向量空间fn中的n维向量空间

向量空间fn中的n维向量空间

由于fn是同构的，因此只在向量空间fn中讨论了fn。一、,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,7,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2定理设以向量组α1,α2,…αn为列向量的矩阵A经过有限次初等行变换化为β1,β2,…βn为列向量的矩阵B,则(1)αi1,αi2,…,αir为α1,α2,…,αn的极大线性无关组的充要条件是βi1,βi2,…,βir为β1,β2,…βn的极大线性无关组.(2)αj在αi1,αi2,…,αir下的坐标与βj在极大无关组βi1,βi2…βir下的坐标相同.推论1设α1,α2,…,αn为Fn一组基,ε1,ε2,…,εn为Fn的标准基,β为Fn中任一向量,以α1,α2,…,αn,β为列向量的矩阵A经过有限次初等行变换化为以ε1,ε2,…,εn,β′为列向量的矩阵B,那么,β在基α1,α2,…,αn下的坐标为β′.推论2设α1,α2,…,αn为Fn的一组基,Fn的线性变换σ:σ(α1)=β1,σ(α2)=β2,…,σ(αn)=βn,以α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βn为列的n×2n矩阵经有限次初等行变换化为(In×nue001…Bn×n),则σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵为B.推论3已知向量空间Fn一组基α1,α2,…,αn及Fn中任意n个向量β1,β2,…βn,ξ是Fn中任一向量以α1,α2,…,αn,β1,β2,…,βn为列向量的矩阵经有限次初等行变换化为(In×nue001…Bn×n),则即为满足σ(αi)=βi(i=1,2,…,n)的线性变换.二、线性方程组的理论(1)因为初等变换不改变矩阵的秩,所以,A的秩等于B的秩,又因为矩阵的秩、列秩、行秩相等,所以,向量组α1,α2,…,αn与向量组β1,β2,…,βn同秩.又由线性方程组的理论知,齐次线性方程组x1αi1+x2αi2+…+xrαir=0与x1βi1+x2βi2+…+xrβir=0同解,所以αi1,αi2,…,αir线性无关的充要条件是βi1,βi2,…,βir线性无关.因此(1)款成立.(2)由线性方程组理论知,方程组x1αi1+x2αi2+…+xrαir=αj与x1βi1x2βi2+…+xrβir=βj同解,所以αj在αi1,αi2,…αir下的坐标与βj在βi1,βi2,…βir下的坐标相同.定理得证.推论1、推论2、推论3属于定理结果的直接应用,证明从略.三、应用1.极大线性无关组的s例1求向量组α1=(1,0,1,1,2),α2=(0,2,1,1,0),α3=(1,2,2,2,2),α4=(2,0,2,2,4)的所有极大线性无关组及其余向量在相应极大线性无关组下坐标.解(1)以α1,α2,α3,α4为列构造矩阵A,并对A施行初等行变换:可见,秩A=2且原向量组的极大线性无关组为:{α1,α2},{α1,α3},{α2,α3},{α2,α4},{α3,α4}且在极大无关组为α1,α2时,α3=α1+α2,α4=2α1+0α2(2)对A′再施行初等行变换可得则在极大线性无关组α2,α4下:同理可得:2.矩阵最小行变换方程的求解例2设α1=(1,1,0),α2=(0,1,1),α3=(0,0,1)为R3一组基,求γ=(2,3,4)在基α1,α2,α3下坐标.解以α1,α2,α3,γ为列作矩阵A,并对A施行初等行变换则γ在基α1,α2,α3下的坐标为(2,1,3).3.为“基”,2下的矩阵例3在F2中,线性变换σ把基α1=(3,1),α2=(1,1)变为(2,-4);(0,2),求:(1)σ在基α1,α2下的矩阵;(2)求出线性变换σ;(3)求σ(7,4)在α1,α2下的坐标.解设施行