2021年宁夏大学附中高考数学三模试卷（理科）附答案解析

2021年宁夏大学附中高考数学三模试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设集合4={幻％2-16>0},B={x|-2cXW6},则AnB等于（）

A.（—2,4）B.（4,6]C.（—4,6）D.（―4,—2）

2.已知复数2=?—当，则z的共丽复数的虚部为（）

Z+lZ-I

A.|B.|C.D.-|i

3.设{an}为等差数列，若需<-1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当又取得最小正值时，n的

值为（）

A.18B.19C.20D.21

4.如右图所示，己知口施密是等腰直角三角形，必然=颤汽

施=驾离"则国":蔽=(***)

A.4

B.-4

C.2

D.-盘

5.己知cos(芋一a)=：,且一；<a<6则a=()

6.某部门收集了所在城市2017年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：°C）数据,

绘制出如图折线图：经分析发现，各月的最高气温平均值和最低气温平均值有较好的线性拟合

关系.下列叙述错误的是（）

A.各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关

B.全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大

C.若在这12个月中任取2个月，则所取这个月的最高气温平均值仅有一个低于5久的概率为康

D.若在这12个月中任取1个月，则所取这个月的最高气温平均值不低于25。（：的概率为得

7.学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理

和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（）

A.5B.12C.20D.120

8.下列命题中正确的个数是（）

（1）若直线，上有无数个点不在平面任内，则，//0；

（2）若直线，与平面生平行，则，与平面在内的任意一条直线都平行；

（3）若两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；

（4）若直线，与平面生平行，则［与平面在内的任意一条直线都没有公共点。

A.0B.1C.2D.3

9.为了得到函数y=#sin%的图象，可以将函数y=sin3x+cos3x的图象

A.向右平移二个单位长B.向右平移二个单位长

C.向左平移二个单位长D.向左平移［个单位长

124

10.若直线ax+by—3=0和圆/+72+4%-1=o切于点则ab的值为（）

A.-3B.-2C.2D.3

ILH懿3中，城期副题血,扬曲端x席的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

12.已知双曲线=I（a>0,b>0）的一条渐近线方程是y=岳,它的一个焦点在抛物线

相一青

y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）

B,金一寸=［

»嚣,

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.在(l—x2)1。的展开式中，X4的系数为.

14.已知球的表面积为12兀，则该球的体积是.

15.已知数列{斯}的前n项和为无，%=1，且对任意正整数几，点(an+i，S")都在直线2x+y-2=0

上，贝！hn=.

16.函数/(x)=恒(/-ax+a)的定义域为实数集R,则实数a的取值范围是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.设ZkABC的三内角4,B,C所对的边长分别为a,b,c,且a=3,A=60°,b+c=3>/2.

(I)求三角形ABC的面积；

(II)求sinB+sinC的值及AABC中内角B,C的大小.

18.已知集合4={1,2,3,4},函数/(x)的定义域、值域都是4,且对于任意ieA,f(i)*i,设的，a2,

a

3>是1,2,3,4的任意一个排列’定义数表(/(；］)/岛/(a3)/(£))若两个数表

的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表.

(1)求满足条件的不同的数表的张数；

(2)若%=4=1,2,3,4),从所有数表中任意抽取一张，记f为表中的>f(i)的个数，求f的分布列及

期望.

19.在四棱锥P-4BCC中，平面ABC。_L平面PCD,底面4BCD为直角梯形，AB//CD,AD1DC,

且4B=1,AD=DC=DP=2,乙PDC=120°.

(1)求证：AD1平面PCD；

(2)线段BC上是否存在点F,使得PDF1平面PAC?如果存在，求案的值；如果不存在，说明理由；

(3)若M是棱PA的中点，N为线段BC上任意一点，求证：MN与PC一定不平行.

20.已知椭圆今+，=1,(a>b>0)的短轴长为2,离心率为亨，过右焦点尸的

直线2交椭圆与P，Q两点

(1)求椭圆的方程

(2)在线段OF上是否存在点使得(和+破).(而一而)=0?若存在，求出血的取值范

围，若不存在，说明理由.

21.已知/"(X)为定义在R上的奇函数，当x>0时，/(%)=4x+x-1.

(1)求/(一1)的值；

(2)求f(x)的解析式;

(3)若函数g(x)=/(%)+a在区间(1,2)上有零点，求a的取值范围.

22.两条曲线的极坐标方程分别为所=』与所=篝g®哪患为，它们相交于4B两点，求线段4B的

长.

