2021年上海中考数学母题讲次16 锐角的三角比（教师版）

专题16锐角的三角比

母题揭秘中考四大考点：

1、锐角三角比的意义，特殊的锐角三角比的比值代数运算问题；

2、解直角三角形，利用勾股定理和锐角三角比相互结合解直角三角形；

3、实际问题：测量问题、航海问题、坡度问题、方案设计问题等；

4、数学模型相互渗透问题：与四边形结合、与相似形结合、与圆结合、与函数结合等综合问题。

母题呈现

【母题来源1］（2020•上海中考真题）如图，在山1BC中，AB=4,BC=1,匚8=60。，点。在边8。上，CD=3,

联结/D如果将口”。。沿直线翻折后，点C的对应点为点E,那么点£到直线8。的距离为.

【答案】巫.

2

【解析】

过E点作EHOBC于H,证明ABD是等边三角形，进而求得「ADC=120。,再由折叠得到ADE=CADC=120°,

进而求出口｝＜口£=60。，最后在RtEHED中使用三角函数即可求出HE的长.

解：如图，过点E作相口8。于

B

口BC=7,CZ>3,

BD=BC・CD=4,

□AB=4=BD,DB=60°,

4BD是等边三角形,

口408=60。,

UADC=nADE=120°f

EDH=60。,

□EHBC,□□£//D=90°.

DE=DC=3,

EH=DExsinUHDE=3x且=2^,

22

□£到直线BD的距离为迪.

2

3

【母题来源2］（2018•上海中考真题）如图，已知DABC中，AB=BC=5ntanlABC=-□

4

□1）求边AC的长;

AD

□2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求黑的值.

DB

B

【解析】

(1)过A作AEE2BC,在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；

□2)由DF垂直平分BC,求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求

出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求.

解：口山如图，过点A作AEUBC」

3

在Rt:ABE中，tanABC=—=-DAB=5H

BE4

□AE=3UBE=4l

□CE=BCCBE=5C4=in

在RtUAEC中，根据勾股定理得：AC=J^J=而口

□2"DF垂直平分BCO

5

□BD=CDJBF=CF=-□

2

DF3

□tanDBF=---=—□

BF4

15

□DF=—□

在RtUBFD中，根据勾股定理得：BD=J-+—=—L

2515

□AD=5D——=—□

88

【母题来源3］（2017•上海中考真题）我们规定：一个正n边形（n为整数，n>4）的最短对角线与最长对角

线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为入“那么乂=—.

【答案】赵

【解析】

解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O,连接EC.

易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线,

□□OBC是等边三角形

□□OBC=LiOCB=LBOC=60°,

□OE=OC

□□OEC=DOCE,

□□BOC=OOEC+QOCE

□□OEC=UOCE=30°

□□BCE=90°,

BEC是直角三角形

.统加

□—=cos3(r=业，

.醒鬟

S.

母题揭秘

考点一、锐角三角比的概念

如图所示，在Rt匚ABC中，口©=90。，DA所对的边BC记为a,叫做1A的对边，也叫做二B的邻边,

□B所对的边AC记为b,叫做UB的对边，也是UA的邻边，直角C所对的边AB记为c,叫做斜边.

乙帕勺对边a

锐角A的对边与斜边的比叫做「A的正弦，记作sinA,即sinA=

斜边

.NA的邻边b

锐角A的邻边与斜边的比叫做UA的余弦，记作cosA,即nncosA=’『'；

即忸1)4=幺骐当=@；

锐角A的对边与邻边的比叫做DA的正切，记作tanA,

乙曲勺邻边b

的对边々c5，制警tan'，吗当，

同理sin3=

斜边c斜边c/砌邻边a

知识要点：

(1)锐角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段

的比值.角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化.

(2)sinA,cosA,tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成仇”•工，三

三，不能理解成sin与NA,cos与NA,tan与/A的乘积.书写时习惯上省略/A的角的记号“N”,

但对三个大写字母表示成的角（如/AEF）,其正切应写成“tanNAEF"，不能写成“tanAEF"；另外，‘三、

.■f.：r需产

--------n—*,tv———

一广一!、厂一常与成1-^、---、----

（3）任何一个锐角都有相应的锐角三角比值，不因这个角不在某个三角形中而不存在.

（4）由锐角三角比的定义知：

当角度在0°<NA<90。之间变化时，^tanA>0.

