【数学】天津市武清区2023-2024学年高二上学期11月期中试题（解析版）

天津市武清区2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.1.直线的倾斜角为（）A.45° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】的斜率为，设倾斜角为，则，故.故选：B2.已知空间向量则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，，.故选：A3.圆的圆心和半径分别为（）A.，2 B.， C.，2 D.【答案】B【解析】由可得，，所以圆心为，半径为，故选:B.4.如图，在平行六面体中，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又因，，∴，∴，，，故选：A.5.已知直线过点(2,1)，且横截距、纵截距满足，则该直线的方程为（）A.2x+y-5=0 B.x+2y-4=0C.x-2y=0或x+2y-4=0 D.x-2y=0或2x+y-5=0【答案】C【解析】当截距为0时，设直线的方程为：，因为直线过点(2,1)，所以，即，则直线方程为：；当截距不为0时，设直线方程为，因为直线过点（2，1），所以，则，所以直线方程为，即，综上：直线的方程为：x-2y=0或x+2y-4=0，故选：C6.已知向量空间，若,,共面，则实数x等于（）A.2 B. C.2或 D.2或0【答案】A【解析】若,,共面,则，所以，解得.故选：A7.若直线l与直线x+2y=0垂直，且与圆相切，则l的方程为（）A.x+2y-8=0 B.x+2y+2=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y-10=0【答案】C【解析】因为直线l与直线x+2y=0垂直，所以可设直线l方程为，因为直线l与相切，则有，即或，所以直线方程为或，故选：C.8.已知两点，，直线与线段有公共点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】直线可化为，由可得，，所以直线恒过点.，，如图可知，直线的倾斜角介于直线倾斜角与直线的倾斜角之间.所以当时，有；当时，有.又直线的斜率为，所以，或.故选：D.9.在平面直角坐标系xOy中，若圆(r>0)上存在点P，且点P关于直线对称点Q在圆上，则r的取值范围是（）A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(2，8) D.[2，8]【答案】D【解析】圆心坐标，设关于直线的对称点为，由，可得，所以圆关于直线对称圆的方程为，则条件等价为：与有交点即可，两圆圆心为，，半径分别为，3，则圆心距，则有，由得，由得，综上：，所以r的取值范围是，故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.经过两点的直线的方向向量为，则______．【答案】2【解析】由已知，是直线的方向向量，则，故答案为：2.11.若直线是圆的一条对称轴，则实数a的值为_____________.【答案】【解析】圆的圆心为，由题意，直线过圆的圆心，所以，解得.故答案为：12.已知空间向量且与相互垂直，则实数λ的值为_____________.【答案】【解析】因为与相互垂直，所以,所以.故答案为:13.已知两条平行直线则l₁与l₂间的距离为_______.【答案】【解析】由题意得：直线，直线可化简为：，所以两平行线间的距离为：.故答案为：.14.已知点，直线l过点，且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为_____.【答案】【解析】易知，所以点P到直线l距离为.故答案为：15.已知直线与交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值____________.【答案】（任意一个也对）【解析】的圆心为，半径为，则圆心到的距离为，则，故，解得或，当时，，解得，当时，，解得，故或故答案为：（任意一个也对）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知点，，O为坐标原点，向量（1）求向量的单位向量（2）求（3）求解：（1）由已知得：，则，因此；（2）因为，所以，则.（3）因为，所以，则17.已知的三个顶点，，.（1）求边所在直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程．解：（1）直线的斜率为，直线的方程为，即.（2）由（1）知直线的斜率为，所以由垂直关系可得边高线的斜率为，因为上的高过点，所以上的高线方程为,化为一般式可得：.18.如图，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，（1）求证:（2）求直线EF与AB所成角的余弦值；（3）求平面PAC与平面PBC夹角的大小.解：（1）以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图：则：，，，，，，所以：，即：，所以：.（2）由（1）可得：，所以：所以：直线与所成角的余弦值为：.（3）由（1）可得：，，，，设平面的一个法向量为：，则得：，令，得，所以：，设平面的一个法向量为：，则得：，令，得：，所以：，所以：，所以：平面与平面夹角为：.19.已知圆C过点A(8，-1)，且与直线相切于点B(3，4).（1）求圆C的方程;（2）过点P(-3，0)的直线与圆C交于M，N两点，若为直角三角形，求的方程.解：（1）设圆心坐标为，又直线与圆相切，所以：，设分别代表直线，的斜率，所以有：，由题意得：，所以有：，结合，并联立得：，解之得：，所以：圆的半径，所以：圆的方程为：.（2）因为为直角三角形且，所以，圆心到直线的距离：，易知直线的斜率存在，记为，又直线过点，设直线方程的方程为：，即：，因为圆心到直线的距离为：，整理得：，解之得：或，所以直线方程的方程为：或.20.如图，且，，且，且，平面，，M是AB的中点.（1）若求证：平面DMF；（2）求直线EB与平面DMF所成角的正弦值；（3）若在DG上存在点P，使得点P到平面DMF的距离为，求DP的长．解：（1）因为，，平面，而平面，所以，，因此以为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

因为且，且，，所以，，，，