函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数2021/5/91目标引领：1、利用上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值.2、感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习体会极值是函数的局部性质，增强数形结合的思维意识。

2021/5/92aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某个区间内恒有,则为常数.复习回顾：1.函数的单调性与导数的关系：一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在这个区间内f/（x）>0,那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f/（x）<0,那么函数y=f(x)为这个区间内的减函数.2021/5/932.求函数单调性的一般步骤①求函数的定义域;②求函数的导数

f/（x）

;③解不等式

f/（x）>0得f(x)的单调递增区间;

解不等式f/（x）<0得f(x)的单调递减区间.2021/5/943、已知函数f(x)=2x3-6x2+7，求f(x)的单调区间,并画出其图象;复习回顾：观察画出的图象，回答下面问题：问题1：在点x=0附近的图象有什么特点？问题2：函数在x=0处的函数值和附近函数值之间有什么关系？问题3：在点x=0附近的导数符号有何变化规律？问题4：函数在x=0处的导数是多少？2021/5/95x=0x<0x>0单调递增f’(x)>0单调递减f’(x)<0f’(0)＝0

x

f’(x)+0-f(x)极大值点f(0)极大值单调递增单调递减分析讨论：函数在x=0附近的变化规律：

你能尝试给出极大值的定义吗？f(x)2021/5/96【函数极大值的定义】

设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义若x0满足1.f/(x)=0.2.在x0的两侧的导数异号,满足“左正右负”,oax0bxy2021/5/97你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？x>2x<2x=2x>2x<2x=2

f’(x)+0-f(x)单调递增f(2)单调递减极小值点极小值

你能尝试给出极大值的定义吗？2021/5/98【函数极小值的定义】

设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义若x0满足1.f/(x)=0.2.在x0的两侧的导数异号,满足“左负右正”,oaX0bxy极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.2021/5/99思考3、观察图1.3.10，回答以下问题：问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？问题2：极大值一定大于极小值吗？问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？问题4：区间的端点能成为极值点吗？问题5：极值是相对于函数的定义域而言的吗？2021/5/910(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。2021/5/911例1.（1）下图是函数的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？（2）如果把函数图象改为导函数的图象，哪些是极大值点,哪些是极小值点?2021/5/912x

yOf(x)

x3f

(x)=3x2

当f

(x)=0时，x

=0，而x

=0不是该函数的极值点.f

(x0)

=0x0

是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0

是函数f(x)的极值点f

(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件思考4：导数为0的点一定是极值点吗？能举例说明吗？导数为0是可导函数在此处取极值点的什么条件？2021/5/913例、求函数的极值．

例题讲解解：当x变化时，的变化情况如下表：+0—0+极大值y2(-2,2)-2x极小值令，解得当时，y有极大值，并且当时，y有极小值，并且2021/5/914（1）求导数f/(x)；（2）解方程f/(x)=0（3）通过列表检查f/(x)在方程f/(x)=0的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值.【求函数极值的步骤】2021/5/9152021/5/916例2xX<-1-1(-1,0)（0，1）1X>1+0--0+所以，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2导函数的正负是交替出现的吗？不是极大值极小值2021/5/917求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，