多自由度系统的振动

两自由度系统的运动微分方程

两自由度系统的模态两自由度系统的强迫振动

多自由度系统的运动微分方程、模态、强迫振动第五章多自由度系统的振动2021/5/915.1两自由度系统的运动微分方程1、单自由度系统描述系统运动状态只需一个广义坐标；系统振动微分方程为一个二阶常微分方程；数学求解一个二阶常微分方程。系统有一个固有频率；系统自由振动的频率为固有频率。2、多自由度系统描述系统运动状态需多个广义坐标；系统振动微分方程一般为多个相互耦合的二阶常微分方程组，即方程组各方程之间在变量上存在耦合（一个微分方程中包含多个变量和导数）数学求解需联立多个方程组，借助线性变换方法消除变量耦合（解耦），然后按单自由度系统的分析方法进行求解，再叠加，即模态分析。系统具有多个不同数值的固有频率（特殊情况下数值可能相等或有一个等于零）。当系统按其中任一固有频率作自由振动时，称为主振动。主振动是一种简谐振动。系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。2021/5/92

返回首页两自由度系统的振动多自由度系统的特点：各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往往导致整个系统的振动。运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求解联立方程。2021/5/93两自由度系统的振动多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。汽车左右对称，化为平面系统2021/5/94两个自由度的振动系统工程实际中大量的问题不能简化为单自由度系统，往往需要简化成多自由度系统；两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程式的建立和求解的一般方法、以及系统响应表现出来的振动特性等等，两自由度系统的多自由度系统没有什么本质上区别，却有数学上求解比较简便的好处。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。5.1两自由度系统的运动微分方程2021/5/95例4.1图a)是一个典型的二自由度弹簧阻尼器质量系统，分别在m1，m2建立坐标系O1x1，O2x2以描述m1，m2的振动。坐标原点O1，O2分别取m1，m2的静平衡位置。两个坐标系的正向均向右。5.1两自由度系统的运动微分方程2021/5/96设

m1，m2沿各自的坐标正向分别移动了x1，x2

画出隔离体如图(b)所示。f1(t)f2(t)5.1两自由度系统的运动微分方程2021/5/97根据牛顿第二定律可以得到5.1两自由度系统的运动微分方程2021/5/98写成矩阵形式5.1两自由度系统的运动微分方程2021/5/99均是对称矩阵

定义：系统的质量矩阵刚度矩阵阻尼矩阵质量影响系数阻尼影响系数刚度影响系数5.1两自由度系统的运动微分方程2021/5/910设位移向量x={x1，x2}T速度向量激励向量F(t)={F1(t)，F2(t)}T加速度向量两自由度系统的运动微分方程：5.1两自由度系统的运动微分方程2021/5/911双质量弹簧系统的自由振动略去激励力及其它阻尼。两自由度的弹簧质量系统，两物体均作直线平移，质量矩阵刚度矩阵5.1两自由度系统的模态2021/5/912

假设系统的运动为代入运动方程，两边左乘uT

即：

对于正定系统，只能出现如上式x(t)的同步运动，称为主振动。5.1两自由度系统的模态2021/5/913代入运动微分方程上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：5.1两自由度系统的模态化简可得代数齐次方程组

这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程

主振动2021/5/9145.1两自由度系统的模态

特征方程

特征值

ω2特征向量

u2021/5/915

5.1两自由度系统的模态2021/5/9165.1两自由度系统的模态5.2.3系统的通解

为了书写简便，引入符号：2021/5/9175.1两自由度系统的模态5.2.3系统的通解

频率方程是ω2的二次代数方程，它的两个特征根为

弹簧刚度和质量恒为正数，a，b，c，d的值都是正数和都是实根2021/5/918之间有两个确定的比值。固有振型将特征值和分别代回方程组任一式

对应于和，振幅A1和A2这个比值称为振幅比

虽然振幅大小与初始条件有关，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样只决定于系统本身的物理性质。5.1两自由度系统的模态2021/5/919固有振型（主振型）对应于和振幅A1和A2，之间有两个确定的比值。

5.1两自由度系统的模态2021/5/920固有振型（主振型）说明系统以频率ω1振动时，质量与总是按同一个方向运动，而以频率ω2振动时，则按相反方向运动。5.1两自由度系统的模态2021/5/921主振动系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称为系统的主振动

第一阶主振动为第二阶主振动为系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，以确定的频率和振型作简谐振动。5.1两自由度系统的模态2021/5/922例1

