第六章 曲线和曲面

第六章曲面立体第一节曲线与曲面第二节曲面立体的投影第三节平面切割曲面体第四节直线和曲面立体相交第五节平面体与曲面体相交第六节两曲面体相交第一节曲线与曲面

一、基本概念

由曲面包围或者由曲面和平面包围而成的立体称为曲面立体。圆柱、圆锥、球和环是工程上常见的曲面立体。（一）曲线

曲线

曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。

平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）。空间曲线：曲线上各点不在同一个平面内（如圆柱螺旋线等）。（二）曲面

曲面

曲面可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运动而形成。

直线曲面：由直线运动而形成的曲面。

曲线曲面：由曲线运动而形成的曲面回转体是由一母线（直线或曲线）绕一固定轴线作回转运动形成的，因此圆柱体、圆锥体、球体和环体都是回转体。

圆柱曲面是一条直线围绕一条轴线始终保持平行和等距旋转而成。母线圆锥面是一条直线与轴线交于一点始终保持一定夹角旋转而成的。

母线球面是由一个圆或圆弧线以直径为轴旋转而成。（三）素线与轮廓线

（四）纬圆

由回转体的形成可知，母线上任意一点的运动轨迹为圆，该圆垂直轴线，此圆既为纬圆。

形成曲面的母线，它们在曲面上的任何位置称为素线。我们把确定曲面范围的外形线称为轮廓线（或转向轮廓线），轮廓线也是可见与不可见的分界线。当回转体的旋转轴在投影体系中摆放的位置合理时，轮廓线与素线重合，这种素线称为轮廓素线。

在三面投影体系中，常用的四条轮廓素线分别为：形体最前边素线、最后边素线、最左边素线和最右边素线。第二节曲面立体的投影

（一）圆柱体的投影

（1）形体分析圆柱体是由圆柱面和两个圆形的底面所围成的。

（2）安放位置我们只研究圆柱轴线垂直于某一投影面，底面、顶面为投影面平行面的情况。（3）投影分析

（4）作图步骤1）用点划线画出圆柱体各投影的轴线、中心线；2）有直径画水平投影圆；4）由“高平齐、宽相等”作侧面投影矩形。

3）由“长对正”和高度作正面投影矩形；

注意：非轮廓线的素线投影不必画出。

（二）圆锥体的投影

（1）形体分析圆锥体是由圆锥面和底平面所围成的。

（2）安放位置当圆锥体在投影面体系中的位置一经确定后，它对各投影面的投影轮廓也随之确定。如右图所示，圆锥轴线垂直于H面，底平面为水平面。（3）投影分析

H面投影

V面投影W面投影（4）作图步骤

⑴用点划线画出圆锥体三面投影的轴线、中心线；

⑵画出底面圆的三面投影。底面为水平面，水平投影为反映实形的圆，其它两投影积聚为直线段，长度等于底圆直径；⑶依据圆锥的高度画出锥顶点S的三面正投影。

⑷画轮廓线的三面正投影，即连接等腰三角形的腰。当素线的投影不是轮廓线时，均不画出。（三）圆球体的投影

1、投影分析

圆球体的三面投影都是大小相等的圆，是球体在三个不同方向的轮廓线的投影，其直径与球径相等。2、作图步骤⑴用点划线画出圆球体各投影的中心线⑵以球的直径为直径画三个等大的圆，如右图所示。bac三、曲面立体上点和直线的投影

（一）圆柱面上的点和线

1．圆柱面上点的投影

如右图所示，若已知圆柱面上两点A和B和正面投影a'和b'，求出它们的水平投影a、b和侧面投影a"、b"。分析：根据已知条件a'可见，b'不可见，可知A点在前半个圆柱面上；B点在后半个圆柱面上。利用圆柱的水平投影有积聚性，可直接找到a和b，然后根据已知二投影求出a″和b″。由于A点在左半圆柱面上，所以a″为可见；而B点在右半圆柱面上，所以b″为不可见。2．圆柱面上线的投影

