关于矩阵迹运算的几个问题

关于矩阵迹运算的几个问题

至于矩阵轨迹的运算符，通常书都很少讨论。本文给出了相关主题讨论。1tra+b的计算1.1设A,B∈Cn×n,λ,μ∈C,则tr(λA+μB)=λtrA+μtrB.1.2设A∈Cn×n,则trA=trAT.1.3设A～B,则trA=trB.证明略.2trba的参数2.1设A∈Cn×n,K为正整数,则trAΚ=n∑i=1λΚiAK=∑i=1nλKi,其中λi为矩阵A的特征值(i=1,2,…,n).证明设X∈Cn,X≠0,两边同乘以AK-1,反复使用AX=λX,有AKX=A(AK-1X)=λKX,故λK是AK的特征值,故trA=n∑i=1λΚi.A=∑i=1nλKi.2.2A∈Cm×m,B∈Cn×n,则tr(AB)=tr(BA).证明设AB的全部特征值为λ1,λ2,…λm,BA的全部特征值为μ1,μ2,…μn,则tr(AB)=λ1+λ2+…+λm,tr(BA)=μ1+μ2+…+μn.由Sylvester公式知,AB和BA由相同的非零特征值,它们仅区别在于零特征值的重数上,于是tr(AB)=tr(BA).由2.1及2.2易得2.3tr(AB)K=tr(BA)K,K为正整数.2.4设A,B∈Cm×n,则|tr(BHA)|2≤tr(AHA)·tr(BHB).当且仅当A=αβ时等号成立(α为任一常数).特别地,当A,B为实对称矩阵及Hermiter矩阵时有0≤|tr(AB)|≤(trA2)12⋅(trB2)120≤|tr(AB)|≤(trA2)12⋅(trB2)12证明定义函数(A|B)=tr(BHA),则函数(A|B)是Cm×n上的内积.设A=(aij),B=(bij),则tr(BΗA)=n∑j=1m∑i=1ˉbijaijtr(BHA)=∑j=1n∑i=1mb¯ijaij,tr(BΗB)=(B|B)=n∑j=1m∑i=1ˉbijbij=n∑j=1m∑i=1b2ijtr(BHB)=(B|B)=∑j=1n∑i=1mb¯ijbij=∑j=1n∑i=1mb2ij,tr(AΗA)=(A|A)=n∑j=1m∑i=1ˉaijaij=n∑j=1m∑i=1a2ij.由Cauchy-Schwarz不等式|(x|y)|≤∥x∥⋅∥y∥知tr(BΗA)=n∑j=1m∑i=1ˉbijaij≤(n∑j=1m∑i=1b2ij)12(n∑j=1m∑i=1a2ij)12,两边平方得(tr(BHA))2≤tr(AHA)·tr(BHB).显然当且仅当A=αB时,等号成立.当A,B均为Hermiter矩阵及实对称矩阵时,AH=A,BH=B,则(trAB)2≤trA2·trB2,两边开方即得结论.3kroneck聚集轨迹的矩阵3.1trbb为tra,b为tra,b为2.bb证明设A=(aij),则即有tr(A⨂B)=tr(a11B+a22B+…+ammB)=a11trB+a22trB+…+ammtrB=trA·trB.3.2推广1cmn证明设A的全部特征值为λ1,λ2,…λm,B的全部特征值为μ1,μ2,…μn,则A⨂B的全部特征值为λtμs,1≤t≤m,1≤s≤n,(A⨂B)2的全部特征值为λ2tμ2s.于是tr(A⊗B)2=m∑t=1n∑s=1λ2tμ2s.又A2的特征值为λ2t(1≤t≤m),B2的特征值为μ2s(1≤s≤n),于是trA2·trB2=(m∑t=1λ2t)⋅(n∑s=1μ2t)=m∑t=1n∑s=1λ2tμ2s.故结论成立.推广1设A∈Cm×m,B∈Cn×n,则tr(A⨂B)K=trAK·trBK(K为正整数).K=1时,该推广就为3.1,K=2时就为3.2.推广2设A∈Cm×m,B∈Cn×n,C∈Ct×t,则tr(A⨂B⨂C)=trA·trB·trC.仅证推广2.设A的一个特征值为λi,对应的特征向量为α;B的一个特征值为μj,对应的特征向量为β,C的为一个特征值为pk,对应的特征向量为γ(其中1≤i≤m,1≤j≤n,1≤k≤t).则(A⨂B⨂C)·(α⨂β⨂γ)=Aα⨂[(B⨂C)·(β⨂γ)]=Aα⨂Bβ⨂Cγ=λiα⨂μjβ⨂pkγ=λi⨂μj⨂pk(α⨂β⨂γ).故λiμjpk为A⨂B⨂C