山东省济宁市任城区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（五四制）

山东省济宁市任城区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（五四学制）(解析版)一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内）1．下列各式中，是分式的是（）A． B． C． D．2．计算的结果为（）A． B． C． D．3．化简的结果是（）A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y64．若甲、乙两个样本的平均数相等，方差分别为1.75、1.96，则下列说法正确的是（）A．甲比乙稳定 B．甲、乙一样稳定 C．乙比甲稳定 D．无法比较5．已知一组数据x1，x2，x3的平均数为3，则数据x1+2，x2+2，x3+2的平均数是（）A．3 B．5 C．6 D．76．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除7．在一次献爱心的捐款活动中，八（2）班50名同学捐款金额如图所示，则在这次捐款活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（）A．20，10 B．10，20 C．10，10 D．10，158．下列多项中，能用完全平方公式分解的个数是（）①x2﹣4x+4；②9x2﹣3x+1；③4x2+4x﹣1；④25x2﹣20xy+16y2；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（）A． B． C． D．10．如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上）11．使分式有意义的x的取值范围为．12．某地教育局拟招聘一批数学教师，现有一名应聘者笔试成绩88分、面试成绩90分，综合成绩按照笔试占40%、面试占60%进行计算，该应聘者的综合成绩为分．13．分解因式：a2﹣1＝．14．已知两个不等于0的实数a，b满足a+b＝0，则的值为．15．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：，，，⋯，，若a1＝2，则a2024的值是．三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）16．（6分）分解因式：（1）x（x+2）+1；（2）3ma2﹣6mab+3mb2．17．（6分）计算下列各题：（1）；（2）．18．（6分）解方程（1）（2）．19．（6分）计算下列各题：（1）；（2）．20．（6分）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下：年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝，b＝；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是年级的学生；（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．21．（6分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．22．（6分）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：甲队成绩统计表成绩7分8分9分10分人数101m7请根据图表信息解答下列问题：（1）填空：α＝°，m＝；（2）补齐乙队成绩条形统计图；（3）①甲队成绩的中位数为，乙队成绩的中位数为；②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．23．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：仿照以上方法解答下面问题：（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．（2）已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．24．（7分）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？

参考答案与试题解析一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号填在答题栏内）1．下列各式中，是分式的是（）A． B． C． D．【分析】根据分式的定义逐个判断即可．解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；B．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；C．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；D．﹣分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了分式的定义和算术平方根，能熟记分式的定义（分母中含有字母的代数式叫分式）是解此题的关键．2．计算的结果为（）A． B． C． D．【分析】本题考查同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减．解：＝＝．故本题选：C．【点评】本题考查同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．解题的关键是类比同分母分数的相加减进行计算即可．3．化简的结果是（）A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法则、乘方法则是解题的关键．4．若甲、乙两个样本的平均数相等，方差分别为1.75、1.96，则下列说法正确的是（）A．甲比乙稳定 B．甲、乙一样稳定 C．乙比甲稳定 D．无法比较【分析】根据方差的意义求解即可．解：∵甲、乙两个样本的方差分别为1.75、1.96，∴甲比乙稳定，故选：A．【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5．已知一组数据x1，x2，x3的平均数为3，则数据x1+2，x2+2，x3+2的平均数是（）A．3 B．5 C．6 D．7【分析】据平均数的性质知，要求x1+2，x2+2，x3+2的平均数，只要把数x1，x2，x3的和表示出即可．解：∵x1，x2，x3，的平均数是3，∴x1+x2+x3＝3×3＝9，∴x1+2，x2+2，x3+2的平均数是：（x1+2，x2+2，x3+2）÷3＝（9+6）÷3＝5．故选：B．【点评】本题考查的是算术平均数的求法．解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数．6．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．解：（2k+3）2﹣4k2＝4k2+12k+9﹣4k2＝12k+9＝3（4k+3），∵k为任意整数，∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，故选：B．【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此题的关键．7．在一次献爱心的捐款活动中，八（2）班50名同学捐款金额如图所示，则在这次捐款活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（）A．20，10 B．10，20 C．10，10 D．10，15【分析】根据众数、中位数的定义，结合条形统计图的数据进行判断即可．解：这组数据的中位数是第25、26个数据的平均数，由条形统计图知第25、26个数据分别为10、10，所以这组数据的中位数为＝10（元），这组数据中出现次数最多的是10元，有20次，所以这组数据的众数为10元，故选：C．【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．8．下列多项中，能用完全平方公式分解的个数是（）①x2﹣4x+4；②9x2﹣3x+1；③4x2+4x﹣1；④25x2﹣20xy+16y2；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据完全平方式的结构a2+2ab+b2或a2﹣2ab+b2的形式，即可作出判断．解：①是完全平方式；②9x2﹣6x+1，因而9x2﹣3x+1不是完全平方式；③4x2+4x+1是完全平方式，故4x2+4x﹣1不是完全平方式；④25x2﹣40xy+16y2是完全平方式，25x2﹣20xy+16y2不是完全平方式；⑤是完全平方式．故选：B．【点评】本题考查了完全平方式的结构，正确理解结构是判断的关键．9．近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（）A． B． C． D．【分析】根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线b的平均速度为（1+40%）x千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合走路线b比走路线a全程少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．