2021年中考数学分类突破24 四边形中的对称综合问题(解析版)

专题24四边形中的对称综合问题

1、如图，在矩形纸片ABC。中，已知AB=2,8c=2«,点E在边CD上移动，连接AE,将多边形ABCE

沿直线AE翻折，得到多边形点B、C的对应点分别为点夕、C.

B'

（1）当点E与点C重合时，求。F的长；

（2）若分别交边AD,CD于点F,G,且ND4E=22.5。，求△。尸G的面积：

（3）如果点M为CZ）的中点，那么在点E从点C移动到点。的过程中，求CM的最小值.

解：（1）如图,

••,四边形A8CD是矩形，

."8=CO=2,BC=AD=2M，NB=NBCD=ND=90。,

.*AB_V3

・♦tanNzACB————■’,

BC3

ZACB=30°,

由翻折不变性可知：ZACB=ZACF=30°,

ZDCF=30°t

(2)如图2中,

图2

VZDAE=22.5°,NBAD=90。,

；.NBAE=NEAB'=675。,

・・・N8'4/=45。，

VZBz=90°,

,,

：.ZBAF=ZBFA=45°i

,,,

：BA=BF=21

：.AF=2^

：・DF=2正-入叵

*/NAFB』NDFG=45。,

:.DG=DF=2M-2显、

・』酝得・（2技2&）2=io-4加

(3)如图3中，连接AM,AC,MC.

图3

；AC=4,AM=d（2匾）?+/=任,

'：C'M>AC-AM,

.,.C/W>4-^13，

的最小值为4-J正.

2、有一张矩形纸片ABC£>,AB=4,40=9.

(1)如图1,点E在这张矩形纸片的边A。上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN

(点/，N分别在边AO,BC上)，利用直尺和圆规画出折痕(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)如图2,点K在这张矩形纸片的边AO上，0K=3,将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折

痕为H/,点A,B分别落在点4,用处，小明认为87所在直线恰好经过点。，他的判断是否正确，请说

明理由.

解：(1)如图1所示直线即为所求;

（2）小明的判断不正确.

理由：如图2,连接〃），

在RtACDK中，,:DK=3,CD=4,

CK=J§2+42=5，

■:AD//BC,

：.ZDKC=Z1CK,

由折叠可知，NAB7=N8=90°,

・・.N/B'C=900=ND,

•MCDKSAJBC

.CD_DK_CK

••IB，F-c元，

即'=」一=巨

IB'BzCIC'

设C3'=3k,IB'=4k,lC=5k,

由折叠可知，IB=IB'=4k,

：.BC=BI+IC=4k+5k=9,

k=L

A/C=5,0=4,£C=3,

在RtA/C8,中，tan/B7C="||L=',

连接/£>,在RtA/C。中，tanZO/C='^-=4,

IC5

.,.tanZB7C^tanZD/C,

...87所在的直线不经过点D.

3、己知：将矩形纸片ABC。折叠,使点A与点C重合(点。与〃为对应点)，折痕为E尸，连接A/、AC

交EF于点0.

(I)如图1,求证：四边形4EC尸为菱形;

(2)如图2,若FC=20E,连接。0、D'O,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有等

边三角形.

(1)证明：•••将矩形纸片A8C。折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,

：.AE=CE,AF=FC,ZAEF=ZCEF,

；四边形A8C。是矩形，

AZADC=^BAD=90°,AE//CF,

NCFE=ZAEF,

：.ZCEF=ZCFE,

：.CF=CE,

；.AE=CF,

四边形AECF是平行四边形,

XVAE=CE,

，四边形AEC尸是菱形：

(2)等边三角形为：aAEF、△CEF.XAOD、△COD'；

理由如下：

\'FC=2DF,AF=FC,

：.AF^2DF,

：/AOC=90。，

.../D4F=30。，

：.ZEAF=60°,

；四边形AEC尸是菱形，

：.AE^AF,△AEF^/^CEF,OA=OC=工AC,

2

/XAEF和△CEF是等边三角形；

,?ZADC=90°,

：.OD=—AC=OA,

2

；—ZEAF=30°,

2

：.ZOAD=60°,

...△AOO是等边三角形；

'：CD'=AD=OC,OD'=—AC,

2

：.CD'=OC=OD'.

