2021年沪教版数学必修二同步第14讲 向量单元复习（讲义）学生版

第14讲向量单元复习

知识梳理

-：向量的有关概念

1.向量：

既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模（也就是用来表示向量的有向

线段的长度）.

2.向量的表示方法：

⑴字母表示法：如及c,…等.

（2）几何表示法：用一条有向线段表示向量.如福，丽等.

（3）坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量砺的起点。为在坐标原点，终点A坐标

为（x,y）,则（x,y）称为。4的坐标，记为OA=（x,yJ

3.相等向量：

长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量）与B相

等，记为£=尻

4.零向量：

长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的.

5.单位向量：

长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.

6.共线向量：

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:

G与任一向量共线.

注：共线向量又称为平行向量.

7.相反向量：

长度相等且方向相反的向量.

二、向量的运算

1.运算定义

运算图形语言符号语言坐标语言

加法与减法B______c-->-->-->

OA+OB=OC记0A=(xi,y[)，OB=(X2,y?)

OB-OA^AB则0A+OB=(xi+x2,yi+y?)

OB-OA=(X2-XI,y2-yi)

>---->--->

OA+AB=OB

实数与向量的乘积

AB=Aa记Q=(x,y)

AeR

则Xa=(>Lx,4y)

两个向量的数量积£・石二RWcOS。,可记a=(再,％)3=(毛,%)

—>—>

则a-b=xix2+yiy2

2.运算律

加法：

Q)a+h=b+a(交换律)；②(a+B)+c=a+(B+c)(结合律)

实数与向量的乘积：

(1)A(a+h)-Aa+Ah；②+=+；③2(〃a)=(%)4

两个向量的数量积：

—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>>T

①。•b=b•。；②(4a)•b=a•(4〃)=2(a•b)；③(a+b)•c=a•c

—>—>

+b,c

3.运算性质及重要结论

(1)平面向量基本定理：如果,，鼻是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面

内任一向量有且只有一对实数4,4,使。=4q+4e2,称4弓+44为的线性

组合.

①其中谓叫做表示这一平面内所有向量的基底；

②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量不,W的方向分解为两个向量的和，并且这

种分解是唯一的.

③当基底豕,段是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向

量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，

即若A(x,y),则GX=(x,y)；当向量起点不在原点时，向量靠坐标为终点坐标减去

起点坐标，即若A(x”yi),B(X2,y2))则AB=(X2-X”y2-yi)

(2)两个向量平行的充要条件

符号语言：allboa-Xb(b0)

坐标语言为：设非零向量。=(西,)，]历=(犬2，%)，则a〃b<=>(xi,yi)=2(x2,y2),或

xiy2-x2yi=0.

(3)两个向量垂直的充要条件

—>—>—>—>

符号语言：a-b-0

坐标语言：设非零向量a=(x!，y),3=(x2，%)，则=x/2+%>2=0

(4)两个向量数量积的重要性质：

->2__>/—>2

①。即Ia]=Na(求线段的长度);

②WH=0(垂直的判断);

a-b

③COS。(求角度).

丽

要点诠释:

1.向量的线性运算

(1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形

有机结合，并能利用向量运算完成简单的儿何证明；

(2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法

的三角形法则应记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是

灵活运用的前提.

2.共线向量与三点共线问题

向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直

线上或两直线平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.

(1)用向量证明几何问题的一般思路：

先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向

量的运算来证明.

⑵向量在几何中的应用：

①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件

a//boa=入b(bw0)o(xi,y)=2(x2,

②证明垂直问题，常用垂直的充要条件

—>—>—>—>

a_L〃=4・〃=0ox]x2+必必=0

x/2+y%

92/2

④求线段的长度，可以利用|。|=-%)-+(%-y)

三、平面向量分解定理：

如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量3有且只有,一

对实数,使a=4q+402•我们把不平行的向量02叫做这一平面内所有向量的一

组基.

注意：

(1)基底不共线；

(2)将任一向量々在给出基底H的条件下进行分解；

(3)基底给定时，分解形式唯一，4,友一是被[唯一确定的数量

几何角度证明：

如图，在平面内取一点0,作砺=£,OB^b>0C^c>再作直线0A、OB.

设点C不在直线0A和0B上，过点C分别作直线0A、0B的平行线，由于向量£出不

平行，可知所作两直线分别与直线OB、0A有唯一的交点，记为N、M.作向量丽、ON.

因为两//£，所以存在唯一的实数》，使OM^xa-

因为丽/质，所以存在唯一的实数V，使丽=yB.

而四边形0MCN是平行四边形，因此0C=OM+ON-xa+

即=c=xa+yb.

如果点C在直线OA或OB上,那么"//£,或工/力.

这时得c=xa=xa+（）B或c=）石=0。+y石.所以c关于a、b的分解式总是确定的.

