2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第八讲解三角形应用举例课件

第八讲解三角形应用举例课标要求考情分析能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1.本节复习时应联系生活实例，体会建模，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法.2.加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力，这也是近几年高考的热点之一术语名称术语意义图形表示仰角与 俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角测量中的有关术语术语名称术语意义图形表示方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°

(续表)术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：(续表)【名师点睛】易混淆方位角与方向角的概念

(1)方位角是指北方向线按顺时针旋转到目标方向线之间的水平夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.(2)“方位角”与“方向角”的范围：方位角大小的范围是[0°，360°)，方向角大小的范围是[0°，90°).考点一距离问题

[例1](2021年宁德市质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图3-8-1所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，图3-8-1则图中海洋蓝洞的口径为________.

解析：由已知得，在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，【题后反思】求距离问题的两个注意事项

(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.

【变式训练】

(2022年福州市模拟)为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图3-8-2所示的几何模型.若MA⊥平面ABC，图3-8-2又△MNC中，∠MCN＝150°，答案：B

考点二测量高度问题

[例2](2023年西安市期中)如图3-8-3，甲、乙两名学生决定利用解三角形的相关知识估算一下友谊大厦的高度.甲同学在点A处测得友谊大厦顶端C的仰角是63.435°，随后，他沿着某一方向直行140m后到达点B，测得友谊大厦顶端C的仰角为45°，乙同学站在友谊大厦底端的点D，测量发现甲同学在移动的过程中，∠ADB恰好为60°，若甲、乙两名同学始终在同一水平面上，则友谊大厦的高度大约是(参考数据：tan63.435°≈2)(

)图3-8-3A.270mC.290m

B.280mD.300m解析：如图3-8-4所示，设友谊大厦的高度为h，

图3-8-4答案：B【反思感悟】

(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它们是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它们是在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.

【变式训练】

(2023年镇江市期中)云台阁，位于云台山北峰，属于镇江西津渡景区，其建筑形式具有宋、元古建筑特征.如图3-8-5，小明同学为测量云台阁的高度，在云台阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12m，在它们的地面上的点M(B，M，D三点共线)测得楼顶A，云台阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得云台阁顶部C的仰角为30°，则小明估算云台阁的高度为(

)图3-8-5A.42mB.45mC.51mD.57m答案：D考点三测量角度问题

[例3]在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.解：如图3-8-6，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，图3-8-6则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x

cos120°，解得x＝2.故AC＝28nmile，BC＝20nmile.【反思感悟】

(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. (2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.

【变式训练】

如图3-8-7，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()图3-8-7A.30°B.45°C.60°D.75°答案：B⊙解三角形中的综合问题【反思感悟