.♦.△C。。是等边三角形.

4、如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，长方形OABC,点B的坐标为(3,8),点A、C分别在

坐标轴上，。为0C的中点.

(1)在x轴上找一点P,使得PD+PB最小，则点P的坐标为；

(2)在x轴上找一点Q,使得QB|最大，求出点。的坐标并说明理由.

01Ax

解：(1)作。关于x轴的对称点。，连接80,交x轴于点尸

"：PD=PD'

：.PD+PB=PD'+PB

...当8、P、。在同一直线上时，PC+PB=8D'最小

•..四边形0ABe是矩形，8(3,8)

：.C(0,8)

■:DR0C中点

：.D(0,4)

：.D'(0,-4)

设直线3)解析式为：y^kx+b

3k+b=8解得:k=4

0+b=-4b=-4

直线BD'：y=4x-4

当4x-4=0时，解得：x=\

故答案为：P(1,0)

(2)根据三角形两边之差小于第三边，\QD-QB\<BD

...当8、£>、。在同一直线上时，IQO-。阴=8。最大

设直线解析式为：y=ax+c

，二

f3a+c=8解得：a=T

io+c=4

c=4

4

直线BC：尸争+4

4.

当不元+4=0时，解得：x=-3

二点。(-3,0)

5、如图，在矩形ABC。中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCQ,使3点落在尸处，折痕为EC,连

接AP并延长AP交C。于尸点.

(1)求证：四边形AECF为平行四边形；

(2)若矩形ABC。的边4B=6,BC=4,求ACP/的面积.

解：(1)由折叠得到3E=PE,ECJLPB,

为A8的中点，

:.AE=EB=PE,

：.AP±BP,

J.AF//EC,

；四边形A8CO是矩形,

：.AE//FC,

四边形AECF为平行四边形;

(2)过尸作PM_LOC,交。C于点M,

在RtZiiEBC中，EB=3,BC=4,

根据勾股定理得：EC=732+42=5)

,:SAEBC=±EB・BC=±EGBQ,

22

.•①=3=9

55

由折叠得：BP=2BQ=3

b

94

在RSA3P中，AB=6,BP=等,

根据勾股定理得：”=加2彻2=昌

•；四边形AECF为平行四边形，

."F=EC=5,FC=A£=3,

137

~55

■：PM//AD,

7_

.PF^PM即无=PM

"AFADT,

~5

解得：

28_42

则SAPFC=—FC-PM^—x3x

2225-25

6、如图，长方形纸片ABC。中，AB=8,将纸片折叠，使顶点8落在边A。上的E点处，折痕的一端G点

在边8C上.

(1)如图1,当折痕的另一端尸在48边上且AE=4时，求A尸的长

(2)如图2,当折痕的另一端尸在边上且8G=10时,

①求证：EF=EG.②求AF的长.

(3)如图3,当折痕的另一端尸在边上，B点的对应点E在长方形内部，E到A。的距离为251,

且BG=10时，求A尸的长.

(1)解：：纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处,

：.BF=EF,

：/W=8,

：.EF=^-AF,

在Rt^AEF中，AEr+A^EF1,

即42+A/=(8-AF)2,

解得AF=3；

(2)①证明：,・,纸片折卷后顶点8落在边上的E点处,

:.NBGF=/EGF,

•・•长方形纸片ABCD的边AD//BC,

:./BGF=/EFG,

：・/EGF=NEFG,

：.EF=EG；

②解：•・,纸片折叠后顶点8落在边AO上的E点处，

：.EG=BG=\OtHE=AB=SfFH=AFf

：.EF=EG=\Of

在RsEF”中，^=VEF2-HE2=7102-82=6>

：.AF=FH=6；

(3)解：

法一：如图3,设EH与4。相交于点K,过点E作MN〃C。分别交A。、BC于M、N,

•・・E到AD的距离为

：.EM=2fEN=8-2=6,

在RSENG中，G^=VEG2-EN2=7102-62=8*

•?NGEN+NKEM=180。-ZGEH=180°-90°=90°,

NGEN+NNGE=18。。-90°=90°,

NKEM=ANGE,

又ZENG=ZKME=90°,

:.AGENSAEKM,

.EK=KM^EM

'•前一丽―丽，

BnEKKM2

1068

解得EK=?,/TM=-1.