代数角度：证明唯一性：

（1）当々w6时，

（2）当awO时，假设a=44+44，则有=44+44,

（4—4）,c\+（4—4）•/=。•

由于C],e?不平行,故（4—4）=0,（4—%）=0，即4=4,办=4.

四、重要结论

设冰而不平行，点P在A8上＜=＞存在实数％〃使得加=4次+〃丽

且4+〃=1（4,//GR）

证明：如图，设向量丽=〃通，PB=AAB9

•：AP+而=AB=>X+〃=1

OP^OA+AP^OA+J.IAB^OA+^(OB-OA)=(]_〃)砺+〃砺

=AOA+^iOB【力,〃的正负可以给学生讲一下】

五、平面向量和三角形四心

(1)GA+G3+GC=0oG是A43C的重心.

证法设

1：G(x,y),A&,x),B(X2,y2),C(x3,y3)

(x,-x)+(x-x)+(x-x)=0

GA+GB+GC{23

(y-y)+(y2-y)+(%-y)=。

oG是MBC的重心.

M+为+X

3

证法2：如图G4+GB+GC=G4+2GD=0

AG=2GD

：.A.G、。三点共线，且G分A。为2：1

/.G是AABC的重心

(2)设a",c是三角形的三条边长，/是AABC的内心aZA+入出+c/C=6<=>。为

△ABC的内心.

证明：valA+blB+clC=0

(a+h+c)IA+bAB+cAC=O

a+b+c

ABAC

：——>—分别为A3、AC方向上的单位向量,

cb

,/月为A4%■中NA的角平分线，

同理可证"为A4比中NB的角平分线，7C为△48。中NA的角平分线。

.•.点/为△/%的内心。

(3)而廊=丽•衣=加屈=”为AABC的垂心.

证明：如图所示H是三角形4比1的垂心，跖垂直4G40垂直BC,D、£是垂足.

OA-OB=OBOCQOB(OA—OC)=OB-CA^OOB1AC

同理苏，前，0CA.AB

(4)|苏卜|瓦卜|反|00为AABC的外心。

（5）四心重要的结论：

I、外心（外接圆圆心。中垂线的交点）

①.|而|=|而卜|反卜R"为外接圆半径）.

AOAB=-\AB

(2).

AOAC=-AC

2

21

一

一

一-2

-------1。8

彳-

AOBC=--24

2721

^+-C一2

③.推广：17（〃为理的中点，G为△/回的重心）.

<AOAD=-―44-

421

回

-一2

—114+-。

AOAG=-6

6

④.*圆心角是圆周角的两倍.

⑤.*sin2A•04+sin2小05+sin2c•0C=6

H、重心（G中线的交点）

①.GA+GB+GC=0.

②.0G^^(0A+0B+0C)orAG=j(AS+AC).

③.若4（%1,y）,3（孙％）,。（毛,％），则其重心的坐标为

/(%+々+玉,x+%+力).

④.重心分每条中线分为2：1的两短.

III、内心(内切圆圆心/角平分线的交点)

①.A7=A(-4^-+^-)(2^0)注：凄-+工^表示为//的角平分线.

|AS|\AC\\AB\\AC\

②.c-IC+a-IA+b-IB=Q.

IV、垂心(〃角平分线的交点)

①.HAHB=HBHC=HCHA.

②.*tanAHA+tanB-HB+tanC-HC=0

六、运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化

为向量问题；

(2)通过向量运算，研究儿何元素之间的关系，如距离、夹角等问题：

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

例题解析

一：平面向量的概念

例1.给出下列命题：

①若I商|=MI，贝!|商=行；

②若A,B,C,D是不共线的四点，则丽=反是四边形ABCD为平行四边形的充要条

件；

③若万寸，b=c,则万=机

④一力的充要条件是I万1=1加且混)；

⑤若b//c,则万〃下；

其中正确的序号是.

(2)设为为单位向量，(1)若。为平面内的某个向量，则。=忖・4；(2)若。与小平行，

则£=同&；(3)若公与Z平行且同=1,则％=「上述命题中，假命题个数是()

A.0B.1C.2D.3

例2.判断下列各命题正确与否:

(1)0-iz=0；

(2)0-a=0；

⑶若@工0,小3=万々,则5=5；

(4)若①5=万1,则当且仅当。=0时成立；

(5)(a-b)-c=a-(hc)对任意a,h,c向量都成立；

(6)对任意向量G,有价=同2

【巩固训练】

1.(2020・上海高二课时练习)下列命题正确的是

A.若。,5都是单位向量，则£=5

B.两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同

C.向量而与丽是两个平行向量

D.若丽=反，则A,B,C,力四点是平行四边形的四个顶点

2.(2019•上海黄浦区•高二期末)已知落5为两个单位向量，那么下列四个命题中正确

的是

A-a-bB.若力//5,则万=5C.a-b=\

D.a2=b2

3.(2020•上海浦东新区•上外浦东附中高二月考)在等式①②③

(ab)-c=a-(b-c)；@\a\2=a2；⑤若无归=万1，则5=才；正确的个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.(2020•上海)下列命题中，正确的是