试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1＝k2＝k3＝k，物体的质量m1＝m，m2＝2m。分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为解：（1）建立运动微分方程式5.1两自由度系统的模态2021/5/923质量矩阵刚度矩阵将M和K代入频率方程，得系统的第一阶和第二阶固有频率为（2）解频率方程，求ωi5.1两自由度系统的模态2021/5/924将、分别代入，得（3）求主振型主振型为节点5.1两自由度系统的模态2021/5/925例2在上题所示系统中，已知m1=m2=m,k1=k3=k,k2=4k，求该系统对以下两组初始条件的响应：（1）t＝0，x10＝1cm，;（2）t＝0，x10＝1cm，。将M、K代入频率方程，得对应的两个主振型和振幅比为解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为5.1两自由度系统的模态2021/5/926将初始条件（1）代入式，解得这表明，其响应为频率ω1、ω2的两种主振动的线性组合。5.1两自由度系统的模态2021/5/927这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。再将初始条件（2）代入式，得5.1两自由度系统的模态2021/5/9285.1两自由度系统的模态2021/5/9295.1两自由度系统的模态2021/5/9305.1两自由度系统的模态2021/5/9315.1两自由度系统的模态2021/5/9325.1两自由度系统的模态2021/5/9335.1两自由度系统的模态2021/5/9345.1两自由度系统的模态2021/5/9355.1两自由度系统的模态2021/5/9362021/5/9372021/5/9382021/5/9392021/5/9402021/5/9412021/5/9422021/5/9432021/5/9442021/5/9452021/5/9462021/5/9472021/5/9482021/5/9492021/5/9502021/5/9512021/5/9522021/5/9532021/5/9542021/5/9552021/5/9562021/5/9572021/5/958

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返回首页TheoryofVibrationwithApplications两自由度系统的振动不同坐标系下的运动微分方程自由度与广义坐标

在任意坐标系中，要确定一个物体的位置所确定独立坐标的数目，称为这个物体的运动自由度。比如：在空间作任意运动的质点具有三个自由度；确定一个刚体在空间的位置，则需要六个参数，因而刚体作一般运动时具有六个运动自由度。

为了完全确定物体的位置而选定的任意一组彼此独立的坐标参数，称为这个物体的广义坐标。在选定坐标时，除去直角坐标Ｘ、Ｙ、Ｚ之外，我们也可以用角度φ、θ及从物体中的一点到某些固定点的距离等参数来确定物体在空间的位置。2021/5/960

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两个质点的运动不是互相独立的，它们彼此受另一个质点的运动的影响。这种质点或质点系的运动相互影响的现象叫做耦合，具有耦合性质的系统叫耦合系统。系统中是否存在耦合取决于用以表示运动的坐标的选择方法，而与系统本身的特性无关。通过坐标系的选择消除耦合，叫做解耦。像这样表示振动位移的两个以上坐标出现在同一个运动方程式中时，就称这些坐标之间存在静力耦合或弹性耦合。另外，与上式情况不同，当一个微分方程式中出现两个以上的加速度项时，称为在坐标之间有动力耦合或质量耦合2021/5/961

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返回首页TheoryofVibrationwithApplications两自由度系统的振动不同坐标系下的运动微分方程系统的解耦2021/5/9732021/5/9742021/5/9752021/5/9762021/5/9772021/5/9782021/5/979习题3.1，3.2两自由度系统的振动习题2021/5/980系统的动能为

系统的能量耗散函数

系统的势能为

2021/5/9815.1两自由度系统的模态5.2.3系统的通解

两自由度无阻尼自由振动系统的两个同步解的具体形式为这组解可写成以下的矩阵形式

2021/5/982为了书写简便，引入符号：这是二阶常系数性齐次联立微分方程组。第一个方程中包含-bx2项，第二个方程中包含-cx1项，称为耦合项。

如果耦合项均为零时，方程组便成为两个独立的单自由度系统自由振动的微分方程

5.1两自由度系统的模态5.2.3系统的通解

2021/5/983固有频率设两个质量按同样频率和相位角作简谐振动其中振幅A1与A2，频率ω和相位角都为待定常数代入运动微分方程组可得不恒等于零

2021/5/984固有频率这是A1和A2的线性齐次代数方程组显然，A1=A2=0是它的解，但这只对应于系统处于静平衡的情况，不是我们所需的解A1和A2具有非零性解的充要条件是系数行列式等于零该方程唯一确定了频率ω所需满足的条件，称为频率方程或特征方程

2021/5/985固有频率频率方程是ω2的二次代数方程，它的两个特征根为

弹簧刚度和