511

:.KH=EH-EK=8-

22

YNFKH=NEKM,ZH=/EMK=90。,

:.丛FKHsAEKM,

•FH=KH

••丽―而，

11

即粤等,

2_3_

~2

解得FH=^,

22

：.AF=FH=^-,

法二：如图4,设E”与A。相交于点K,过点石作蛇〃。。分别交AQ、3C于M、N,过点K作KL〃CZ)

交BC于点、L,连接GK,

•・,七到的距离为2cM

：・EM=2,EN=8-2=6,

在RsENG中，61=加2_£/=V102-62=8，

设KM=a,

在AKME中,根据勾股定理可得：KE2=KM2+ME2=a2+4,

在△KEG中，根据勾股定理可得：GK2=GE1^-KE1=102+tz2+4,

在△GKL中，根据勾股定理可得：GR=GG+KU=(8-a)2+82,

即102+«2+4=(8-〃)2+82,

解得：〃=擀"，故KE=W'

611

：.KH=EH-EK=8-==廿，

22

设FH=b,

在△KF”中，根据勾股定理可得：KF2=KH2+FH2,

323

•:KF=KA-AF=BL-AF=(BG+GN・KM)-AF=10+8---h=--h

229

BP：(--h)2=(—)2+b2,

22

解得：b=岭,

o

・22

.•Ar——rri-------.

3

图4

7、如图，长方形纸片ABC。，点E、尸分别在边AB、CDk,连接EF,将/BEF对折，点B落在直线EF

上的8'处，得到折痕EC,将点A落在直线£尸上的点“处，得到折痕E7V.

(1)若贝IJ/BEC=°,NAEN=°,NBEC+NAEN=

(2)若m。，贝ij(1)中NBEC+N4EN的值是否改变？请说明你的理由.

(3)将/ECF对折，点E刚好落在尸处，且折痕与8'C重合，求NDNA'.

解：(1)由折叠的性质可得，NBEC=NBEC,ZAEN^ZA,EN,

：/8E£=110。，

二/4EA'=180°-110°=70°,

AZBEC=ZB'EC=—ZBEB'=55°,ZAEN=ZA'EN=—ZAEA'=35°.

22

ZBEC+ZAEN=550+3>5°=90°；

故答案为：55,35,90.

(2)不变.

由折叠的性质可得：NBEC=NB'EC,NAEN=NA'EN,

,；NBEB'=m°,

，ZA£A'=180°-m°,

可得/8EC=/8'EC=1/8EB'=工ZAEN=^A:EN=—AAEA'=—(180°-%°),

2222

二ZBEC+ZAEN=4-/n°+4(180°-m°)=90°,

22

败NBEC+NAEN的值不变；

(3)由折叠的性质可得：ZB,CF=ZB,CE,ZB,CE=ZBCE,

：.NB'CF=ZB'CE=ZBC£=—x90°=30°,

3

在RSBCE中，

■:NBEC与NBCE互余,

：.NBEC=90。-NBCE=9Q。-30°=60°,

NB，EC=NBEC=60°,

：.ZA£A'=180°-NBEC-ZB'EC=180°-60°-60°=60°,

/.ZAEN=—ZAEA'=30°,

2

ZANE=900-NAEN=90°-30°=60°,

：.ZANE=ZA'NE=6Q°,

：.N£WA'=180°-ZANE-NA'NE=180°-60°-60°=60°.

8、(1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt^ABC中，ZC=90°,AC^-AB-求证:

ZB=30°,请

你完成证明过程.

(2)如图②，四边形4BC。是一张边长为2的正方形纸片，E、尸分别为AB、CD的中点，沿过点。的

折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点4处，折痕交AE于点G,请运用(1)中的结论求NAOG的度

数和AG的长.

(3)若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、。两点恰好重合于一点。(如图④)，当A8=6,

求EF的长.

(1)证明：RSABC中，ZC=90°,AC=^AB.

