河海大学,材料力学,课件,第2章,拉压

第二章轴向拉伸和压缩FFFF外力特点：外力合力的作用线与杆轴线重合变形特点：杆件沿轴向伸长或缩短，沿横向缩小或增大。§2-1概述一、轴力的计算FFmmFFN------轴力由平衡条件，FN=F规定：FN以拉为正，以压为负。FN:F——轴力图FFmm二、轴力图轴力图的特点：1、若两截面间无荷载，则该段轴力图为与杆轴线平行的直线。2、若两截面间有均布荷载，则该段轴力图为斜直线。3、轴力图在集中荷载作用处有突变，突变值即为集中力的值。§2-2拉压杆件横截面上的正应力一、截面上的正应力公式FFmmFFN

纵线横线FF(a)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面。ε=C1、几何关系2、物理关系ε=Cσ=C在线弹性范围内，变形与力成正比3、静力学σ=FN/A-----拉压杆横截面上的正应力公式轴力横截面面积讨论：1、正应力大小与截面形状无关。2、正应力的符号与轴力一致。3、适用于等直杆。二、Saint-Venant原理杆端外力作用方式不同，应力的分布仅在杆端附近的局部范围内有影响，远处的影响可忽略不计。例2-1

图示一小吊车架，受小车重力F=18.4kN作用。拉杆AB的横截面为圆形，直径d=15mm

。试求当吊车在图示位置时，AB杆横截面上的应力。ABC解：1、求AB杆的轴力2、求应力例2-2：变截面钢杆如图。已知F1=20kN，F2=30kN，F3=45kN，l1=l3=300mm，l2=400mm，d1=15mm，d2=30mm，求：1、杆的轴力图；2、杆内的最大正应力。解：1、用截面法求各段的轴力，然后画出轴力图。＋＋-352010l3l2l1d1d2F1F2F3ABCDFN(kN)2、求σmaxCD：AB:＋＋-352010故杆内的最大正应力发生在AB段，σmax=113.2MPa。l3l2l1d1d2F1F2F3ABCD

§2-3应力集中的概念在截面突变处的局部范围内，应力数值急剧增大，这种现象称为应力集中

Fσ0FFσmax应力集中因数式中：σ0为平均应力。A0为1-1截面处的净面积FFll’aaa’a’§2-4拉压杆的变形一、轴向变形胡克定律△l=l

’-l

Fl/A△l=FNl/EA胡克定律弹性模量（杨氏模量）N/m2,Pa,MPa抗拉（压）刚度△l/

l=FN/EA胡克定律另一形式单向应力状态的胡克定律ε=

σ/E

或σ=Eε适用于E、A、FN为常数的一段杆内当E、A、FN之一分段为常数时，变形应分段计算二、横向变形（应变）、泊松比a=a’-a

ε’=

△a/aε’=-νεν----泊松比。一般0<ν<0.5。表2-1常用材料的E、ν值例2-3：变截面钢杆如图。已知F1=20kN，F2=30kN，F3=45kN，l1=l3=300mm，l2=400mm，d1=15mm，d2=30mm，若已知E=210GPa。求：1.杆AD的总变形△lAD;2.B截面的轴向位移；3.最大线应变εmax。l3l2l1d1d2F1F2F3ABCD＋＋-352010FN(kN)解:1、求杆的总变形：

2、求B截面的位移ΔBΔB=Δl2+Δl3=0.044mm3、求εmax因杆内的最大正应力发生在AB段，σmax=113.2MPa。解:1、求σmax∵q=ρ·g·A·1=ρgA

例2-4.试求等截面直杆由自重引起的最大正应力和轴向总变形。A、ρ（密度）、E、l为已知。lxq(a)FN(x)(b)-ρgAl(d)—-ρgl(c)—σ(x)=FN(x)/A=-ρgx,σmax=│FNmax

│/A=ρgl取截面1-1上侧

FN(x)=-ρgAxFN(x)FN(x)+dFN(x)dx(c)2、求Δl例2-5

图示三角架，AB和AC杆均为钢杆，弹性模量E=200GPa，A1=100mm2，l1=1m,A2=400mm2

，F=40kN。试求A点的位移。解：1、由ΣFx=0，FN2=－F/sin450=－56.6kN

2、ΣFy=0，FN1=－FN2cos450=40kN

§2-5材料在拉伸与压缩时的力学性质一、材料在拉伸时的力学性质ABldl——标距，d——试件的直径(圆）；A

——截面积（矩形）

。标准试件：哑铃形圆截面试件矩形截面试件l=10dl=5dl=11.3l=5.65A——截面面积。Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp△leABCDEFⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图1、低碳钢（含碳量小于0.25%)的拉伸实验（1）、拉伸过程中各阶段及特征点A、弹性阶段（Ⅰ）σp——比例极限∵ε=σ/E

σe——弹性极限∴E=σ/ε=tanα

α——直线的倾角Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp△leABCDEFⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图弹性极限σe和比例极限σp数值上很接近，工程上对它们不加区分①应力不增加，而变形却急剧增长。——屈服或流动。σs——屈服极限②与杆轴线成45°的暗条纹——滑移线。Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp△leABCDEFⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图B、屈服阶段（Ⅱ）（流动阶段）C、强化阶段（Ⅲ）

