两个hermie矩阵乘子法的一个定理及应用

两个hermie矩阵乘子法的一个定理及应用

如果n级复矩阵a有n个真实的特征值，则将其记录为1（a）2（a）n（a），并给出两个hermite矩阵的累积轨迹的概念性和应用。获得以下公式如下。定理1设A,B为n阶Hermite矩阵,则ⅰ)有一组非负实数tij满足0≤tij≤1,,j=1,2,..…,n,使ⅱ)当A>0时,有ⅲ)当A>0,B>0时,有λi(AB)>0且应用定理1给出了Wielandt-Hoffman定理的一个证明(即系1)之后,又证明(即系2,系3)这里j=1,2,…,n,A>0,B>0,而C是0<C≤λn(AB)的常数;当A,B是实正定对称阵时,有其中C是(AB)的常数,m为自然数.最后应用(3)给出了(负)稳定矩阵乘积迹的实部的一个不等式串(见系4).本文将指出所得定理1重复了已有结果,并且证明了的某些结果精确度很低,因此应用效果不佳.我们指出了不仅(4)-(6)的严格不等式未必成立,而且系4证明中使用的关于稳定矩阵的两个断言都是错误的,因此系4是尚未证明的.与(即的参考文献)p.83倒数第7,8行对照,知与的矩阵表示是相同的.由(也可见的(3)式)知,当A,B为Hermite矩阵时,著名的Marshall-Olkin不等式(见或的(4)式)如下显然(2),(2’),(3)中tr(AB)的上界都可从(7)得到.(7)是常用的,实际上由(8)很容易得到(7).对n阶Hermite矩阵A,B来说,从A-λn(A)I≥0,B-λn(B)I≥0知,而这样在(8)中取k=n,由此可得(7).由p.112习题18知定理2设A,B都是n阶正定Hermite矩阵,n≥2,则证由(9)及排序原理知,当n≥2时,进而再由(8)中取k=n,知(10)成立.由以上分析及定理2知,定理基本上重复了已有工作,(3)下界与(8)相比粗糙得多,因此的应用效果不佳是可以想象的了定理3设A,B为n阶Hermite矩阵,则证此时这样由(7)即(11)成立.定理3表明,应用(7)很容易证明Wielandt-Hoffman定理,这里不必象那样,先假定A>0,同时(11)给出了的上界.例1设A=diag(3,2,2),B=diag(4,2,2),则可依系2(即(4))取C=4,此时例2设A=diag(2,1),B=diag(2,2),依系2可取C=2,此时由于系3是系2的特例,因此从例1,例2知,所得的(4),(6)的严格不等式不总是成立的.(当A,B为正定对角阵时,(5)的右面可能为等式).当A(>0),B(>0)为n阶Hermite矩阵时,由(8)λ1(AB)≤λ1(A)λ1(B),此时由此得定理4若C是对任意n阶正定Hermite矩阵A,B都满足0<C≤λn(AB)的常数,则证由知(12)为“最优估计”(即下界对某些A>0,B>0是可达的),因此C必满足0<C≤λn(A)λn(B)≤λn(AB).这样由(10),(12)即(13)右面两个不等式成立,且这样由(10),(12)及已证明的(13)的右面两个不等式,即(13)左面的两个不等式成立.由于系3是系2的应用,因此可从定理2,定理4出发将(5),(6)改进成(10),(13)的形式.将(3)应用到稳定矩阵得到系4.为方便将系4及其证明转抄如下:系4设复矩阵A,B为负稳定矩阵,A,B的特征值之实部分别为则证因均为正定厄米特阵,特征值分别为2Re(αi),2Re(βi),而故由(3)式立得(14)式.证毕.所说的“负稳定矩阵”,就是通常意义下的正稳定矩阵.在系4证明中使用了关于稳定矩阵A,B的断言:1均为正定厄米特阵;2的特征值分别2Re(αi),2Re(βi).例3设,从A的特征多项式为λ2-3λ+6知A的特征值即A为稳定矩阵,但不是正定的.例3表明(1)断言1是不成立的.例4设,从A的特征多项式为λ2-6λ+11知A的特征值为,即A为稳定矩阵,而的特征值为5与7