河南省鹤壁市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省鹤壁市2024届高三上学期第二次模拟考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，所以，由，所以.故选：C.2.已知a∈R，复数为纯虚数，则a＝（）A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2〖答案〗A〖解析〗∵为纯虚数，∴，解得a=3故选：A.3.已知函数，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗因为函数，所以由得；由得，所以，所以．因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B．4.已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，若对于任意实数，都有恒成立，其中，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗当时，，所以在上为单调递增函数，而，又是定义在R上的偶函数，所以由偶函数性质可得，则，，因为对任意实数，所以，所以的最大值为，既有，解得，即a的取值范围为，故选：A.5.已知函数（且）是偶函数，则关于x的不等式的解集是（）A. B.C. D.以上〖答案〗都不对〖答案〗B〖解析〗∵是偶函数∴，即化简得∴，（，）,时都能得到，所以在上是增函数∴（，）为偶函数且在上是增函数，∴，，即，即或解得或.即.故选：B.6.函数与的图象上存在关于直线对称的点，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题可知，曲线与有公共点，即方程有解，即有解，令，则，则当时，；当时，，故时，取得极大值，也即为最大值，当趋近于时，趋近于，所以满足条件．故选：C.7.在中，，，，若为的外心（即三角形外接圆的圆心），且，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，分别为，的中点，连接，，则，，因为，，所以，同理可得：；因为，所以①；因为，所以②；联立①②，解得：，因此.故选：D.8.已知不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不等式可化为，因为，所以，设，则，设，其中，则恒成立，则在上单调递增，由，令，得，所以在单调递减，单调递增，所以，对任意正数恒成立，即.故选：B.二、选择题9.设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（）A. B.若互为共轭复数，则C.若，则 D.若复数为纯虚数，则〖答案〗ABD〖解析〗由题意得：对于选项A：令则所以，故A正确；对于选项B：令，，所以，故B正确；对于选项C：令，，根据复数的乘法运算可知：，，，所以C错误；对于选项D：若复数为纯虚数，则，即，故D正确.故选：ABD10.某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅；乙：第一次涨幅，第二次涨幅；丙：第一次涨幅，第二次涨幅.其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（）A.方案甲和方案乙工资涨得一样多 B.采用方案乙工资涨得比方案丙多C.采用方案乙工资涨得比方案甲多 D.采用方案丙工资涨得比方案甲多〖答案〗BC〖解析〗方案甲：两次涨幅后的价格为：；方案乙：两次涨幅后的价格为：；方案丙：两次涨幅后的价格为：；因为，由均值不等式，当且仅当时等号成立，故，因为，所以，，所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多，故选：.11.已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因为是偶函数，则，两边求导得，所以是奇函数，故，由，，得，即，所以是周期函数，且周期为4，，，所以，对选项A：由，令得，，所以，故A正确；对选项B：由，令得，，故，所以B正确；对选项C：由，可得，又，所以，又是奇函数，，所以，又，所以，即，所以，，，所以函数为周期为4的偶函数，所以，故C正确；对选项D：，由题得不出，所以不一定成立，故D错误.故选：ABC.12.已知函数，下列说法正确的是（）A.定义域为 B.C.是偶函数 D.在区间上有唯一极大值点〖答案〗ACD〖解析〗A.的定义域为，解得的定义域为正确B.由于的定义域不关于原点对称，故函数不可能是偶函数，B错误；C.设，则定义域，，即是偶函数，正确D.，令，令，由，当时，，即当时，单调递增，当时，在单调递减，且，，,结合时，；时，，故存在使得，即有在单调递减，在单调递增，在单调递减，注意到，且时，时，，从而对于，当时，在区间单调递减，当时，，在区间单调递增，为在区间上的唯一极大值点，故D正确，故选：.三、填空题13.设，是的两根，则的值为__________．〖答案〗〖解析〗依题意可得，由得或；由和得，即，解得或，因为，所以应舍去，所以.故〖答案〗为：14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为外接圆的圆心，若，且，，则的最大值为______．〖答案〗〖解析〗由可得：即由正弦定理可得圆半径为：，即根据余弦定理可知：又整理可得：又得：解得：或当时，点在外部，且，所以四点共圆，不满足题意，舍去（当且仅当时取等号）本题正确结果：15.设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是_______．〖答案〗〖解析〗依题意得，，，，，因为函数在区间内有零点，无极值点，，，解得，，当时，满足条件，当时，满足条件，当时，显然不满足条件，综上可得，故〖答案〗为：.16.在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______〖答案〗〖解析〗（当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，故可得，又，故可得，当且仅当，即三角形等边三角形时，取得最大值.故〖答案〗为：.四、解答题17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.（1）求角C的大小；（2）若向量与共线，求的周长.解：（1）因为，所以所以，所以所以，所以因为是的内角，所以（2）因为向量与共线所以，即由余弦定理可得，即解得所以的周长为18.已知是等比数列，是等差数列，且，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，，求数列的前n项和.解：（1）设等比数列的公比为,等差数列的公差为.,,,.由等差数列与等比数列通项公式可得解得或(舍)所以,（2）,代入,可得则两式相减可得即所以19.已知将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像关于原点中心对称.（1）求函数的〖解析〗式；（2）若三角形满足是边上的两点，且，求三角形面积的取值范围.解：（1）由已知化简得，，由得，又，（2）易得，由①②又将①②式并结合可得：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，则由可得：点的轨迹方程为，即，当时，取到最大值，根据几何关系易知三角形面积的取值范围为，20.已知椭圆，离心率为，直线恒过的一个焦点.（1）求的标准方程；（2）设为坐标原点，四边形的顶点均在上，交于，且，若直线的倾斜角的余弦值为，求直线与轴交点的坐标.解：（1）设椭圆的半焦距为，可化为，所以直线恒过点，所以点，可得.因为离心率为，所以，解得，由得，所以的标准方程为.（2）因为，所以.由得分别是的中点.设.由直线的倾斜角的余弦值为，得直线的斜率为2，所以，联立消去，得.显然，，且，，所以，可得，同理可得，所以，所以.令，得，所以直线与轴交点的坐标为.21.已知在点处的切线方程为.（1）求实数a，b的值；（2）当时，证明：.（1）解：，因为f（x）在点处的切线方程为y=6x，所以，，即，解得a=2，b=0；（2）证明：由（1）得，设，即，则设，则h（x）在（0，+∞）单调递增，且，所以存在唯一，使得，即，当时，，，g（x）单调递减；当时，，，g（x）单调递增；，设，则，当时，，单调递减，所以，所以，即，所以当时，22.已知函数，（，是自然对数的底数）．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求