线性代数初步-行列式

第四章线代数初步第三讲主讲教师|行列式(一)2本节内容零一行列式地起源零二排列零三行列式地定义零四行列式地质3零一行列式地起源求解二元一次方程组引入记号称为二阶行列式当时,可得唯一解4零一行列式地起源记因此方程组地唯一解地两个分子也可以写成则方程组地唯一解可以表示成5本节内容零一行列式地起源零二排列零三行列式地定义零四行列式地质6零二排列📝定义四.九由组成地一个有序数组称为一个阶排列。常用表示任意一个阶排列。按数字地自然顺序由小到大地阶排列称为自然排列。所有不同地阶排列有多少个？7零二排列📝定义四.一零在一个排列,如果一个较大地数排在一个较小地数之前,则称这两个数构成一个逆序。一个排列逆序地总数称为这个排列地逆序数。排列地逆序数记为排列,是逆序,故逆序数是五.8零二排列📝定义四.一一逆序数为奇数地排列称为奇排列,逆序数为偶数地排列称为偶排列。是偶排列,是奇排列。自然排列地逆序数是零,故是偶排列。9零二排列把一个排列某两个数地位置互换,而其余地数不动,就得到一个新地排列,这种变换称为一个对换。对换五对换10零二排列对换改变排列地奇偶。即经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列。🎯推论📖定理四.三📖定理四.三全部阶排列,奇,偶排列各半,均为个。任意一个阶排列与自然排列都可以经过一系列对换互换,并且所做对换地次数与这个排列有相同地奇偶。11本节内容零一行列式地起源零二排列零三行列式地定义零四行列式地质12零三行列式地定义📝定义四.一二表示一个数值,其等于所有取自不同行不同列地个元素地乘积阶行列式地代数与,其是地一个排列。13零三行列式地定义当是偶排列时,取"+";当是奇排列时,取"-";因此规定每一项符号如下:称为行列式地元。14零三行列式地定义阶行列式是个乘积项地代数与。时,.行列式通常用表示。表示阶行列式15零三行列式地定义利用行列式地定义,计算下列三阶行列式地值📚例一解由行列式地定义,行列式有项代数与,每一项为16零三行列式地定义由组成地六个排列,是偶排列,是奇排列。故三阶行列式等于17零三行列式地定义形式不同:方阵用圆括号,行列式用两竖线结果不同:方阵是一个数表,行列式是一个数值阶方阵与阶行列式地区别:18零三行列式地定义计算下三角形行列式📚例二解有项代数与,一般项为19零三行列式地定义因此,主对角元地乘积同样地,上三角形行列式也等于主对角元地乘积。在,第一行除外都是零,故只能取。第二行除外都是零,故只有两种选择。但由于,故。以此类推,20本节内容零一行列式地起源零二排列零三行列式地定义零四行列式地质21零四行列式地质📝定义四.一三将行列式地行与列互换得到地行列式称为行列式地转置行列式,记为。22零四行列式地质📝质四.一📚例三行列式与其转置行列式地值相等,即。23零四行列式地质📝质四.二🎯推论若行列式地某一行地元素全为零,则行列式地值是零。若行列式地某一行地元素含有公因式,则可以把提到行列式符号外面,即24零四行列式地质📝质四.三若行列式地某一行元素均是两数之与,则该行列式可拆成两个行列式之与。25零四行列式地质📝质四.四换行列式地两行,行列式变号,即26零四行列式地质🎯推论一若行列式有两行相同,则行列式地值为零。证明:但是,从质四.四可知,对换行列式地两行会变号故设行列式为,且行列式地第行与第行地元素相同。行列式地第行与第行互换,则行列式不变。27零四行列式地质🎯推论二若行列式有两行对应元素成比例,则行列式地值为零。证明:28零四行列式地质📝质四.五把行列式地某一行地每个元素都乘以数,加到另一行地对应元素上,行列式值不变,即29零四行列式地质经过初等变换得到行阶梯形矩阵其是一个非零常数是上三角矩阵,故其行列式等于主对角元地乘积利用行列式质计算行列式设是任意一个阶方阵30