2024届高考数学一轮总复习专题三数列的综合问题课件

专题三数列的综合问题

数列是历年高考的热点，根据近几年高考试题统计，全国卷中的数列与三角函数基本上交替考查，难度不大.考查多从等差数列、等比数列这两个特殊的数列入手，考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、方程、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循.题型一等差、等比数列的综合问题

等差数列与等比数列的综合应用时常出现在全国各地高考试卷中，主要考查等差数列、等比数列的基本概念、基本公式、基本性质及基本运算，对于Sn与an的关系式，备考复习时应该予以重视.[例1](2022年滨州市模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S100.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，所以d＝a2－a1＝2，所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.又因为an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，所以n＝log2bn，所以bn＝2n.(2)由(1)得bn＝2n＝2·2n-1＝，即bn是数列{an}中的第2n-1项.设数列{an}的前n项和为Pn，数列{bn}的前n项和为Qn，因为b7＝＝a64，b8＝

＝a128，所以数列{cn}的前100项是由数列{an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的，

【题后反思】对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和，本题中利用裂项相消法求数列的和，然后利用b1＝1，d＞0证明不等式成立.另外本题在探求{an}与{cn}的通项公式时，考查累加、累乘两种基本方法.【互动探究】1.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝1，a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，解得d＝2.所以an＝2n－1.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2b4＝a5，所以b1q·b1q3＝9.又因为b1＝1，所以q2＝3.所以b2n－1＝b1q2n-2＝3n-1.题型二数列与不等式的综合问题

数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等.解：若选择条件①，令2n－6>0，得n>3，bn>0；令2n－6<0，又n∈N*，∴0<n<3，bn<0.∵2Sn＝3n+1－3，∴2Sn＋1＝3n+2－3，则2Sn＋1－2Sn＝3n+2－3n+1，得2an＋1＝3·3n+1－3n+1＝2×3n+1，则an＋1＝3n+1，an＝3n(n≥2)，故当n＝1时，2S1＝31+1－3即a1＝S1＝3，满足an＝3n，【互动探究】题型三数列与函数的交汇因为q＞1，所以a2＝4，a3＝8，故q＝2，

答案：1022

【题后反思】数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、极值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.

【互动探究】解：(1)设{an}的公差为d(d≠0)，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d.因为S1，S2，S4成等比数列，所以a1·(4