正导性scsshu-scigh补的性质

正导性scsshu-scigh补的性质

1关于aaaaa111111111我们研究了基于正位滤波矩阵sch补的列方程概率性质，得出了一些结论。研究了正位矩阵sch补的特征值和行为特征的性质，并获得了其他结果。本文中,Mn表示n阶复矩阵空间,A正定(半正定),表示为A>0(A≥0);A>B(A≥B)表示A-B>0(A-B≥0);A∈Mn,λ(A)表示A的特征值的集合.若A的特征值为实数,λ1(A)≤λ2(A)≤…≤λn(A)表示A的特征值的递增排序.用A*表示A的共轭转置.下面是我们需要的一些定义和引理.定义1设A=(aij)∈Mn,它的迹为trA=n∑i=1aii.A=∑i=1naii.定义2设表示n×n阶矩阵.A11∈Mk是非奇异主子阵,我们称A22-A21A-111A12是A关于A11的Schur补,记为A/A11引理1(7.7.4..P471)设A,B∈Mn是正定矩阵,若A≥B,那么λi(A)≥λi(B)引理2若存在非奇异阵Ρ‚|Ρ|=1P‚|P|=1,使得,那么λ(B)∪λ(C)=λ(A)证因为|(λΙ-A)|=|Ρ-1||λΙk-B00λΙn-k-C||(Ρ*)-1)|=|λΙk-B||λΙn-k-C|证因为|(λI−A)|=|P−1|∣∣∣λIk−B00λIn−k−C∣∣∣|(P∗)−1)|=|λIk−B||λIn−k−C|所以λ(B)∪λ(C)=λ(A)引理3若A≥0,B≥0,那么A+B≥0引理4若A∈Mn是半正定厄米特矩阵,A11∈Mk是A非奇异主子阵,那么A/A11半正定.证设因A半正定,由引理2,知A/A11半正定.特别当A22=A*12∗12A-111−111A12时,ΡAΡ*=(A11000)≥0,记ˆA=(A11A12A*12A*12A-111A12)有ˆA≥0PAP∗=(A11000)≥0,记Aˆ=(A11A∗12A12A∗12A−111A12)有Aˆ≥0同样,设是半正定厄米特矩阵,B11∈Mk是A非奇异主子阵,有ˆB≥0.Bˆ≥0.综上,有ˆA+ˆB≥0Aˆ+Bˆ≥0于是由引理4知:(ˆA+ˆB)/(A11+B11)≥0(Aˆ+Bˆ)/(A11+B11)≥0引理5(4.3.18..P191)设A∈Mn是厄米特矩阵,1≤r≤n,那么对U∈Mn,r,U*U=I∈Mr,有r∑i=1λi(A)=minU*U=Ι∈ΜrtrU*AU∑i=1rλi(A)=minU∗U=I∈MrtrU∗AU2筛选1.b/bia/a1、a/a11b/b1、tr1m1i1+b/b1的情形,假设多个测定一个格局,一个假设ki1的1.定理1设是正定厄米特矩阵,且A11,B11∈Mk分别是A,B的非奇异主子阵,那么于是(A+B)/(A11+B11)≥A/A11+B/B11(A+B)/(A11+B11)≥A/A11+B/B11注意到(A+B)/(A11+B11),A/A11,B/B11均为n-k阶正定厄米特矩阵,由引理1容易得到λi((A+B)/(A11+B11))≥λi(A/A11+B/B11)λi((A+B)/(A11+B11))≥λi(A/A11+B/B11)(1)式两边对i求和,得下列不等式k∑i=1λi((A+B)/(A11+B11))≥k∑i=1λi(A/A11+B/B11)∑i=1kλi((A+B)/(A11+B11))≥∑i=1kλi(A/A11+B/B11)考虑定理1中A/A11,B/B11是厄米特矩阵,由引理5k∑i=1λi(A/A11+B/B11)=minU*U=Ι∈ΜktrU*(A/A11+B/B11)U=minU*U=Ι∈Μk(trU*(A/A11)U+trU*(B/B11)U)≥minU*U=Ι∈ΜktrU*(A/A11)U+minU*U=Ι∈ΜkU*(B/B11)U=k∑i=1λi(A/A11)+k∑i=1λi(B/B11)∑i=1kλi(A/A11+B/B11)=minU∗U=I∈MktrU∗(A/A11+B/B11)U=minU∗U=I∈Mk(trU∗(A/A11)U+trU∗(B/B11)U)≥minU∗U=I∈MktrU∗(A/A11)U+minU∗U=I∈MkU∗(B/B11)U=∑i=1kλi(A/A11)+∑i=1kλi(B/B11)于是可得下列不等式k∑i=1λi((A+B)/(A11+B11))≥k∑i=1λi(A/A11)+k∑i=1λi(B/B11)(2)∑i=1kλi((A+B)/(A11+B11))≥∑i=1kλi(A/A11)+∑i=1kλi(B/B11)(2)k=n时,tr((A+B)/(A11+B11))≥tr(A/A11)+tr(B/B11)(3)tr((A+B)/(A11+B11))≥tr(A/A11)+tr(B/B11)(3)公式(1)(2)(3)不难推到对于多个正定厄米特矩阵的情形,即定理2设A(j)∈Mn,j=1,2,…,m,是正定厄米特矩阵,且A(j)11(j)11∈Mk分别是A(j)的非奇异主子阵,那么λi(m∑j=1A(j)/m∑j=1A(j)11)≥λi(m∑j=1A(j)/A(j)11)(1′)k∑i