A.若|矶=|5|,则万=5B.若万=5，则|3=|5|

c.若则万＞5D.若|团=0,则弓=0

5.(2021•上海高一专题练习)在边长为1的正三角形ABC中，|通-觉|的值为

r73

A.1B.2D.73

2

6.（2019•上海浦东新区•华师大二附中）设点4B,。不共线，则“而与配的夹角

为锐角”是<I|AB+AC|>|BC|M的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2020•浦东新区•上海师大附中高二期中）如图，在平面四边形/腼中，

AB±BC,AD±CD,NBAD=120°,AB=AO=1,

若点£为边切上的动点，则AE-BE的最小值为

D.3

8.（2021•上海高一专题练习）如图所示，已知B,C是线段的两个三等分点，

分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有.

•----•-----•-•

ABCD

9.（2020・上海高二课时练习）给出下列命题：①若£一日=6,则£=石；②若：=—，，

则Z/痂③若Z与B同向，则[£+]=同+忖；④若则Z与5所在的直线重

合.其中正确命题的个数为.

10.（2020•上海浦东新区•高二期末）已知M=（l,o）,5=（2,4）,则|&+5|=.

11.（2020•上海市青浦高级中学高二月考）已知乙=（5,4）,1=（3,2）,则2万—35的同向

单位向量为.

12.（2018•上海市民立中学高二期中）已知平面内两点只。的坐标分别为（-2,4）、

（2,1）,则河的单位向量点=

13.（2019•宝山区•上海交大附中）如图，在口48。中，。是8C的中点，£在边48

上，B&2EA，与应交于点。.若丽.前=6亚.成，则的值是

三、解答题

14.（2018•上海市南汇第一中学高二期中）已知向量2=0,2〉点/的坐标为（一2,1）,

向量而与公平行，且|福|=2逐，求点6的坐标.

15.（2020•上海黄浦区•高二期末）已知向量a=万=（0,1）.

（1）若向量（r&+£）Z7（a+r。），求实数/的值；

（2）若向量c=（x,y）满足不=-）夜+（1-》）月，求|工|的值.

16.(2019•上海闵行区•高二期末)已知"=(6,1),5=(0,1).

(1)求£的单位向量不

(2)若2+45与的夹角为锐角，求实数2的取值范围.

二：平面向量的运算及坐标表示

例1.(1)在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()

K.~AB=~DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=BDD.AD+CB=0

例2.设A、B、C、1)、0是平面上的任意五点，试化简：

®AB+BC+CD,®1)B+AC+BD,@-OA-OC+OB-CO.

例3.设元为未知向量，a,5为已知向量，解方程2元-(51+3元-45)+'1_35=&

2

例4.已知AA8C中，A(2,-1),B(3,2),C(-3,1),BC边上的高为AD,求标.

例5.已知|。|=2,循|=1,。与坂的夹角为60°,c-2a+3h,d-a+kb,当实数a为

何值时，

（1）ciid

(2)cldl

例6.平面内给定三个向量万=（3,2）,5=（―1,2）忑=（4,1）,回答下列问题:

（1）求满足5=机5+〃1的实数m,n；

（2）若（汗+%。〃（2方一万），求实数k；

（3）若，满足（之一可〃（万+5）,且口—目=逐，求，.

例7.|a|=l,b|=2,c-a+b,且c_La,则向量。与石的夹角为()

A.30°B,60°C,120°D.150°

例8.与向量Z=（g,g）石=的夹角相等，且模为1的向量是（）

3333

例9.设向量Z出满足|£|=|司=1及|3£-2万|="

(1)求原方夹角的大小；

(2)求|3£+加的值.

