02(111)力学第二章平面汇交力系与平面力偶系解析

其次章平面汇交力系与平面力偶系引言①平面汇交力系平面力系②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况)③平面一般力系(平面任意力系)力系分为：平面力系、空间力系平面汇交力系、平面力偶系和平面平行力系

———平面特殊力系根本目的：介绍力系简化的依据及合成方法。

根本要求：了解力偶的性质，把握力偶系的合成；把握平面汇交力系的合成与平衡的几何法和解析法；娴熟把握平面任意力系简化的概念及结果分析；

平面汇交力系：

争论方法：几何法，解析法。

各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。一、平面汇交力系合成的几何法任意个共点力的合成：力多边形矢序规章：各分力的矢量沿着围绕力多边形边界的同一方向首尾相接。〔可任意更换各分力矢的作图次序，合力矢不变〕力的可传性2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法合力矢：沿反方向连接力多边形，构成力多边形的封闭边。AF1F2F3F4RR1R2

二、平面汇交力系平衡的几何条件2)几何条件：力多边形自行封闭(留意：区分于合力〕平衡的充要条件：1)力系中各力的矢量和等于零2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法[例]压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过h=8cm的障碍物。求：欲将碾子拉过障碍物，在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。由①选碾子为争论对象②取分别体画受力图解：

当碾子刚离地面时FA=0F=11.5kN,

FB=23.1kN由平衡的几何条件，力多边形封闭，小结：几何法解题步骤：①选争论对象；②作出受力图；③作力多边形，选择适当的比例尺；④求出未知数。几何法解题缺乏：①作图要求精度高;②精度不够，误差大；③不能表达各个量之间的函数关系。2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法一、力在坐标轴上的投影与力的解析表达式1)、力在坐标轴上的投影

X=F·cosa；Y=F·sina=F

·cosb力在坐标轴上的投影〔代数量〕，等于力的模与投影轴正向间夹角的余弦。2)、力F沿正交轴的两分力与力的投影间的关系：2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法10求如以以下图平面共点力系的合力。其中：F1=200N，F2=300N，F3=100N，F4=250N。解：依据合力投影定理，得合力在轴x，y上的投影分别为：F2F4F1xyOF3例题1静力学平面汇交力系与平面力偶系11合力的大小：合力与轴x，y夹角的方向余弦为：所以，合力与轴x，y的夹角分别为：F2F4F1xyOF3静力学平面汇交力系与平面力偶系例题1区分力沿轴的分力和力在两轴上的投影：分力是矢量，投影是代数量，二者性质不同。在直角坐标系中，投影的大小与分力的大小一样，但在斜角坐标系中，二者不等。2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法(2)平面汇交力系平衡的充要条件：各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。

——平面汇交力系的平衡方程

2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法只可求解两个未知量解：①争论AB杆②画出受力图③列平衡方程④解平衡方程[例2]P=2kN求FCD,FA由EB=BC=0.4m，解得：,

[例3]如图已知P、Q，求平衡时角及地面的反力FND.解：争论球受力如图，选投影轴列方程为由②得由①得①②1、一般对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法〔解力三角形〕比较简便。解题技巧及说明：3、投影轴常选择与未知力或不必求的力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。2、对于受多个力作用的物体，无论角度特殊与否，都用解析法。2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法5、解析法解题时，力的方向可以任意设，假设求出负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，假设求出负值，说明物体受压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法2-3平面力对点之矩的概念及计算力对物体可以产生移动效应--取决于力的大小、方向

转动效应--取决于力矩的大小、方向力矩：是度量力对刚体转动效应的物理量。扭矩扳手一、力对点的〔力矩〕，单位N

m或KN

m①是代数量。当F=0或d=0时，=0。③-+②正负判定：2-3平面力对点之矩的概念及计算AFd

定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和。 二、合力矩定理即：当平面汇交力系平衡时，可用力矩方程代替投影方程求解方程平面汇交力系的平衡问题。2-3平面力对点之矩的概念及计算[注]：三、力矩与合力矩的解析表达式或：[注]：各项在计算时用代数量带入。1、平面力矩的解析表达式2、合力矩的解析表达式2-3平面力对点之矩的概念及计算解：①用力矩定义

