广西专版2023-2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.2.1基本初等函数的导数训练提升新人教版选择性必修第二册

5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数课后·训练提升基础巩固1.(多选题)下列各式中正确的是()A.(x7)'=7x6 B.(x-1)'=x-2C.(cosx)'=-sinx D.(cos2)'=-sin2答案:AC解析:B中(x-1)'=-x-2,D中(cos2)'=0.故BD不正确,选AC.2.若曲线f(x)=1x在某点处的切线的倾斜角为3π4,则该点的坐标为A.(1,1) B.(-1,-1)C.(-1,1) D.(1,1)或(-1,-1)答案:D解析:由已知得切线的斜率k=tan3π4设切点为(x0,y0),则f'(x0)=-1,又f'(x)=-1x2,∴-1∴x0=1或x0=-1,∴切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选D.3.曲线y=x3的斜率等于1的切线有()A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定答案:B解析:设切点坐标为(x0,y0),∵y'|x=x0=∴x0=±33.故斜率等于1的切线有2条4.已知曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b=()A.4 B.-4 C.28 D.-28答案:C解析:∵y'=3x2,∴曲线在点(2,8)处的切线斜率k=y'|x=2=12.∴切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16,∴k=12,b=-16,∴k-b=28.5.下列曲线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是()A.f(x)=ex B.f(x)=x3C.f(x)=lnx D.f(x)=sinx答案:D解析:若两直线垂直且斜率存在,则其斜率之积为-1.因为A项中,f'(x)=(ex)'=ex>0,B项中,f'(x)=(x3)'=3x2≥0,C项中,x>0,则f'(x)=(lnx)'=1x>0,所以不会使切线斜率之积为-1,D项中,f'(x)=cosx,存在无数对互相垂直的切线,故选D6.已知f(x)=x2,g(x)=lnx,若f'(x)-g'(x)=1,则x=.

答案:1解析:因为f(x)=x2,g(x)=lnx,所以f'(x)=2x,g'(x)=1x,且x>所以f'(x)-g'(x)=2x-1x=1,即2x2-x-1=0,解得x=1或x=-12(舍去).故x=7.曲线y=lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是,切线方程为.

答案:1ex-ey=解析:∵y'=1x,∴k=1e,∴切线的斜率为1e,切线方程为y-1=1e(x-e),即x-8.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角α的取值范围是.

答案:0解析:∵y'=(sinx)'=cosx,∴切线l的斜率为kl=cosx,∴-1≤kl≤1,∴α∈0,9.证明:曲线y=1x在任一点P(x0,y0)(x0>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为一定值证明:由y=1x,得y'=-1所以曲线y=1x在点P(x0,y0)(x0>0)处的切线的斜率为k=y'|x=所以切线方程为y-y0=-1x02(x-x因为y0=1x0,所以令x=0,得y=y0+令y=0,得x=2x0.因此,曲线y=1x在点P(x0,y0)(x0>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=12×2x0×2x0能力提升1.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·…·xn的值为()A.1n B.1C.nn+1 D答案:B解析:由y=xn+1(n∈N*)得y'=(n+1)xn.则曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k=n+1,故切线方程为y-1=(n+1)(x-1).令y=0,得xn=nn+1,所以x1·x2·…·xn=12×2故选B.2.若曲线y=x-12在点a,a-1A.64 B.32 C.16 D.8答案:A解析:因为y'=-12x-32,所以曲线y=x-12在点a,a-12处的切线方程为y-a-12=-12a所以12·32a-123.(多选题)直线y=12x+b能作为下列函数图象的切线的是(A.f(x)=1x B.f(x)=xC.f(x)=sinx D.f(x)=ex答案:BCD解析:A中,f(x)=1x,故f'(x)=-1x2,令-1x2=12,无解,故A排除;B中,f(x)=x4,故f'(x)=4x3,令4x3=12,得x=12,即曲线在点12,116处的切线方程为y=12x-316,B正确;C中,f(x)=sinx,故f'(x)=cosx,令cosx=12,取x=π3,故曲线在点π3,32处的切线方程为y=12x-π6+32,C正确;D中,f(x)=ex,故f'(x)=e4.设函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是答案:21解析:∵y'=2x,∴y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线方程为y-ak2=2ak(又该切线与x轴的交点坐标为(ak+1,0),∴ak+1=12ak,即数列{ak}是首项为a1=16,公比为q=12∴a3=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.5.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)在点P处的切线垂直,求点P的坐标解:设f(x)=y=ex,则f'(x)=ex,所以f'(0)=1.因此曲线y=f(x)=ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.设g(x)=y=1x(x>0),则g'(x)=-1设点P的坐标为(xP,yP),且xP>0.由题意可得g'(xP)=-1xP2=-1,解得xP=1,则yP=1xP=1.6.已知直线l:2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,O是坐标原点,试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在A,B两点之间的曲线上求一点P,使△ABP的面积最大.解:因为直线l:2x-y+4=0与抛物线y=x2相交于A,B两点,所以|AB|为定值,要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大.由题意易知当抛物线y=x2在点P处的切线与直线l平行时,点P到AB的距离最大,设此时点P的坐标为