解：∵走路线b的平均车速比走路线a能提高40%，且走路线a的平均速度为x千米/时，∴走路线b的平均速度为（1+40%）x千米/时．根据题意得：﹣＝．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10．如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞﹣1且m≠0 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1且m≠﹣2【分析】解含参的分式方程，结合已知条件及分式有意义的条件求得m的取值范围即可．解：将分式方程两边同乘（x+1），去分母可得：2x﹣m＝x+1，移项，合并同类项得：x＝m+1，∵原分式方程的解是负数，∴m+1＜0，且m+1+1≠0，解得：m＜﹣1且m≠﹣2，故选：D．【点评】本题考查根据含参分式方程解的情况确定参数的取值范围，特别注意解得的分式方程的解不能使最简公分母为0．二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上）11．使分式有意义的x的取值范围为x≠1．【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0进行计算即可．解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0，∴x≠1，故答案为：x≠1．【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解题的关键．12．某地教育局拟招聘一批数学教师，现有一名应聘者笔试成绩88分、面试成绩90分，综合成绩按照笔试占40%、面试占60%进行计算，该应聘者的综合成绩为89.2分．【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可．解：该应聘者的综合成绩为88×40%+90×60%＝89.2（分），故答案为：89.2．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．13．分解因式：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．解：a2﹣1＝（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．14．已知两个不等于0的实数a，b满足a+b＝0，则的值为﹣2．【分析】根据两个不等于0的实数a，b满足a+b＝0，可以得到a＝﹣b，然后即可得到＝﹣1，＝﹣1，再代入所求式子计算即可．解：∵两个不等于0的实数a，b满足a+b＝0，∴a＝﹣b，∴＝﹣1，＝﹣1，∴＝﹣1+（﹣1）＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确a和b的关系．15．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：，，，⋯，，若a1＝2，则a2024的值是．【分析】分别求出a1，a2，a3，…，根据发现的规律即可解决问题．解：由题知，因为a1＝2，则，，，，…，由此可见，这一列数按2，﹣3，，循环出现，且2024÷4＝506，所以．故答案为：．【点评】本题考查数字变化的规律，能根据题意得出这列数按2，﹣3，，循环出现是解题的关键．三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）16．（6分）分解因式：（1）x（x+2）+1；（2）3ma2﹣6mab+3mb2．【分析】（1）先计算出括号里面的，再利用完全平方公式因式分解即可；（2）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．解：（1）x（x+2）+1＝x2+2x+1＝（x+1）2；（2）3ma2﹣6mab+3mb2＝3m（a2﹣2ab+b2）＝3m（a﹣b）2．【点评】本题考查了因式分解的应用，关键掌握完全平方公式．17．（6分）计算下列各题：（1）；（2）．【分析】根据分式的乘除法法则进行解题即可．解：（1）•＝；（2）原式＝×（﹣）＝﹣．【点评】本题考查分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．18．（6分）解方程（1）（2）．【分析】（1）观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解：（1）方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1），得x+1＝1，解得x＝0．检验：把x＝0代入（x+1）（x﹣1）＝﹣1≠0．∴原方程的解为：x＝0．（2）方程两边同时乘以（x﹣2），得1+3（x﹣2）＝x﹣1，解得x＝2．检验：把x＝2代入（x﹣2）＝0．∴原方程无解．【点评】考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．19．（6分）计算下列各题：（1）；（2）．【分析】（1）先通分再进行计算即可；（2）先将分母变成统一的a2﹣1，然后再进行计算即可．解：（1）原式＝+＝；（2）原式＝+﹣＝＝＝＝．【点评】本题考查分式的加减法，能够掌握分式的加减法法则是解题的关键．20．（6分）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计：七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下：年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：a＝85，b＝87；A同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是七年级的学生；（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．解：（1）把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为a＝＝85，八年级10名学生的成绩中8（7分）的最多有3人，所以众数b＝87，A同学得了8（6分），大于8（5分），位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；故答案为：85，87，七；（2）×200+×200＝220（人），答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为220人；（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好．【点评】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．21．（6分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．（6分）市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：甲队成绩统计表成绩7分8分9分10分人数101m7请根据图表信息解答下列问题：（1）填空：α＝126°，m＝2；（2）补齐乙队成绩条形统计图；（3）①甲队成绩的中位数为7.5，乙队成绩的中位数为8；②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．【分析】（1）用360°分别减去其它三部分的度数可得a的值；根据乙队9分的人数和它所占比例可得乙队人数，再根据两队人数相等可得m的值；（2）先求出7分的人数，再补齐乙队成绩条形统计图；（3）①根据中位数的定义解答即可；②根据加权平均数公式解答即可．解：（1）由题意得，a＝360﹣72﹣72﹣90＝126；乙队人数为：5÷＝20（人），故m＝20﹣10﹣1﹣7＝2．故答案为：126；2；（2）乙队7分人数为：20﹣4﹣5﹣4＝7（人），补齐乙队成绩条形统计图如下：（3）①甲队成绩的中位数为：＝7.5；乙队成绩的中位数为：＝8；故答案为：7.5；8；②甲队成绩的平均数为：（7×10+8+9×2+10×7）＝8.3；乙队成绩的平均数为：（7×7+8×4+9×5+10×4）＝8.3；因为甲、乙两队成绩的平均数相同，但乙队的中位数比甲队大，所以乙运动队的成绩较好．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：仿照以上方法解答下面问题：（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．（2）已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．【分析】（1）设另一个因式是（x+b），则（2x﹣5）（x+b）＝2x2+2bx﹣5x﹣5b＝2x2+（2b﹣5）x﹣5b＝2x2+3x﹣k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值．（2）设另一个因式是（3x+m），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a的值，然后代入代数式进行计算即可得解．解：（1）设另一个因式是（x+b），则（2x﹣5）（x+b）＝2x2+2bx﹣5x﹣5b＝2x2+（2b﹣5）x﹣5b＝2x2+3x﹣k，则，解得：．则另一个因式是：x+4，k＝20．（2）设另一个因式是（3x+m），则（2x+a）（3x+m）＝6x2+（2m+3a）x+am＝6x2+4ax+2，则，解得或，另一个因式是3x﹣1，a的值