23.设函数/'(x)=4-|x+a|-|x+2|.

(1)当a=1时，求不等式f(x)>0的解集:

(2)若f(x)Wl,求a的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：集合4={x\x2-16>0]=(x\x<-4或x>4},

B={x\—2<x<6},

则4OB={x|4<x<6]=(4,6].

故选：B.

解不等式得集合4根据交集的定义写出4cB.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

2.答案：B

解析：

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

解...z=2-i2+i=(2-i)Z______(2+一

*2+i2-i(2+i)(2-i)(2-i)(2+i)

3-4i3+4i8.

------------....1,

555

-8.

■■Z=-I,

Z的共聊复数的虚部为:

故选：B.

3.答案：C

解析：

本题为等差数列性质的应用，涉及项的最值问题，属基础题.

由题意可得等差数列{an}递增，结合题意可得a.>0>a10.进而可得a[。+an>0,由等差数列的

性质结合求和公式可得答案.

解：；Sn有最小值，••.£/>(),

又葛<一1,故可得(ho<0<的「

啜<-1,a10<0.

所以。10+>0,

S?o=10(%+。2。)=10(a10+aQ>0,

S19=19alo<0,

•••S20为最小正值，

故选c.

4.答案:B

解析：试题分析：根据题意，由于已知口鸿窗是等腰直角三角形，在露=颗/，

斯=8”.则国":薄=表示的为向量装♦‘长度乘以藏在密•'的投影的积，而结合三角形是等腰

可知|靖=£.'福在装'上的投影为负数，因为夹角为钝角，且长度为离二投影为一万，那么利

用数量积的几何意义，可知结论为-4,故选艮

考点：向量的数量积几何意义

点评：解决的关键是理解向量的数量积的几何意义能结合特殊的三角形来求解值，属于基础题。

5.答案：B

解析：解:C0S（y-a）=i,且-1<a<5,

可得一si九a=***a=-7.

26

故选：B.

利用诱导公式化简表达式，然后求解角的值即可.

本题考查诱导公式以及三角函数求值，考查计算能力.

6.答案：C

解析：

本题考主要考查对图形的处理能力，同时也考查了古典概型，解题的关键是准确弄清图中的数据.

根据选项逐条排除即可.

解：由折线图知：

在4中，各月最高气温平均值升高或降低，对应的最低气温平均值也升高或降低，

因此它们的关系为正相关，故A正确；

在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故8正确；

在C中，最高气温没有低于5汽情况，因此概率应该为0,所以错误；

在。中，最高气温平均值不低于25冤的共有5个月.

故选：C.

7.答案：B

解析：解：从物理和历史中任选1科，有废=2,

然后从其他4科中任选2科，有废=6,

共有2x6=12种，

故选：B.

利用组合公式进行求解即可.

本题主要考查排列组合的简单应用，利用组合数公式是解决本题的关键，是基础题.

8.答案：B

解析：解：(1)若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，故(1)错误；

(2)若直线，平行平面a,则]与平面a内的任一条直线有两种位置关系：平行、异面，故(2)错误；

(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条与这个平面可能平行，也有可能就在面

内，故(3)错误；

(4)用反证法易得：若直线，与平面a平行，则，与平面a内的任意一条直线都没有公共点，故(4)正确.

故选B.

9.答案:A

'y=sin3x+cos3x=&sin(3x+^),y=应sin3x=V2sin[3(%--^)+^-]

力因此由y=sin3x+cos3x的图像向右平移工个单位可得y=J^sin3x的图像，

:故本题选A.

•••直线与圆相切，

圆心到直线的距离d=嵋粤=r=V5,

Vaz+bz

化简得：a2+5b2-12a-9=0①，

把切点P的坐标代入直线方程得：-a+2b-3=0②，

联立①②，解得：a=l,b=2,

则ab的值为2.

故选：C.

把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r,根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆

的半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到己知直线的距离d,让d等于圆的半径r,化简后得到

关于a与b的方程，记作①，又直线与圆的切点为P,所以把点P的坐标代入直线中，得到关于a与b的

另一个关系式，记作②，联立①②即可求出a与b的值，进而求出ab的值.

此题要求学生掌握直线与圆相切时满足的条件即圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用点到直

线的距离公式化简求值.学生应理解切点为直线与圆的唯一的公共点，所以切点满足已知的直线方

程.