AC

Vsinfi=1

AB2

/./8=30°；

(2)解：；正方形边长为2,E、F为AB、8的中点，

=边长=1,

2

•••沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点处,

：.A'D=AD=2,

.FD_1

NDW

NRV£>=30。，

可得NFD4'=90°-30°=60°,

；A沿GO折叠落在4处，

ZADG=ZA'DG,AG=A'G,

NADA'900-60°

•・・AD=2,FD=1,

D2-FD2=V3^

：.EA,=EF-A,F=2-^

・・・NE4'G+NO4尸=180。-ZGArD=90°,

NE4G=90。-ZDA,F=90°-30°=60°,

・・・Z£GAz=90°-ZEAfG=90°-60°=30°,

则4G=AG=2E>V=2（2-«）；

（3）解：J•折叠后8、。两点恰好重合于一点O,

：.AO=AD=CB=COt

VZD=90°,

：.ZDCA=30%

VAB=CD=6,

AD

在RSAC。中，-^-=tan300,

则AD=ZX>tan30o=6x£i=2近，

3

ZDAF=ZFAO=^-ZDAO=~~%2=30。,

:.亚=tan30°=返

:.DF=®AD=2,

3

：.DF=FO=2,

同理E0=2,

：.EF^E0+F0=4.

9、如图，在矩形ABC。中，2AB>BC,点E和点尸为边A力上两点，将矩形沿着BE和CF折叠，点A和

点D恰好重合于矩形内部的点G处，

(1)当AB=BC时，求/GEF的度数；

(2)若BC=2,求E尸的长.

解：(1)当48=BC时，矩形488为正方形

由折叠得，AB=BG,CD=CG；ZEGB=ZA=90°=ZFGC,

,:AB=BC=CD

：.BG=BC=GC

：.N8GC=60。

.♦.NA8G=30°

/AEG=360°-ZA-NBGE-ZABG=150°

：.ZGEF=30°

(2)在矩形ABC。中，AB=CD=®

由折叠得，AB=BG,CD=CG,AE=EG,DF=FG

:.BG=GC=&,

,：BG2+CG2^4,8G=4,

.\BG2+CG2=BC2,

...NBGC=9()。，且BG=CG,

：.ZGBC=45°

NAEG=360°-ZA-NBGE-NA8G=135°

：.ZFEG=45°,

同理可得/EFG=45。，

...△EGF为等腰直角三角形

设EG=x,则AE=BD=x,即=&x,得

(2+0)x—2,

；.x=2-72

3=亚=2后2

9、如图，在矩形ABC。中，AB=6,BC=10,将矩形沿直线EF折叠，使得点A恰好落在边BC上，记此

点为G,点E和点尸分别在边AB和边4。上.

(1)当BG=3加时，求4E的长；

(2)在矩形翻折中，是否存在FG=CG?若存在，请求出FG的长，若不存在，请说明理由.

解：＜1)由折叠易知：AE=EG,

设AE=EG=x,则有BE=6-x,

...由勾股定理易得：X2=(6-X)2+(3&)2,

解得：尤=5,

即：AE=—；

2

(2)如图，过尸作H/LCG于，，连接尸C,

当FG=GC时，则有：AF=FG=GC=x,CH=DF=\Q-x-.

.'.GH—x-(10-x)—2x-10,

在RtAFGH中，由勾股定理易得：x2=62+(Zr-10)2,

化简得：3x2-40x+l36=0,

；△=(-40)2-4x3x136=-32<0,

此方程没有实数根.

故不存在尸G=GC.

10、综合与实践-折纸中的数学

我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理.七

年级下册第五章学习了平行线的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我

们继续探究——折纸与平行线.

如图1,长方形纸条4BMN中，AB//MN,AN//BM.第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A,得

到折痕AC,再将纸片展平；第二步，如图2,将折痕AC折到AE处，点8落在距处；第三步，如图3,

将对折，使点M落在此处，点N落在V处，EN与DB英线,得到折痕EF.

图2图3

(1)AC和。E有怎样的位置关系，并说明理由.

(2)折痕A。和EF有怎样的位置关系，并说明理由.

解：(1)AC//DE

理由如下：由折叠的性质可得：NCA/)=ND4E,ZCDA^ZADE,

'：BM//AN

：.ZCDA^ZDAE

：.ZCAD=ZADE

C.AC//DE

(2)由折叠的性质可得：ZDEF=ZFEN

U：BM//AN

：.ZCDE=ZDEN

：.ZCDA+ZADE=NDEF+NFEN

：.2ZADE=2ZDEF

：.NADE=NDEF

：.AD//EF

11、如图，矩形纸片ABC。中，AB=CD=49AD=BC=S,ZBAD=ZB=ZC=Z£>=90°,将纸片沿EF

折叠，使点。与点A重合.