[例1]：如图F、Q、l,求：和 ②应用合力矩定理[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如以以下图。载荷的最大值为q，梁长l,试求合力作用线的位置。解：在距A端x的微段dx上，作用力的大小为q’dx,其中q’为该处的载荷强度。由图可知，q’=xq/l。，因此分布载荷合力的大小为：设合力的作用线距A端的距离为h,

则：则：[注]：三角型分布载荷的合力大小等于该三角型的面积，合力的作用线通过该三角形的几何中心。

1〕力偶：由两个大小相等，方向相反且作用线不重合的平行力组成的力系。2-4平面力偶1、力偶与力偶矩性质1：力偶在任意坐标轴上的投影等于零。性质3：力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的转变而转变。力偶性质：2-4平面力偶性质2：力偶既没有合力，本身又不平衡，它和力一样是静力学的一个根本力学量。2)力偶矩：力与力偶臂的乘积。记作，简记为M。说明：①M是代数量，有+、-号，表示力偶的转向，逆时针为正；②力偶矩也可用三角形的面积表示，M=±2⊿ABC

③力偶矩的单位同力矩一样，也是N•m

；

d2-4平面力偶,力偶矩的符号M力矩的符号性质3：力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的转变而转变。[证]:2-4平面力偶2、同平面力偶等效定理作用在同一平面内的两个力偶，假设力偶矩相等则两个力偶彼此等效。[证]设物体的某一平面上作用一力偶(F,F”)现沿力偶臂AB方向加一对平衡力(Q,Q”),再将Q,F合成R,Q”,F”合成R”，得到新力偶(R,R”),将R,R'移到A',B'点，则(R,R')取代了原力偶(F，F')并与原力偶等效。②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意转变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不转变它对刚体的作用效应。两个推论：比较(F,F”)和(R,R”)可得M(F,F”)=2△ABD=M(R,R”)=2△ABC即△ABD=△ABC，且它们转向相同。①力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。〔前提是不离开该刚体〕2-4平面力偶====力偶矩是平面力偶作用的唯一度量.3、平面力偶系的合成与平衡平面力偶系:作用在物体同一平面的很多力偶叫平面力偶系。1)平面力偶系的合成

dd同时改变两力偶的力的大小和力偶臂长短2-4平面力偶2)平面力偶系的平衡条件：平面力偶系平衡的充要条件是:全部各力偶矩的代数和等于零。结论:在同平面内的任意个力偶〔力偶系〕合成结果还是一个力偶,合力偶矩为各力偶矩的代数和。2-4平面力偶[例1]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A

、B端垂直反力?解:各力偶的合力偶距为由力偶只能与力偶平衡的性质，力FA与力FB组成一力偶。根据平面力偶系平衡方程有:34横梁AB长l，A端用铰链杆支撑，B端为铰支座。梁上受到一力偶的作用，其力偶矩为M，如以以下图。不计梁和支杆的自重，求A和B端的约束力。ABDMlABMFBFA例题2静力学平面汇交力系与平面力偶系选梁AB为争论对象。梁所受的主动力为一力偶，AD是二力杆，因此A端的约束力必沿AD杆。依据力偶只能与力偶平衡的性质，可以推断A与B端的约束力FA和FB构成一力偶，因此有：FA=FB。梁AB受力如图。解得解列平衡方程：解：（一）研究AB杆;受力如图;列平面力偶系平衡方程求解：[例3]：l、a且C处光滑，求：系统平衡时解得：（二）研究系统整体；受力如图；列平面力偶系平衡方程求解：解得：DBCMDEEDCBAMaaaa求：A、B、C、D、E处的约束反力。例题4解:(1)取整体为争论对象

FA

FB(2)取BCD为争论对象

FB

FE

FD(3)取DE为争论对象确定D处约束反力的方向DBCMDE(2)取BCD为争论对象

FB

FE

FD(3)取DE为争论对象确定D处约束反力的方向CAE

FC

FA(4)取ACE为争论对象留意！〔1〕明确争论对象〔2〕正确作出受力图〔3〕列方程求解文字不宜过多，但也不能过少。力不允很多画，但也不能少画。结论与争论1.力在坐标轴上的投影为：2.平面内力的解析表达式为：3.求平面汇交力系的合力〔1〕几何法依据力多边形规章，求得合力的大小和方向为：合力的作用线通过各力的汇交点。〔2〕解析法依据合力投影定理：4.平面汇交力系的平衡条件〔