11.答案：C

解析：试题分析：在感拯翻“中，且海激，》）若砥Y廨Y点,,«：%时，由函数解=如需在•盛忌蒯马上

翦翦

是单调递增，所以可得的或蒯■海赢搬，显然成立若励司超•<:><浦・"二解时.又因为霸•总・4城，

如:朦Y坂-.麻《：学所以岫腐■“:端，版-您=鼬/!.由上可得充分性成立；同理可说明必要性也存在

.综上选C.

考点：1.三角函数的诱导公式.2.三角形中角的关系.3.正弦函数的单调性

12.答案：B

解析：试题分析：由渐近线是y=5尤得色=笔，抛物线y2=24x的准线为室=4，二F#旷=嬲

窗

■=嵬潦=需，方程为直-亡=J

螂室

考点：双曲线标准方程及性质

点评：双曲线抛物线几何性质的综合考查

13.答案:45

r2r

解析：••・G+i=（—l）C[0x,

・•.的系数为（一l）2C；o=45.

14.答案：4V3TT

解析：解：设球的半径为r,依题意：

球的表面积s=4jir2=12zr,解得丁=V3

・,・该球的体积，=^zrr3=|TTxV33=4V3/r

故答案为48兀

先利用球的表面积计算公式，求得球的半径，再利用球的体积计算公式计算球的体积即可

本题考查了球的表面积计算公式和求得体积计算公式的运用

15.答案：(》n-l

解析：解：对任意正整数九，点(a"+i，Sn)都在直线2x+y-2=0上，

：•2azi+i+Sn—2=0,

九之2时，2an+Sn_i-2=0,相减可得：2an+1-2an+an=0,化为%1+1=［即，

•••数列5｝是等比数列，公比为去

•••an=C)"T.

故答案为：©PT.

对任意正整数n,点(an+i，Sn)都在直线2x+y-2=0上，可得2an+i+Sn-2=0,再利用递推关系、

等比数列的通项公式即可得出.

本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

16.答案:(0,4)

解析：解：•••/(>)的定义域为实数集R；

二不等式--ax4-a>0的解集为R；

・•・△=a2-4a<0：

A0<a<4；

・・・实数a的取值范围是(0,4).

故答案为：(0,4).

根据/(%)的定义域为R即可得出：不等式/一。％+。>0的解集为R,从而得出4=02一4。<0,解

出a的范围即可.

考查函数定义域的定义及求法，一元二次不等式/+b%+c>0时，所满足的条件.

17.答案：解：(I)va=3,A=60°,b+c=3近，

，由余弦定理=62+c2-2bccosA=b2+c2—/?c=(b+c)2—3bc,即9=18—3bc,

:.be=3,

贝1：

ISnDL."2besinA2="2x-4=—

(II)va=3,>1=p

•••由正弦定理高=扁=肃得：就1嬴=急=备=2包

OVfI/*X"。OLr2

•・・b+c=3A/2,

.n•63在V6

：•smB+।smC==——，

2V32

•••B+C=120°,即8=120。-C,

:.sinB+sinC=sin(120°—C)+sinC=^-cosC+^sinC+sinC=^-cosC+|sinC=V3sin(C+

30°)=号即sin(C+30°)=争

C+30°=45。或135。，即C=15。或C=105°,

则8=105°,C=15°或8=15°,C=105°.

解析：(I)利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c与a,cos4的值代入求出反

的值，最后利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积；

(□)由a,sin4的值，利用正弦定理及比例的性质求出一^：的值,将b+c的值代入求出血8+sinC

SLTLD'VSITIC

的值，用C表示出B,代入+s讥C中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角

和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，即可确定

出B的度数.

此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键.

18.答案：(1)解：由题意知本题需要分步计数来解，

首先排列的,a2,a3,a4,是1,2,3,4的任意一个排列，共有*=24,种结果，

再排列aI，0.2,。3，0-4＞对应的函数值，

••1*i-

二第一个函数值有3种结果，后面几个函数值依次是3,1,1,共有3X3=9种结果，

根据分步计数原理知共有24x9=216种结果

(2)•.・根据题意得出：随机变量的f的取值为1,2,3,

总共事件为3x3xlxl=9,

当f=l,有1个事件，

当《=2,有7个事件，

当f=3,有1个事件，

.••P&=1)=2，

P(f=2)=(

P(f=3)=2，

分布列为:

123

171

P999

171

E（O=lx-+2x-+3x-=2.

解析：（1）需要分步计数，首先排列的，。2,。3,。4,是1，2,3,4的任意一个排列，共有川种结

果，再排列出,a2,a3,a4,对应的函数值，根据f①装i.得到第一个函数值有3种结果，后面几个

函数值依次是3,1,1,根据分步计数原理得到结果.