【例4-5】如下图所示，已知圆柱面上的AB线段的正面投影a′b′，求其另两面投影。解：（1）分析

（2）作图

（二）圆锥面上的点和线

1．圆锥面上点的投影

圆锥体的投影没有积聚性，在其表面上取点的方法有两种：

方法一：素线法。【例4-6】如下图所示，已知圆锥面上一点A的正面投影a′，求a、a″。

解：（1）分析

（2）作图

方法二：纬圆法。

【例4-7】如下图所示，已知圆锥表面上一点A的投影a′，求a、a″。解：（1）分析

（2）作图

2．圆锥表面上线的投影

【例4-8】如下图所示，已知圆锥表面上的线段AB的正面投影，求其另两面投影。

作圆锥面上线段的投影的方法：是求出线段上的端点、轮廓线上的点、分界点等特殊位置的点及适当数量的一般点，并依次连接各点的同面投影。

解：（1）分析

（2）作图

（三）圆球体上的点和线

1．圆球体上的点

由于圆球体的特殊性，过球面上一点可以作属于球体的无数个纬圆，为作图方便，常沿投影面的平行面作相应投影面的纬圆，这样过球面上任一点可以得到H、V、W三个方向的纬圆。因此只要求出过该点的纬圆投影，即可求出该点的投影。

【例4-9】如下图所示，已知球面上的一点A的投影a′，求a及a〞。解：（1）分析

由a′得知A点在左上半球上，可以利用水平纬圆解题。（2）作图

2．圆球体上的线【例4-10】如右图所示，已知属于球体上的点A、B、C及线段EF的一个投影，求其另两个投影。解：（1）分析

（2）作图

小结：求曲面上点的投影的方法主要有素线法和纬圆法两种，在采用这两种方法时应着重弄清以下概念：（1）某一点在曲面上，则它一定在该曲面的素线或纬圆上。（2）求一点投影时，要先求出它所在的素线或纬圆的投影。（3）为了熟练地掌握在各种曲面上作素线或纬圆的投影，必须了解各种曲面的形成规律和特性。第三节立体表面交线的投影

一、立体表面的截交线

平面与锥面的交线

圆柱面与锥面的交线

曲面立体截交线（1）平面与曲面立体相交，所得的截交线一般为封闭的平面曲线。

（2）截交线上的每一点，都是截平面与曲面立体表面的共有点。

求曲面立体截交线的方法：求出足够的共有点，然后依次连接起来，即得截交线。

求共有点的方法有：素线法、纬圆法和辅助平面法。

曲面立体截交线的特征：平面与圆柱面相交，根据截平面与圆柱轴线相对位置的不同，所得的截交线有三种情况1．圆柱上的截交线圆柱面上的截交线截平面P的位置截平面垂直于圆柱轴线截平面倾斜于圆柱轴线截平面平行于圆柱轴线截交线空间形状圆椭圆两条平行直线投影图【例4-15】如右图所示，求正垂面与圆柱的截交线。

解：（1）分析

（2）作图

1）求特殊点。这些点包括轮廓线上的点、特殊素线上的点、极限点以及椭圆长短轴的端点。2）求一般点。为了作图准确，在截交线上特殊点之间选取一些一般位置点。3）连点。将所求各点的侧面投影顺次光滑连接4）判别可见性。

2．圆锥上的截交线

当平面与圆锥截交时，根据截平面与圆锥轴线相对位置的不同，可产生五种不同形状的截交线：截平面p位置截平面垂直于圆锥轴线截平面与锥面上所有素线相交截平面平行于圆锥面上一条素线截平面平行于圆锥面上两条素线截平面通过锥顶截交线空间形状圆椭圆抛物线双曲线两条素线投影图

