专题07 三角形综合【有答案】

专题07三角形综合一填空题（合肥168中一模）如图，OA⊥OB，若∠1=40°，则∠2的度数是(    )A.20°B.40°C.50°D.60°

【解析】：∵OA⊥OB，∠1=40°，

∴∠2=90°-∠1=90°-40°=50°．

2.（合肥市天鹅湖教育集团一模）如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1＝48°，则∠2的度数是（）A.64° B.65° C.66° D.67°【解析】∵AB∥CD，∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣48°＝132°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝132°÷2＝66°，∴∠2＝∠BEG＝66°．故选C．3.(唐山市遵化市一模)如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1=35°时，∠2的度数为(    )A.35° B.45° C.55° D.65°【解析】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=35°，

∴∠3=35°．

∵∠2+∠3=90°，

∴∠2=55°．

故选：C．4.（合肥168中一模）如图，已知l1//l2//l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰△ABCA.13 B.617 C.5【解析】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，

∵∠CAD+∠ACD=90°，

∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠CAD=∠BCE，

在等腰直角△ABC中，AC=BC，

在△ACD和△CBE中，

∠CAD=∠BCE∠ADC=∠BEC=90°AC=BC，

∴△ACD≌△CBE(AAS)，A．36° B．45° C．60° D．90°【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，故选：C．6.(唐山市遵化市一模)如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DA于点G，交DC于点H.再分别以点G、H为圆心，大于12GH的长为半径画弧，两弧在∠ADC内部交于点Q，连接DQ并延长与A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角【解析】：根据画图过程可知：

DF平分∠ADC，

∴∠ADF=∠CDF，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，

∴∠EAM=∠CAM，

∵∠EAC=∠B+∠ACB，

∴∠EAF=∠B，

∴AF//BC7.(江西省初中名校联盟一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转θ角到△DEC的位置，这时点B恰好落在边DEA.60° B.45° C.30° D.55【解析】：∵∠ABC=90°，B为DE的中点，

∴BC=BE=BD，

∵将△ABC绕点C逆时针旋转θ角到△DEC的位置，

∴CB=CE，

∴CB=8.（广东省北江实验学校一模）.如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S△DOE∶S△COB=9∶16，则DE∶BC为（

）A.2∶3

B.3∶4

C.9∶16

D.1∶2【解析】.DE∥BC，∴△DOE∽△COB，

∴S△DOES△COB=(DEBC)2故答案为：B.9.(无锡市四席联考一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点P是直线BC上一点，将△BDP沿DP所在的直线翻折后，点B落在B1处，若A.1B.54C.1或

3D.54或【解析】：如图，若点B1在BC左侧，

∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=32+42=5，

∵点D是AB的中点，

∴BD=12AB=52，

∵B1D⊥BC，∠C=90°

∴B1D/​/AC，

BDAB=BEBC=DEAC=12，

∴BE=EC=12BC=2，DE=二填空题10.（广东省北江实验学校一模）.如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=________°.【解析】如图，∵m∥n，∠1=110°，∴∠4=70°.∵∠2=100°，∴∠5=80°，∴∠3=∠4+∠5=70°+80°=150°.故答案为：150.

11.(江西省初中名校联盟一模)如图l1/​/l2/​/l3，若ABBC=32，DF=10，则DE=______．

【解析】：∵l1/​/l2/​/l3，12（芜湖市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，点D是边AC上的一点，∠ABD＝45°，CD＝1，则AD的长为．【解析】：作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，BC＝3，CD＝1，∴BD＝＝＝，在Rt△BDE中，∠ABD＝45°，∴BE＝DE＝BD＝，∵∠EAD＝∠CAB，∠AED＝∠C＝90°，∴△AED∽△ACB，∴＝设AD＝x，AE＝y，∴＝，∴y＝（x+1），在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2∴（y+）2＝（x+1）2+9，∴（x+）2＝（x+1）2+9，整理得2x2﹣11x+5＝0，解得x＝5或x＝（舍去），∴AD＝5，故答案为5．13.（宿州市一模）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴CD＝BF+DF﹣BC＝+﹣2＝﹣，故答案为：﹣．三解答题14.(江西省初中名校联盟一模)如图，△EBD和△ABC都是等腰直角三角形，△BDE的斜边BD落在△ABC的斜边BC上，直角边BE落在边AB上．

(1)当BE=1时，求BD的长．

(2)如图，将△FBD绕点B逆时针旋转，使BD恰好平分∠ABC，DE交于点F，延长ED交BC于点M．

①当BE=1时，求EM长．

②【解析】(1)∵△EBD是等腰直角三角形，

∴∠BED=90°，

∵DE=BE=1，

∴BD=BE2+DE2=12+12=2．

(2)①∵△BDE，△ABC都是等腰直角三角形，

∴∠EBD=∠EDB=∠ABC=∠C=45°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBM=∠DBF=∠EBF=22.5°，