（2）根据题目得出随机变量的f的取值为1,2,3,确定总共事件为3x3x1x1=9,

运用数据特征得出当f=l,有1个事件，当f=2,有7个事件，当f=3,有1个事件，再根据概率

公式求解即可.

本题考查分步计数原理，考查函数的概念及其构成要素，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后,

每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步,综合利用两个原理解决，求解相应的事件个

数.

19.答案：解：（1）证明：由平面ABC。1平面PCD,平

面ABC。n平面PCD=CD,S.AD1DC,

可得4。1平面PCD；

（2）线段BC上假设存在点F,使得PDF■1平面P4C,设

CF=t,

以。为坐标原点，D4DC所在的直线分别为％,y轴，

过。垂直于DC的直线为z轴，建立空间直角坐标系D-

xyz,

22

由四边形"BCD为直角梯形，且48=lfCD=AD=2,可得C8=V1+2=县,且tanNDCB=2,

12_

cos乙DCB=赤,sin^DCB=可得尸(忑，2一方，0),P(0,-l,V3),D(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),

~PA=(2,1,-V3)，PC=(0.3.-V3)，PD=(0,l,-V3).而=(青2—专,0),

设平面24C的法向量为西=Oi，yi，zD，平面POF的法向量为4=（x2,y2，z2）'

由但•”二。可得伊+七一信】=。

可取为=V3,则/=(V3,V3,3),

（n7•PC=013yl—\[3z1=0

由阿•丽=0y—Z—0

2V32取y?=遮，可得而=（里展＜我,1），

可得•命2+(2一5为2=0,

由题意可得瓦・石=亚逊+3+3=0,解得t=延，

1z2t5

则BF=y/5—t=

所以存在F,且案=.

（3）证明：假设MN与PC平行，

取AC的中点H,连接MH,由MH为△P4C的中位线，可得MH〃PC,

可得过M存在两条直线MN,MH与PC平行，

这与过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，矛盾，

故MN与PC一定不平行.

解析：（1）运用面面垂直的性质定理，可得证明；

（2）线段BC上假设存在点F,使得PDF1平面P4C,设CF=t,建立空间直角坐标系，求得平面的法

向量，运用向量数量积为0,可得3即可判定存在性；

（3）运用反证法，以及中位线定理和平行公理，即可得证.

本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，主要是平行和垂直的判定和性质，考

查运算求解能力、推理能力，是中档题.

20.答案：解：（1）由椭圆短轴长为2得b=l,又6=旦=立，.•.&=&,

a2

所求椭圆方程为J+y2=1

（2）假设在线段OF上存在点M（m,0）（0WTH〈1）,使得（而+MQ）-（MP-MQ）=0成立，

可得|而『-\MQ\2=OBP|M?|=|MQ|

①当l_Lx轴时，显然线段OF上的点都满足条件，此时OWmWl

②当，与x轴重合时，显然只有原点满足条件，此时m=0

③当/的斜率存在且不为零时，设直线1的方程为y=k（x-l）（fc,0）.

由可得（1+2k2铲—4k2%+21—2=0,根据根与系数的关系得与+亚=恚，

2k2-2

*=罚

设前A=（与-mji），MQ=（%2一科、2）其中％2—打工0

（MP+MQ）-（MP-丽）=0・•.（%!+与一2m）（x2-刈）+（%+九）（丫2—%）=。

0(%1+上-2m)+k(yr+丫2)=。

=2k2—(2+4k2)m=0=>m=昌=京（"°），

1

・••综上所述：①当轴时，存在OWmMl适合题意

②当I与x轴重合时，存在m=0适合题意

③当，的斜率存在且不为零时存在o<小<:适合题意

解析：(1)根据题意可以求出b,根据离心率求出a,即可就出椭圆方程；

(2)先假设线段0尸上存在M满足条件，先考虑两种特殊情况：I1x轴、［与x轴重合，在考虑一般情况：

/的斜率存在且不为0,设出［的方程与椭圆方程联立，利用坐标来表示向量的数量积，从而得出答案.

本题考查了椭圆的性质、直线与椭圆的关系，本题中利用坐标来表示向量是突破问题的关键，同时

考查了学生分情况讨论的思想.

21.答案：解：(1)•••/(>)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=4x+x-\

/(-I)=-/(I)=-(4+1-1)=-4.

(2)当x<0,-X>0,

:./(x)——/(—x)