矩阵迹的等式rabnrabn

矩阵迹的等式rabnrabn

矩阵轨迹是矩阵的重要数值特征。在许多领域，例如数值计算、近似理论和统计估计，有许多应用。许多计算量的计算是基于矩阵轨迹的计算。在这项工作中，我们主要讨论了r.a、b.1（r.a，b）=ab.ba的矩阵轨迹的几个重要概率。我们知道关于矩阵迹有著名的Bellman不等式:设A,B为m阶正定矩阵,则tr(AB)≤√trA2⋅trB2‚(1)AB)≤trA2⋅trB2−−−−−−−−−−−−−√‚(1)tr(AB)≤tr(A+B2)2≤trA2+trB22.(2)(A+B2)2≤trA2+trB22.(2)关于Bellman不等式,多年来有不少推广,如文献.本文将证明Bellman不等式对于非正定矩阵也成立.定义设A=(aij)是m阶方阵,称它的主对角线元素之和为A的迹,记为trA.即trA=a11+a22+…+amm.引理1设A是m阶方阵,A的特征根为λ1,λ2,…,λm,则trA=λ1+λ2+…+λm.(3)引理2(Hölder不等式)设ak≥0,bk≥0(k=1,2,…,m),又α>0,β>0,α+β=1则有(m∑k=1ak)α(m∑k=1bk)β≥m∑k=1aαkbβk.(4)引理3设D1,D2为m阶上三角矩阵,则有tr(D1D2)n=tr(Dn1Dn2).(5)所以tr(Dn1Dn2)=λn1μn1+λn2μn2+…+λnmμnm=(λ1μ1)n+(λ2μ2)n+…+(λmμm)n=tr(D1D2)n.定理与证明定理1设A,B都是m阶方阵,且R[A,B]≤1,则有tr(AB)n=tr(AnBn).(6)证明由Laffay-choi定理对满足R[A,B]≤1的A和B,存在非奇异矩阵P,使A=P-1D1P,B=P-1D2P,其中D1,D2都是上三角矩阵,则AB=P-1D1D2P,(AB)n=P-1(D1D2)nP,所以,由引理3得:tr(AB)n=tr(D1D2)n=tr(Dn1Dn2)=tr(P-1Dn1P·P-1Dn2P)=tr(AnBn).推论1设A,B都是m阶方阵,且AB=BA,则有tr(AB)n=tr(AnBn).证明因为AB=BA,所以R[A,B]=0<1.由定理1知结论成立.定理2设A,B都是m阶方阵,且A,B的特征值都是实数,并有R[A,B]≤1,则(1)tr(AB)≤√trA2⋅trB2(2)tr(AB)≤tr(A+B2)2≤trA2+trB22证明设A,B的特征值分别为λ1,λ2,…,λm和μ1,μ2,…,μm.由于R[A,B]≤1,则存在非奇异矩阵P,使A=P-1D1P,B=P-1D2P,其中D1,D2都是上三角矩阵,所以tr(AB)=tr(D1D2)=λ1μ1+λ2μ2+…+λmμm.(1)trA2=λ21+λ22+…+λ2m,trB2=μ21+μ22+…+μ2m.由引理2得√trA2⋅trB2=(λ21+λ22+⋯+λ2m)12(μ21+μ22+⋯+μ2m)12≥λ1μ1+λ2μ2+⋯+λmμm=tr(AB)即tr(AB)≤√trA2⋅trB2(2)tr(AB)=λ1μ1+λ2μ2+⋯+λmμm=14(4λ1μ1+4λ2μ2+⋯+4λmμm)≤14(λ21+λ22+⋯+λ2m+μ21+μ22+⋯+μ2m+2λ1μ1+2λ2μ2+⋯+2λmμm)=14[(λ1+μ1)2+(λ2+μ2)2⋯+(λm+μm)2]=14tr(A+B)2=tr(A+B2)2又tr(A+B2)2=14(λ21+λ22+⋯+λ2m+μ21+μ22+⋯+μ2m+2λ1μ1+2λ2μ2+⋯2λmμm)≤12(λ21+λ22+⋯+λ2m+μ21+μ22+⋯+μ2m)=trA2+trB22‚所以有tr(AB)≤tr(A+B2)2≤trA2+trB22推论2设A,B都是m阶Hermite矩阵,且AB=BA,则有(1)tr(AB)≤√trA2⋅trB2‚(2)tr(AB)