例10.已知向量a=(cos(-e),sin(—6)),/=(cos(---6),sin(----6)),(1)求证：aJ•尻(2)

22

若存在不等于0的实数k和t,使1=2+(产+3肪5=-花+成满足工上?试求一此时

J1c4一-t~的最小值。

【巩固训练】

1.(2021•上海高一专题练习)平行四边形4?切中，配+丽一丽等于()

A.CBB.BCC.5CD.AC

2.(2021•上海高一专题练习)已知40是nA6c的边上的中线，若

AB=a,AC=b,则24Az等于()

A.—万)B.5(1+/7)C./(乙一Z7)D.-+

3.(2019•上海市南洋模范中学高二月考)若丽.耳心+而2=0,则三角形ABC必定是三

角形

A.锐角B.直角C.钝角D.等腰直角

4.(2020•上海市南洋模范中学高二期末)在AABC中，若

AB=AB-AC+BA-BC+CA-CB^则AABC是

A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形

5.（2020•上海市行知中学高二期中）已知问=3,恸=4,(£+杨.(£+3B)=33,则%与上

的夹角为（）

71八5万

A,.—冗B.—D.—

636

6.（2020•上海市建平中学高二期中）下列命题中真命题是（)

A.方向相同的向量是平行的向量B.任意向量与它的负向量都不相等

C.(a-b)2=a~-bD.a-b>\a\-\h\

7.（2020•上海市控江中学高二期中）已知点A（（）,O）,点3（36,15）,点C的横坐标、纵

坐标都为整数，则□A6c的面积的最小值为（）

3

AB.1C.一D.3

-I2

8.（2020•徐汇区•上海中学高二期中）己知向量Z，石为平面内的单位向量，且

a-b=~,向量"与£+石共线，则|Z+Z|的最小值为（)

3D.B

A.1BC.一

-I42

9.（2020•上海市七宝中学）已知点。是口48。所在平面上的一点，DABC的三边为

a，b，c,若7d+cO^=d，则点。是厂ABC的（)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

10.（2020•上海市青浦高级中学高二月考）已知向量3、石,|a|=1,|加=2,若对任意

单位向量，，均有工|+|5"区"，则75的最大值为（)

B..

C.1D.2

A.I2

11.（2020•宝山区•上海交大附中高一期末）设。为口钙。所在平面内一点，满足

2OA+1OB+3OC=6，则口ABC的面积与口50c的面积的比值为

812

A.6B.-C.D.4

37

12.（2021•上海高一专题练习）菱形4?（力中，/反切=60°,|而1=1,则|耳C+而|

13.（2020•上海市进才中学高二期末）已知I万1=1,|B|=0,（a-b）7a0,则向量

a与B的夹角为.

14.（2021•上海市西南位育中学高二期末）己知同=J5,忖=1,£与坂的夹角为

90°,贝+

15.（2020•上海市嘉定区第一中学高二月考）已知点片（1,1）,6（7,4）,点P分向量

的比是5，则向量联在向量。=（一1,1）方向上的投影为.

16.（2020•上海市嘉定区第一中学高二月考）已知口4?。是边长为1的等边三角形，P

为边8c上一点，满足定=2而，则丽•而=.

r

17.（2020•上海市向明中学高二期中）己同=J5,b=3,（2£+石”=3,则向量£

与B的夹角为.

18.（2021•上海高一专题练习）力了为不共线的向量，设条件/工条件

—>—>—>—>

N:对一切xeR,不等式a—x/?N。一人恒成立.则M是N的条件.

19.（2021•上海高一专题练习）口43。是正三角形，给出下列等式：

①府+网=回+可；

②“+词=|丽+网；

③府+码=向+词；

④府+配+狗=叵+而+网

其中正确的有.（写出所有正确等式的序号）

20.（2021・上海高一专题练习）在矩形ABCD中，已知E、尸分别是BC、C。上的

点，且满足诙=2反，CF=3FD-若前=2屈+M/（Z〃eR），则丸+〃的值

为.

21.（2020•上海杨浦区•复旦附中高一期末）三角形蕴涵大量迷人性质，例如：若点0

在口人放？内部，用SQSR、S（：分别代表口QB。、UOCA,口。48的面积，则有

SAOA+SBOB+SCOC=Q.现在假设锐角三角形顶点AB,C所对的边长分别为

a,b,c,”为其垂心，//A,7/C的单位向量分别为q.e,/，则aq+Z?e,=

22.（2020・上海高二课时练习）已知向量词的夹角为g•，同=咽=3,求

«-2斗6的值.

23.（2020•浦东新区•上海师大附中高二期中）已知向量a=（1,-1）,出|=0,且

（25+6）•方=4.

（1）求向量H与5的夹角；

(2)求|M+B|的值.

JT

24.（2020•上海市新场中学高二月考）己知|1|=2,|5|=3,且向量M与5的夹角为彳，

求）-5）和13。-25|；

25.（2021•上海市奉贤中学高二期末）在平面上，给定非零向量B，对任意向量定义

（1）若B=（T，3）,£=⑵3）,求？；

（2）若B=（2,1）,位置向量公的终点在直线广户1=0上，求位置向量7终点轨迹方程;

（3）对任意两个向量TZ，求证：《4

26.（2021•上海徐汇区•位育中学高二期末）在平面直角坐标系中，己知

A（-l,-2）,8（2,3）,C（-2,-l）.

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）若存在>轴上一点尸满足8CLAP,求NBP