σb——强度极限。Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp△leABCDEFⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图D、破坏阶段（Ⅳ）“颈缩”Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图O△lF△lp△leABCDEFⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图（2）、材料的塑性指标延伸率（伸长率）δ=（l1-l)/l×100%截面收缩率ψ=（A-A1)/A×100%工程上δ≥5%——塑性材料

δ＜5%——脆性材料l——l1

，截面A——A1低碳钢的延伸率大约在25%左右。（3）、应变硬化现象A、强化后材料的

比例极限σp提高；B、强化后材料被拉断后的塑性变形减小了

——冷作硬化。O△lF△lp△leABCDEFⅠⅡⅢⅣ卸载重新加载拉伸图Oεσacdbσeσpσsσbσ-ε图Oεσ50015001000σ0.235CrMnSi钢45#钢Q235钢合金铝黄铜0.2%2、其它塑性材料拉伸时的力学性质①有各自的σp和σb

，断裂后有较大的塑性变形，同属于塑性材料；②没有明显的屈服阶段。以产生0.2%的塑性应变时的应力作为屈服极限

——条件屈服极限（规定非比例伸长应力）σ0.2

。Oεσσb3、铸铁的拉伸实验①σ—ε是一条微弯的曲线。近似服从胡克定律；②没有屈服阶段和“颈缩”现象;③可得到强度极限σb。④拉断后的残余变形很小(0.5%~0.6%)，故为脆性材料。二、材料在压缩时的力学性质标准试件：圆（棱）柱体：l=（1.5~3.0）d1、低碳钢的压缩实验E、σp、σs均与拉伸时取相同的值。得不到强度极限。Oεσ压缩拉伸Fσpσsσb拉伸εOσ压缩2、铸铁的压缩实验①σ—ε无线性关系。近似服从虎克定律。②没有屈服阶段，σs不存在。④

有强度极限σb，比拉伸的σb大4~5倍。⑤

破坏时，断口与轴线成50°~55°。发生剪断。③和拉伸相比，延伸率大得多。3、混凝土的压缩实验试件：150mm×150mm×150mm立方体养护条件：在温度为20±3℃，相对湿度大于90%的环境中养护28天OεσσbAC有摩擦时，OA段荷载较小时，σ∝ε。增大荷载，σ—ε为一曲线，可得到σb。AC

段：变形增大，仍能承受压力——软化。4、木材的压缩实验①顺纹方向和横纹方向的应力～应变曲线不同②两个方向的强度极限相关很多③木材为各向异性材料P25表2-2三、塑性材料和脆性材料的比较1、强度方面：塑性材料拉伸强度

比脆性材料大；脆性材料压缩强度比拉伸强度要大。2、对应力集中的反映不同：应力集中时对塑性材料影响不大，对脆性材料影响较大。3、抵抗冲击的能力不同：塑性材料变形大，吸收的能量多，抗冲击能力好。脆性材料变形小，吸收的能量少，抗冲击能力差。§2-7几种新材料的力学性质简介一、复合材料：是由两种或两种以上不相容的材料通过一定的方式组合成的新材料，如玻璃钢、纤维混凝土、石绵瓦等①材料性质为各向异性②应力应变基本上是线弹性关系③弹性模量不仅与组成材料的弹性模量有关，而且与组成材料的体积比有关④复合材料的弹性模量可由并联模型得到：E=EfVf+Em（1-Vf）二、粘弹性材料：象橡胶、塑料、化纤、粘接剂等一类的高分子材料，它们的应力应变关系与时间有关，称为粘弹性材料。①材料性质为各向异性②应力应变基本上是线弹性关系③弹性模量不仅与组成材料的弹性模量有关，而且与组成材料的体积比有关④复合材料的弹性模量可由并联模型得到：E=EfVf+Em（1-Vf）线性粘弹性材料：σ=εf（t）非线性粘弹性材料：σ=f（ε，t）§2-7拉伸和压缩杆件的强度计算一、容许应力和安全因数脆性材料——材料发生断裂即为破坏。塑性材料——材料发生屈服即认为不能再用（破坏)。极限应力——材料破坏时的应力σu

。σu=σs(或σ0.2)（塑性材料）σb（脆性材料）[σ

]=σu/nn——安全因数（＞1）[σ]---容许应力塑性材料：[σ]=σs/nn=1.5~2.0脆性材料：[σ]=σb/nn=2.0~5.0表2-3常用材料的容许应力值(P29)1、强度校核：2、设计截面：3、求容许荷载：二、强度条件和强度计算

危险点：产生最大正应力的点，即位于危险截面的任一点处。强度条件：使危险点处的应力满足一定的条件。等截面拉压直杆的强度条件:例2-6：如图所示的结构由两根杆组成。AC杆的截面面积为450mm2，BC杆的截面面积为250mm2。设两杆材料相同，容许拉应力均为〔σ〕=100MPa，试求容许荷载〔F〕。解:

