的可能“原因”共有n个:B1,B2,…,Bn且两两互不相容。那么我们希望知道其中某个“Bi”的概率,也就是条件概率P(Bi/A)。在实际应用中,我们往往要求出每一个P(Bi/A)(I=1,2,…,n),,然后找出其中最大的一个P(Bi/A),则Bi就是引起事件A发生的最可能的“原因”。同样,贝叶斯公式从具体例子引入,学生较易理解,在教学中,主要根据贝叶斯公式的意义讲清楚贝叶斯公式中各个概率在实际问题中的含义,P(Bi)称为先验概率,它们反应了各种“原因”发生的可能性大小,是以往经验的总结,在事件A发生以前就是已知的;PA(Bi)是各种“原因”发生之下A发生的条件概率,可以利用技术手段获得;P(Bi/A)称为后验概率,它们反应了A发生以后,对各种“原因”发生可能性大小的新认识。贝叶斯公式在“风险决策”、“模式识别”等中有着广泛的应用。例3设根据以往记录的数据分析,某船只运输某种物品损坏的情况共有三种:损坏2%(这一事件记为B1),损坏10%(记为B2),损坏90%(记为B3)。且已知P(B1)=0.8,P(B2)=0.15,P(B3)=0.05。现在从已被运输的物品中随机地取3件,发现这3件都是好的(这一事件记为A)。试求P(Bi/A)(I=1,2,…,n)。(这里设物品件数很多,取出一件后不影响取后一件是否为好品的概率。)解显然B1,B2,B3是样本空间S的一个划分,由贝叶斯公式得,P(B1/A)=P(B1)P(A/B1)/[P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+P(B3)P(A/B3)]=0.8(1-2%)3/[0.8(1-2%)+0.15(1-10%)3+0.05(1-90%)3]≈0.8731同样求得P(B2/A)≈0.1268,P(B3/A)≈0.0001比较P(B1/A),P(B1/A),P(B1/A),由于P(B1/A)最大,故根据抽样结果可推断物品损坏情况最有可能为损坏2%。贝叶斯公式其实是求一个条件概率,有些学生在运用公式时往往不注意公式的前提条件,只会死记公试的结论,有些条件概率是不能用贝叶斯公式计算的,我曾经给学生出过这样一道思考题:如图1所示,开关电路中开关a、b、c、d开或关的概率都是0.5,且各开关是否关闭相互独立。(1)求灯亮的概率;(2)若已见灯亮,求开关a与b同时关闭的概率。令事件A、B、C、D分别表示开关a、b、c、d关闭,E表示灯亮,由题意A、B、C、D相互独立,第(1)问学生没有什么问题,一般都会做,第(2)问显然是求条件概率,但有些学生认为要利用贝叶斯公式,这就不对了,因为虽然事件A、B、C、D是引起E发生的一系列原因,但它们相互独立,并不是两两互不相容的(在具有正概率的条件之下,相互独立与互不相容不能同时成立),