(1)①设贝ljAE=(用含x的代数式表示)；②求线段BE的长，

(2)求证：AE=AF；

(3)直接写出线段EF的长.

解：(1)①设BE=x,则CE=BC-BE=8-x,

•・•沿E/翻折后点。与点A重合，

.\AE=CE=8-xfGF=DF9AG=CD=ABf

故答案为：8-x

222

②在RSABE中，AB+BE=AE1

即42+炉=(8-x)2

解得x=3,

：.BE=3；

/.AE=8-3=5；

(2)由翻折的性质得，ZAEF=ZCEF,

矩形ABCD的对边AD//BC,

：.ZAFE=ZCEFf

：.ZAEF=/AFE,

：.AE=AF；

(3)过点E作E”,AD于"，则四边形A8EH是矩形,

G

・•.£77=48=4,

AH=BE=3,

：.FH=AF-AH=5-3=2,

在RtAEFH中，EF=THE2+HF2={16+4=2娓.

12、如图，折叠矩形4BC。的一边AD,使点。落在BC边上的点尸处，4E是折痕.

图1图2

(1)如图1,若48=4,AD=5,求折痕AE的长；

(2)如图2,若AE=6而，且EC：FC=3：4,求矩形ABC。的周长.

解：(1)•••四边形ABCD是矩形，

，NABC=90°,A8=C£>=4,AO=BC=5,

由折叠可知，AD=AF=5,DE=EF,

BF=VAF2-AB2=V52-42=3'

:.FC=BC-BF=5-3=2,

设EF=DE=x,则CE=4-x,

'：CF2+CE2^EF'1,

：.22+(4-x)2=舄

解得：

一奇,

AE=VAD2+DE2=百+得)2=；

(2)VEC：FC=3：4,

・,•设EC=3x,则FC=4x,

•■•£F=VCF2+CE2=5JC'

.,.DE=5x,

：.AB^CD=Sx,

^AF=AD=y,则2F=y-4x,

在RtAABF中，AB2+8产=月产，

二(8x)2+(y-4x)2=已

解得y=10x,

在RtAADE中，AD2+DE2=AE1,

,e•(lOx)2+(5X)2=(575)2,

解得x=l或x=-l(舍去)，

."。=10,AB=8,

二矩形ABC。的周长为(10+8)x2=36.

13、对给定的一张矩形纸片A8C。进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在C。边上(如图①)，再沿

C4折叠，这时发现点E恰好与点。重合(如图②)

⑴根据以上操作和发现，则黑=.

(2)将该矩形纸片展开，如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点”重合，折痕与AB相交于点P,再将

该矩形纸片展开.求证：NHPC=90°.

(1)解：由图①，可得NBCE=//BCD=45。,

又

...△8CE是等腰直角三角形，

；.曳=cos45°=返，即CE=«8C,

EC2

由图②，可得CE=C£>,

；四边形A8CD是矩形，

：.AD=BC,

：.CD=y]2AD,

故答案为：

(2)证明：设则A8=CO=丑八BE=a,

•\AE=(5/2-1)。，

如图③，连接E”，则NCE〃=NCOH=90。，

VZB£C=45°,ZA=90°,

/.ZAEH=45°=ZAHEf

.\AH=AE=(V2~1)a，

设AP=x,则BP=y[2ci-X,

由翻折可得，PH=PC,即。/尸二尸。2,

2222

：.AH+AP=BP+BCf

22

即[(V2一1)。尸+工2=Cy/2fi-x)+af

解得：x=af即AP=BCf

在RtAAPH和RtABCP中，i

IAP=BC

.,.RtAAPH^Rt^BCP(HL),

：.NAPH=NBCP,

又：RtA8c「中，N8CP+N8PC=90。,

ZAPH+ZBPC^90°,

：.ZCPH=-90°.

14、已知矩形ABC。中，AB=1,BC=2,点、E、F分别在边BC、AC上，将四边形ABEF沿