考点二、特殊角的三角比的比值

利用锐角三角比的定义，可求出0。、30。、45。、60。、90。角的各三角比的比值，归纳如下:

0°30°45°60°90°

三角函缸

V2

sina0旦1

~2T2

422

cosa10

227

tana0叵173不存在

3

知识要点：

（1）通过该表可以方便地知道0°、30。、45。、60。、90。角的各三角比的比值，它的另一个应用就是：如果

知道了一个锐角的三角比的比值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若庭〉二=,则锐角.二.

（2）仔细研究表中数值的规律会发现：

sinO。、：三、三、三、sin90°的值依次为。、二、，二、二、1,而cosO°、二、

三？三？cos90°的值的顺序正好相反，三、三;、三;的值依次增大，其变化规律

可以总结为：

当角度在0OVNAV90。之间变化时，

①正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小）

②余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）.

考点三、锐角三角比之间的关系

如图所示，在RSABC中，ZC=90°.

(1)互余关系：I[口—^^~T，/

(2)平方关系：A।

:—:、、'、

⑶倒数关系：一|或广)|]v三卜

(4)商数关系：，">

母题呈现

3

【母题来源4](2018•上海中考真题)如图，已知E3ABC中，AB=BC=5DtanDABC=-□

4

□1)求边AC的长;

An

□2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求黑的值.

DB

…”,I—AD3

【答案】□1DAC=V1O0020——=-□

BD5

【解析】

(1)过A作AEDBC,在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可;

BC

(2)由DF垂直平分BC,求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股

定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求.

解：U1LJ如图，过点A作AEUBC.

在RtlABE中，tan匚ABC=—=--□AB=5^

BE4

□AE=3DBE=4Q

□CE=BCDBE=5C4=in

在RtEJAEC中，根据勾股定理得:AC=732+l2=ViOQ

□2EJEIDF垂直平分BCD

5

□BD=CD0BF=CF=-0

2

DF3

□tanDDBF=-----=—□

BF4

15

□DF=——□

8

在RtrBFD中，根据勾股定理得:

2515

口AD=5U—=—

88

AD3

贝!!---——□

BD5

上

BFEC

【母题来源5］（2019•上海中考真题）如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备

箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60。时，箱盖ADE落在

ADE的位置（如图2所示）.已知AD=90厘米，DE=30厘米，EC=40厘米.

（1）求点D到BC的距离;

（2）求E、F两点的距离.

【答案】（1）点D，到BC的距离是（456+70）厘米；（2）E、E，两点的距离是30厢厘米。

【解析】

（1）过点D作DH口BC,垂足为点H,交AD于点F,利用矩形的性质得到DAFD=IBHD'=90°,再解直

角三角形即可解答

（2）连接AE、AE\EE',得出DAEE是等边三角形，利用勾股定理得出AE,即可解答

解：

过点D作DHDBC,垂足为点H,交AD于点F.

由题意，得AD』AD=90（厘米），IDAD'=60°.

匚四边形ABCD是矩形，DADDBC,□□AFD'=DBHD'=90°.

在RtUAD'F中，D'F=AD'sinLDAD'=90xsin600=45ji（厘米）.

又匚CE=40（厘米），DE=30（厘米），：2FH=DC=DE+CE=7O（厘米）、

D'H=D'F+FH=（45右+70）（厘米）.

答：点D倒BC的距离是（456+70）厘米.

（2）连接AE、AE\EE，.由题意，得AE，=AE,CEAE'=60°.

□匚AEE，是等边三角形

EE'=AE,

四边形ABCD是矩形，

□CADE=90°

在READE中，AD=90（厘米），DE=30（厘米）：

□AE=^ALf+DE2=A/9O2+3O2=3OV1O（厘米）

□EE'-3OV1O（厘米）.

答：E、E，两点的距离是30西厘米。

【母题来源6】（2017•上海中考真题）如图，一座钢结构桥梁的框架是UABC,水平横梁BC长18米，中柱

AD高6米，其中D是BC的中点，且ADBC口

□1）求sinB的值；

2）现需要加装支架DEE3EF,其中点E在ABEBED2AE,且EF「BC,垂足为点F,求支架DE的长.

【答案】DlOsinBL^11JU2UDED5D

13

【解析】

(1)在RtABD中，利用勾股定理求出AB,再根据sinB=——计算即可；

A.B

EFBFBE2

(2)由EFUAD,BE=2AE,可得——=——=——=一,求出EF、DF即可利用勾股定理解决问题;

ADBDBA3

解：

(1)在Rt匚ABD中，DBD=DC=9,AD=6,

i----------------,----------f—AD62A/13

匚AB=JBlf+AD2也2+6?=3713.DsinB=—=^-j^=——.