圆锥面上的截交线【例4-16】如下图所示，已知圆锥的三面投影和正垂面P的投影，求截交线的投影及实形。

解：（1）分析

（2）作图

1）求长轴端点

2）求短轴端点

3）求最前、最后素线与P面的交点E、F

4）求一般点L、N

5）连接各点并判别可见性

6）求截面的实形

【例4-17】如下图所示，求作侧平面Q与圆锥的截交线。解：（1）分析

（2）作图

3．球上的截交线

球体上的截面不论其角度如何，所得截交线的形状都是圆。截平面距球心的距离决定截交圆的大小，经过球心的截交圆是最大的截交圆。（1）球上截交线的特征：

（2）球上截交线的投影分析4．带缺口的曲面立体的投影

【例4-18】如下图所示，给出圆柱切割体的正面投影和水平投影，补画出侧面投影。解：（1）分析

（2）作图

1）求特殊点。

2）求一般点。

【例4-19】如下图所示，求切割后圆锥的投影。

解：（1）分析

（2）作图

1）求特殊点

2）求一般点

3）连点并判别可见性

【例4-20】如下图所示，已知半球体被切割后的正面投影，画出其水平投影及侧面投影。解：（1）分析

（2）作图二、立体表面的相贯线

在建筑形体中常常会遇到由两个或两个以上的基本形体相交（或称相贯）而成的组合形体，两相交的立体称为相贯体。它们的表面交线称为相贯线（或称相交线）。1.相贯线是两形体表面的共有线。2.相贯线上的点即为两形体表面的共有点，同时也是两形体表面的分界点。立体相交可分为三种情况：（1）平面立体与平面立体相交，（2）平面立体与曲面立体相交，

（3）曲面立体与曲面立体相交。相贯线的特性:1．直线与曲面立体相交（1）利用积聚性法求贯穿点

【例4-24】如下图所示，求一般位置直线AB与圆柱的贯穿点。解：1）分析

2）作图

①求水平投影m、n。

②根据点、线的从属关系，求出m′、n′。③判别可见性。

（2）利用辅助平面法求贯穿点【例4-25】如图所示，求正垂线CD与圆锥面的贯穿点。解：1）分析

2）作图

①求正面投影k′、l′。②求水平投影k、l。

③判别可见性。

(一)平面立体与曲面立体的表面交线

平面立体与曲面立体相交时，其相贯线的特征：

1.相贯线是由若干段平面曲线或平面曲线和直线所组成。作相贯线投影图的方法：先求出转折点，再根据求曲面体上截交线的方法，求出每段曲线或直线。

2.各段平面曲线或直线，就是平面立体上各棱面截割曲面立体所得的截交线。每一段平面曲线或直线的折点，就是平面立体的棱线与曲面立体表面的交点。【例4-29】如下图所示，求四棱锥与圆柱的相贯线。

解：（1）分析（2）作图1）求连接点。

2）求特殊点。3）判别可见性并连线。

【例4-30】如下图所示，给出圆锥薄壳基础的主要轮廓线，求作相贯线。解：（1）分析（2）作图1）求特殊点。

3）连点。4）判断可见性。2）同样用素线法求出两对称的一般点E、F的正面投影e′、f′及侧面投影e″、f″；(二)两曲面立体表面的交线

两曲面体表面相贯线的特征：一般是封闭的空间曲线，特殊情况下可能为平面曲线或直线。两曲面体表面相贯线的性质：组成相贯线的所有相贯点，均为两曲面体表面的共有点。求相贯线的原理：先求出一系列的共有点，然后依次连接各点，即得相贯线。求相贯线的方法：

1.积聚投影法——相交两曲面体，如果有一个表面投影具有积聚性时，就可利用该曲面体投影的积聚性作出两曲面的一系列共有点，然后依次连成相贯线。2.辅助平面法——根据三面共点原理，作辅助平面与两曲面相交，求出两辅助截交线的交点，即为相贯点。

求共有点时，应先求特殊点，再求一般点。相贯线上的特殊点包括：可见性分界点，曲面投影轮廓线上的点，极限位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。选择辅助平面的原则是：