①

确定各杆的轴力和F的关系。∑Fx=0，FNBCsin45°-FNACsin30°=0∑Fy=0，FNBCcos45°+FNACcos30°-F=0C45°30°FABFNBCFNAC由C点的平衡条件联立求解得：FNAC=0.732F，FNBC=0.517F

②求容许荷载由强度条件FNAC=0.732F≤AAC〔σ〕=450×10-6m2×100×106Pa故F≤61.48kNFNBC=0.517F≤ABC〔σ〕=250×10-6m2×100×106Pa故F≤48.36kN在所得的两个

F值中，应取最小者。故结构的容许荷载为〔F〕=48.36KN例2-7:一墙体的剖面如图所示。已知墙体材料的容许压应力〔σc〕墙=1.2MPa，容重γ=16kN/m3；地基的容许压应力〔σc〕地=0.5MPa。试求墙上段每米长度上的容许荷载q及下段墙的厚度。0.38mq2m2m解:取1m长的墙体进行计算。σmax=Fnmax/A1=(q+γA1l1)/A1

≤〔σ〕墙对于上段墙：得容许荷载为又由〔σ〕墙>〔σ〕地，所以下段墙的横截面宽度必须增大。q≤A1(〔σ〕墙-γl1)=0.38m×1m×(1.2×106Pa-16×103N/m3×2m=443.8kN/mσmax=(q+γA1l1+γA2l2)/A2≤〔σ〕地由(q+γA1l1)/A1≤〔σ〕墙代入已知数据后,得到最小面积为A2≥(q+γA1l1)

/(〔σ〕地-γl2)==0.97m2443.8×103N+16×103N/m3×0.38m×1m×2m0.5×106Pa-16×103N/m3×2m因为取1m长的墙计算,所以下段墙的宽度为0.97m

。§2-9拉伸和压缩超静定问题一、超静定问题结构的约束力和内力不能仅由静力平衡方程求出，称为超静定问题未知力个数与独立平衡方程数的差值称超静定次数求解方法：列出静力平衡方程，根据变形协调的几何关系及力与变形的物理关系建立补充方程，联立求解。例2-8：如图所示结构，各杆材料相同，弹性模量E=210GPA截面积为100mm2，L=1000mm，受力50kN作用，求AB、AC、AD三杆的内力。450450BCDAPL解：AB、AC、AD为二力杆，平面汇交力系，方程数2，未知约束力数3，一次超静定。静力平衡方程：-FABcos45+FADcos45=0FABsin45+FADsin45+FAC-P=0静力平衡方程：-FABcos45+FADcos45=0FABsin45+FADsin45+FAD-P=0变形协调条件：ΔAB=ΔAD=ΔACcos45物理关系：FAB=EAΔAB/（L/cos45）FAD=EAΔAD/（L/cos45）FAC=EAΔAC/L450450BCDAPL引起装配应力的原因:

杆件制造误差某些情况下需要人为制造装配应力过盈配合二、装配应力例2-9：图示杆系结构，已知1、2两杆长度、截面积、弹性模量均相同，即l1=l2=l，A1=A2=A，E1=E2=E，3杆的截面积为A3，弹性模量为E3，在制造时其长度比设计短了Δe。求各杆的轴力。132αα解：几何关系物理关系几何关系物理关系平衡方程求解方程平衡方程求解方程温度变化在静定结构中不会产生应力，但在超静定结构中会产生应力三、温度应力例：图示两端固定的杆，截面积为A，弹性模量为E，线膨胀系数为α，求当温度升高Δt时杆内的温度应力。lΔtΔtΔltΔlF几何关系物理关系解：lΔtΔtΔltΔlF几何关系物理关系求得取α=1.2×10-5E=210GPaΔt=40℃则有σ=100MPa这就是桥梁、铁轨等要留伸缩缝的原因联接件§2－9

拉压联接件的强度计算杆件安全

→→杆件整体安全

联接件本身安全联接件产生剪切变形

联接件不是细长杆，其横截面或被联接杆件在联接处的应力分布很复杂，而且很大程度上还受到加工工艺的影响，要精确分析应力比较困难，也不实用。工程中大多采用“实用计算方法”：

①对联接件的受力和应力分布进行简化，计算名义应力；

②对同类联接件进行破坏实验，并采用同样的计算方法，由破坏荷载确定材料的极限应力。在力的作用下，铆钉上、下部分将沿

m－m

截面发生相对错动。mmFF剪切变形m－m

截面——剪切面铆钉一、简单铆接强度计算（一）单剪（搭接）可能的破坏形式：铆钉沿剪切面剪断→→剪切破坏铆钉和板发生显著的塑性变形→→挤压破坏板被拉断→→拉断破坏一个剪切面1．剪切强度计算内力：剪力

FQ

=

F

剪切面面积：AQ假设：剪切面上的切应力

均匀分布名义切应力mmFFQ剪切强度条件：剪切破坏实验

→→极限荷载Fu极限应力容许应力2．挤压强度计算内力：挤压力Fbs

=

F假设：等效挤压面上的