EFBFBE2EFBF2

(2)DEFAD,BE=2AE,匚——=——=——=一，0——=——=一，QEF=4,BF=6,

ADBDBA3693

匚DF=3,在RtEJDEF中，DE={EF?+DF?="+3?=5.

母题褐秘

考点四、解直角三角形

在直角三角形中，由己知元素（直角除外）求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt^ABC中，ZC=90°,NA、NB、NC所对的边分别为a、b、c,则有：

①三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.

②锐角之间的关系：ZA+ZB=90°.

③边角之间的关系：

sin5=—,cosB=—,tanB=—.

④,h为斜边上的高.

知识要点：

（1）直角三角形中有一个元素为定值（直角为90°）,是已知的值.

（2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系（如不等关系）.

（3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.

考点五、解直角三角形的常见类型及解法

..11：--O已知条件解法步骤

由tan工=士求NA,

b

两直角边（a,b）

ZB=90°-ZA,

c-+/

两

边

RtAABC

由sin4=3求NA,

\

\c

\

\斜边，一直角边（如c,a）

/ZB=90°-ZA,

/

/

b=Jd

ZB=90°-ZA,

锐角、邻边

b

（如/A,b）c=-------

边一直角边a=8・tan工，cos/

和一锐角

角锐角、对边ZB=90°-ZA,

（如NA,a）

sinA,庄

ZB=90°-ZA,

斜边、锐角(如c,ZA)

知识要点：

1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是

已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.

考点六、解直角三角形的应用

解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某--------------、

些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关T\

v=htl

解这类问题的一般过程是：

(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,IT

然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.

(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题

转化为解直角三角形的问题.

(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系眼睛

解有关的直角三角形.

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.视线

拓展：

在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母震表示.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离斗勺比叫做坡度，用字母i表示，则/〉=,如图,

坡度通常写成i=也:一的形式.

(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角,

如图.

(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,

PB,PC的方位角分别为是40。，135。，245°.

1=2I

[=“：

(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方

向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30。，南偏东45。，南偏西80。，北偏西60。.特别如：东

南方向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏

西45°.

知识要点：

1.解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画

出它的示意图.

2.非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.

例如：

3.解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图,

进而根据条件选择合适的方法求解.

母题呈现

【母题来源7](2019•上海中考真题)如图1,AD、BD分别是IZABC的内角E1BAC、DABC的平分线，过

点A作AE上AD,交BD的延长线于点E

(1)求证：口£=!□€：；

2

(2)如图2,如果AE=AB,且BD：DE=2：3,求cosEOABC的值:

s

(3)如果UABC是锐角，且DABC与nADE相似，求DABC的度数，并直接写出诚的值.

、ABC

s

【答案】⑴见解析；(2)cosUABC的值为2口3；⑶口人8©=30。或匚ABC=45。，厂些的值2—行或2-6

【解析】

(1)由AELJAD,得至iJ」DAE=90。，LE=90°-DADE,再由AD平分」BAC,得至lJ；」ABD=(LBAC,即

可解答

(2)延长AD交BC于点F,得出F=",再利用三角函数即可即可

AEDE

Is

(3)根据题意得出ABC=UE=-DC,继而可得ABC=30。，丁江=2-0,ABC=45。,

2S杵

诚^=2-6，即可解答

〉ABC

证明：DAE匚AD,

DAE=90°,E1E=9O。一ADE.

□AD平分DBAC,□□BAD=-DBAC,同理匚ABD=L[JBAC

22

Xn□ADE=DBAD+□ABD,匚BAC+DABC=180。一DC,

ICADE=-(DBAC+DBAC)=-(180°-QC).

22

11

□□E=90°——(180°-DC)=-OC

22

解：延长AD交BC于点F.

□AE=AB,□JABE=CE.

BE平分「ABC,DLABE=DCBE,□匚CBE=_E

AEDBC.

BFBD

ECAFB=DFAE=90°,——=——

AEDE

又LBDUDE=23

BFBFBD

□cosDABC=------=------=------

ABAEDE

匚cos1ABC的值为203.

(3)解：ABC与DADE相似，且UDAE=90。,

CCABC中必有一个内角等于90°.

□ABC是锐角,

匚匚ABC¥90°.