∵∠EBD=∠EDB=45°15.（合肥市天鹅湖教育集团一模）如图，在中，AB<AC，点D、F分别为BC、AC的中点，E点在边AC上，连接DE，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为点H，且与四边形ABDE的周长相等，设AC=b，AB=c．（1）求线段CE的长度；（2）求证：DF=EF；（3）若，求的值．【解析】（1）∵与四边形ABDE的周长相等，点D为BC的中点，∴AE+AB=CE，∵AE+AB+CE=AB+AC=b+c，∴CE==；（2）∵点D、F分别为BC、AC的中点，∵DF是△CAB的中位线，∴DF=AB=c，AF=CF=AC=b，∵CE=，∴EF=CE-CF=−b=c，∴DF=EF；（3）连接BE、DG，设BG，DF交于点M，∵S△BDH=S△EGH，∴S△BDG=S△DEG，∴BE∥DG，∴∠EBC=∠GDC，∵DF是△CAB的中位线，∴DF∥AB，∴∠ABC=∠FDC，∠A=∠DFC，∴∠ABC-∠EBC=∠FDC-∠GDC，即：∠ABE=∠FDG，∴△ABE∽△FDG，∴，∵AE=AC-CE=b-=(b−c)∴FG=AE=×(b−c)=(b−c)，∵DF=EF，∴∠FED=∠FDE，∵BG⊥DE，∴∠FED+∠EGH=∠FDE+∠DMH=90°，∴∠EGH=∠DMH，又∵∠DMH=∠FMG，∴∠EGH=∠FMG，又∵∠FMG=∠ABG，∴∠EGH=∠ABG，∴AB=AG=c，∴CG=b−c，∴CF=b=FG+CG=(b−c)+(b−c)，∴3b=5c，∴=．16.（合肥168中一模）(1)如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．

①线段DB和DG的数量关系是______；

②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．

(2)当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．

①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1，AB=2【解析】(1)①DB=DG；

②BF+BE=2BD，理由如下：

由①知：∠FDG=∠EDB，∠G=∠DBE=45°，BD=DG，

∴△FDG≌△EDB(ASA)，

∴BE=FG，

∴BF+FG=BF+BE=BC+CG，

Rt△DCG中，∵∠G=∠CDG=45°，

∴CD=CG=CB，

∵DG=BD=2BC，

即BF+BE=2BC=2BD；

(2)①如图2，BF+BE=3BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB=∠CDB=12∠ADC=12×60°=30°，

由旋转120°得∠EDF=∠BDG=120°，∠EDB=∠FDG，

在△DBG中，∠G=180°-120°-30°=30°，

∴∠DBG=∠G=30°，

∴DB=DG，

∴△EDB≌△FDG(ASA)，

∴BE17.（淮北市名校联考一模）(1)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AP、BP分别平分∠CAB、∠CBA，过点P作DE//AB交AC于点D，交BC于点E．

①求证：点P是线段DE的中点；

②求证：BP2=BE⋅BA．

(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，BP平分∠【解析】(1)①证明：∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP=∠CBP，

∵DE//AB，

∴∠ABP=∠EPB，

∴∠CBP=∠EPB，

∴BE=PE，

同理可证：DP=DA，

∵DE//AB，

∴CECB=CDCA，

∵CA=CB，

∴CE=CD，

∴BE=AD，

∴PE=PD，

∴点P是DE的中点．

②证明：由①得∠ABP=∠EBP=∠EPB=12∠CBA，

∵AP平分∠CAB，

∴∠PAB=12∠CAB，

∵CA=CB，

∴∠CBA=∠CAB，

∴∠ABP=∠EBP=∠EPB=∠PAB，

∴△ABP∽△PBE，

∴BPBA=BEBP，

∴BP2=BA⋅BE．

(2)过点P作FG//AC交18.（南通市崇川区启秀中学一模）(1)如图1，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE//BC，DE=12BC．

(2)利用第(1)题的结论，解决下列问题：

①如图2，在四边形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点，

求证：EF//BC，FE=12(AD+BC)

②如图3，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3【解析】(1)证明：如图1中，延长DE到点F，使得EF=DE，连接CF，

在△ADE和△CFE中，

AE=CE∠AED=∠CEFDE=EF，

∴△ADE≌△CFE(SAS)，

∴∠A=∠ECF，AD=CF，

∴CF//AB，

又∵AD=BD，

∴CF=BD，

∴四边形BCFD是平行四边形，

∴DF=BC，

∵EF=DE，

∴DE=12DF=12BC．

(2)①证明：如图2中，连接AF并延长，交BC延长线于点M．

∵AD//BC，

∴∠D=∠FCM，

∵F是CD中点，

∴DF=CF，

在△ADF和△MCF中，

∠D=∠FCMDF=CF∠AFD=∠19.(江西省初中名校联盟一模)(1)方法导引：

问题：

如图1，等边三角形ABC的边长为6，点O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，∠FOG=120°，绕点O任意旋转∠FOG，分别交△ABC的两边于D，E两点求四边形ODBE的面积．

讨论：

①小明：在∠FOG旋转过程中，当OF经过点B时，OG一定经过点C．

②小颖：小明的分析有道理，这样，我们就可以利用“ASA”证出△ODB≌△OEC．

③小飞：因为△ODB≌△OEC，所以只要算出△OBC的面积就得出了四边形ODBE的面积．

老师：同学们的思路很清晰，也很正确，在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般问题请你按照讨论的思路，直接写出四边形ODBE的面积：______．

(2)应用方法：

①特例：如图2，∠FOG的顶点O在等边三角形ABC的边BC上，OB=2，OC=4，边OG⊥AC于点E，OF⊥AB于点D，求△BOD面积．

②探究：如图3，已知∠FOG=60°，顶点O在等边三角形ABC的边BC上，OB=2，OC=4，记△BOD的面积为x，△COE的面积为y，求xy的值．

③应用：如图4，已知∠【解析】：(1)方法引导：

如图1，连接OB，OC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=60°，

∵点O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，

∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，