湖北省部分学校2021-2022学年高一下学期6月联考试题(解析版)

湖北省部分学校2021-2022学年高一下学期6月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】由题意可得，则在复平面内对应的点位于第四象限．【答案】D2．下列说法中正确的是A．若一个平面内有3个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 B．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 D．过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行【解析】若一个平面内有3个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，则A错误；若旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体是两个圆锥的组合体，不是圆锥，则B错误：棱柱是有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，则C错误；过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行，则D正确．【答案】D3．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是A． B． C．， D．，【解析】由题意可得集合，，，是的必要不充分条件，．，且，解得：．实数的取值范围是，．【答案】C4．已知轮船在灯塔的北偏东方向上，轮船在灯塔的南偏西方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是10千米和千米，则轮船，之间的距离是A．10千米 B．千米 C．千米 D．千米【解析】由题意可知千米，千米，，由余弦定理可得：，则千米．【答案】D5．已知，，，则A． B． C． D．【解析】，，，．【答案】A6．已知，都是锐角，且，则A． B． C． D．【解析】，都是锐角，且，，同理可得，，．【答案】B7．已知，且，则的最小值是A．6 B．8 C．14 D．16【解析】，，，则，当且仅当，即时等号成立，的最小值是6．【答案】A8．已知函数，对任意的实数，在上的值域是，则整数的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【解析】根据题意可知：，则的最小正周期．，在上的值域是，，解得．，整数的最小值是2．【答案】B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知复数，则下列命题正确的是A．若，则是纯虚数 B．若是纯虚数，则 C．若，则 D．若，则【解析】对于A，若，，则是纯虚数，故A错误，对于B，若是纯虚数，则，，故B正确，对于C，，，，故C正确，对于D，若，则，即，故D正确．【答案】BCD10．在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，，则角的可能取值是A． B． C． D．【解析】在中，由于，，，利用正弦定理：，解得；由于；所以或．【答案】CD11．在正三棱锥中，，，分别是棱，的中点，是棱上的任意一点，则下列结论正确的是A． B．异面直线和所成角的余弦值是 C．的最小值是 D．三棱锥内切球的半径是【解析】对于选项A，因为，，且为的中点，所以，，又，、平面，所以平面，因为平面，所以，即选项A正确；对于选项B，取的中点，连接，，则，，，，由，知即为异面直线和所成角，由选项A知，，同理可得，所以，所以，即，所以，故异面直线和所成角的余弦值是，即选项B正确；对于选项C，将面和面平铺展开，形成四边形，如图所示，连接，交于点，此时是最小值，连接，则，所以，在中，由余弦定理知，，即，故的最小值是，即选项C错误；对于选项D，设内切球的球心为，点在面上的投影为点，球与面相切于点，则在上，且，在中，，，因为为的重心，所以，，所以，由，知，所以，解得，即选项D错误．【答案】AB12．对任意两个非零向量，，定义新运算：．已知非零向量，满足，且向量，的夹角，若和都是整数，则的值可能是A．2 B． C．3 D．4【解析】由题意可得．因为，所以，因为，所以，所以，即，解得，因为，所以，所以，则，故，因为，所以．因为，所以，所以，所以，所以，则，即．【答案】BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．已知角的终边经过点，且，则．【解析】角的终边经过点，且，则．【答案】14．写出一个值域为，的偶函数．【解析】根据题意，要求函数是偶函数且其值域为，，可以考虑二次函数，开口向下且最大值为4；则．【答案】（答案不唯一）15．“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中，，，分别是，，，的中点，若，则．【解析】根据题意可得，，，，又，，，．【答案】16．如图，在长方体中，四边形是边长为4的正方形，，为棱的中点，为棱（包括端点）上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值是．【解析】如图，取的中点，过作平面的垂线，与平面交于点，过作的垂线，垂足为，则三棱锥外接球的球心在上，设，，则，设球的半径为，则，即，所以．因为，所以，则．故三棱锥外接球的表面积．【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知，，且向量，的夹角是．（1）若，求的值；（2）求的值．解：（1）因为，，且向量，的夹角是，所以．因为，所以，所以，即，解得．（2）因为，所以．18．（12分）如图，在三棱锥中，平面，是直角三角形，，．，分别是棱，的中点．（1）证明：平面平面．（2）求三棱锥的体积．（1）证明：因为是直角三角形，且，所以．因为平面，且平面，所以．因为平面，平面，且，所以平面．因为，分别是棱，的中点，所以，，因为平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）解：因为，所以．因为平面，且，所以三棱锥的体积．连接，因为是棱的中点，所以三棱锥的体积．因为是棱的中点，所以三棱锥的体积．因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，所以的体积为．19．（12分）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．已知角是第一象限角，且_____．（1）求的值；（2）求的值．解：若选①，（1），角是第一象限角，，；（2）原式．若选②，（1），则，角是第一象限角，；（2）原式．20．（12分）如图，从地到地有两条路线，第一条经过地，第二条经过地，且地与地相距10千米．小华和小明从地同时出发，前往地游玩．小华选择第一条路线前往地，小明选择第二条路线前往地．已知，．（1）若小华以速度（单位：千米小时）匀速前往，且50分钟之内（包含50分钟）到达地，求的最小值；（2）若小华以20千米小时的速度匀速前往地，小明以60千米小时的速度匀速前往地，由于堵车，小明在路上停留了15分钟，试问小华和小明谁先到达地？解：（1）因为，所以千米，，在中，由正弦定理可得，则千米，由题意可得，则，即的最小值为千米小时．（2）在中，由余弦定理可得，则千米，因为，，所以，在中，由正弦定理得，则千米，故小明所用的时间分钟，小华所用的时间分钟，因为，且，所以，即小明先到达地．21．（12分）如图，在直四棱柱中，四边形是平行四边形，是的中点，点是线段上，且．（1）证明：直线平面．（2）若，，，求点到平面的距离．（1）证明：连接，记，连接．取线段的中点，连接，．因为四边形是平行四边形，所以是的中点．因为是的中点，且，所以是的中点，因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，分别是，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为平面，平面，且，所以平面平面．因为平面，所以平面．（2）解：由（1）可知平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离．因为，，，所以的面积为．作，垂足为，连接，则平面．因为，所以，，则．因为，，，所以．因为，，，所以，则．在中，由余弦定理可得，则．故的面积为．设点到平面的距离为，因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，所以，解得，即点到平面的距离为．22．（12分）在锐角中，内角，，所对的边分别是，，．已知．（1）证明：；（2）求函数（）的值域．（1）证明：因为，所以，所以，所以，即，即，因为是锐角三角形，所以，，所以，所以，即．（2）解：因为是锐角三角形，所以，，，所以，所以，从而，所以，设，则，，设函数，则其图象的对称轴方程为