若匚BAC=E1DAE=9O。，

11

□LE=y□C,JLJABC=UE=yJC

s

□CABC+DC=90°,□□ABC=30°.这时^-^=2一及

'ABC

s

综上所述，□ABC=30。或□ABC=45。，于盛的值2-亚或2-6

【母题来源8]（2018•上海中考真题）己知UO的直径AB=2,弦AC与弦BD交于点E.且ODUAC,垂足

为点F

C1）如图1,如果AC=BD,求弦AC的长；

□2）如图2,如果E为弦BD的中点，求UABD的余切值；

□3）联结BCCICDtZDA,如果BC是口0的内接正n边形的一边，CD是10的内接正（n+4）边形的一边,

求匚ACD的面积.

/7_）

【答案】□iaAC=^nn2Dcot3ABD=72ACD=V^

【解析】

（1）由AC=BD知A。+。。=CD+BC，得AZ）=BC，根据。DUAC知CO，从而得

AD=CD=BC，即可知AOD=DOC=LBOC=60°,利用AF=AOsinL；AOF可得答案；

□2）连接BC,设OF=t,证OF为口ABC中位线及DDEFBEC得BC=DF=2t,由DF=lElt可得

t=g,即可知BC=DF=],继而求得EF=,AC=立，由余切函数定义可得答案；

3343

口3）先求出BCUCDUAD所对圆心角度数，从而求得BC=AD=00F=^,从而根据三角形

面积公式计算可得.

解：nianoDDAcn

□A£>=C£>UUAFO=90°U

又DAC=BD口

aAC=BD^即AO+CD=CO+6C口

aAD=BCa

□AO=CQ=BC」

□□AOD=口DOC=□BOC=60°D

□AB=2

□AO=BO=in

□AF=AOsinnAOF=1x立=①口

22

则AC=2AF=G

□2）如图1,连接BC

□AB为直径，ODAC口

□□AFO=UC=90°1

□ODFIBCD

旧D=dEBC口

UDE=BEIJLDEF=BEC

□QDEFaE1BEC匚ASAD□

□BC=DFUEC=EF

又UAO=OB」

□OF是「IABC的中位线，

设OF=t,则BC=DF=2t口

□DF=DOCOF=lLlt口

□iDt=2ta

解得:t=9

贝ijDF=BC=|AC=y/AB2-BC2=F-(I)=半IJ

1IJi

□EF=-FC=-AC=—□

243

□OB=ODO

ABD-D

2

DF3/T

则cotABD=cotlD=—=-7=-=v2□

EF<2

T

□3）如图2口

图2

□BC是口。的内接正n边形的一边，CD是口0的内接正（n+4）边形的一边,

360360

□□BOC=——□□AOD=」COD=-----□

n〃+4

360360

则nl——+2x-------=180口

n几+4

解得：n=4D

□□BOC=90。□□AOD=口COD=45。口

□BC=AC=V2□

□□AFO=90°

历

□OF=AOcos□AOF=□

2

则DF=ODLlOF=in—□

2

□SACD=-AC・DF=

2

母题揭秘

考点七、解直角三角形与其他几何知识结合问题

如图所示，在RtElABC中，」C=90。，

(1)三边之间的关系：CT+〃2=C2；

(2)两锐角之间的关系：口人+口3=90。；

(3)边与角之间的关系：sinA=cosB=—,cosA=cosB=—,cosA=sinB=—,tanA=—=—!—

cccfttanB

(4)如图，若直角三角形ABC中，CDDAB于点D,设CD=h,AD

DPB

c

=q,DB=p,则

由」CBDDABC,得a2=pc；

由」CADUUBAC,得b2=qc；

由：:ACDEIEICBD,得l?=pq；

由CJACDEIIZIABC或由DABC面积，得ab=ch.

(5)如图所示，若CD是直角三角形ABC中斜边上的中线，则

1

UCD=AD=BD=—AB；

2

□点D是RtlABC的外心，外接圆半径R=-AB.

2

(6)如图所示，若r是直角三角形ABC的内切圆半径，则.=”1.£二—一.

2a+b+c

直角三角形的面积:

□如图所示，SAABC==.(h为斜边上的高)

□如图所示，=^r(a+b+c).

知识考点概括:

BDrC

解

勾

股

定

直理

与

结

合

四

边

角形

三

锐

角

三

角

形

相

似

形

结

各

-

I

角与

巧

圆

结

合

形f

直

角

角

形

「

解

三

、

选

一

单

题

2

8

h

A

C

D

上

贤

模

，

杆

高

两

拉

与

相

直