2023-2024学年宁夏石嘴山市高二上学期期中数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年宁夏石嘴山市高二上学期期中数学质量检测模拟试题第I卷一、单选题：每小题5分，共40分.1．已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．2．圆与圆的位置关系是．A．内含 B．外离 C．外切 D．相交3．已知椭圆()的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为，则椭圆的左顶点为（

）A． B． C． D．4．已知则（

）A．(0，34，10) B．(-3，19，7) C．44 D．235．顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（

）A． B．C． D．6．已知向量，向量，满足，则（

）A． B． C． D．7．已知直线，圆，若直线l与圆C相切，则k=（

）A．0 B． C．或0 D．或08．已知平面α内两向量，且.若为平面α的法向量，则m，n的值分别为（）A．-1，2 B．1，-2C．1，2 D．-1，-2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（

）.A．它们有相同的渐近线 B．它们有相同的顶点C．它们的离心率不相等 D．它们的焦距相等10．下列说法错误的是A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．过，两点的所有直线的方程为D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为11．如图所示，棱长为3的正方体中，E，F分别在，上，且则（

）A．B．C．D．与是异面直线12．已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线，（）与椭圆C在第一象限的交点为P，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，且，则．14．直线与椭圆有公共点，则的取值范围是．15．倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线被圆所截得的弦长为2，则．16．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．直线l经过两直线l1:2x-y+4=0与l2:x-y+5=0的交点,且与直线x-2y-6=0垂直.(1)求直线l的方程.(2)若点P(a,1)到直线l的距离为,求实数a的值.18．已知：，，，求：(1)；(2)19．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)与椭圆有相同的焦点，且一条渐近线方程为的双曲线；(2)已知直线被抛物线截得弦长为9，求该抛物线方程.20．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的A处出发，径直驶向位于海监船正北的B处岛屿，速度是，问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间为多长？21．如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD;(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.(3)若Q是PB上的动点，当△ADQ的面积最小时，求Q到平面PMC的距离.22．已知椭圆的离心率为，点在C上，O为坐标原点.(1)求C的方程;(2)已知直线，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.①证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.②若，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程.1．B【分析】由题意列方程，解出，即可得出答案.【详解】由题意可得出：，解得：，所以，所以双曲线的标准方程为.故选：B.2．B【详解】圆的标准方程即：，圆的标准方程即：，两圆的圆心距为：，两圆的半径为：，满足，故两圆相交.本题选择D选项.点睛：(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．3．D先分析出圆的圆心从而确定出椭圆的焦点坐标，再根据短轴长度求解出椭圆方程中的值，从而左顶点可求.【详解】因为圆即为，所以圆心为，所以椭圆的一个焦点坐标为，故，又因为，则，所以，所以，所以左顶点为.故选：D.本题考查求解椭圆的左顶点坐标，涉及圆心坐标求解以及利用求解的值，难度较易.4．C【分析】应用向量的坐标运算及数量积的坐标运算即可.【详解】，所以.故选：C5．D【分析】求出的值，结合焦点的位置可得出所求抛物线的标准方程.【详解】顶点在原点，对称轴为轴的抛物线的标准方程为．由顶点到准线的距离为4知，故所求的抛物线的标准方程为．故选：D.6．D根据题意，设，有，求出、的值，计算可得答案．【详解】解：向量，，，向量，1，，若，设则有，则，则有，，则，故选：．7．D【分析】由题意可得圆心到直线的距离等于半径，列方程可求出的值.【详解】圆的圆心，半径，因为直线与圆C相切，所以，所以，解得或，故选：D8．A【分析】求出向量的坐标后，利用向量是平面的法向量，得，利用坐标运算列出方程组，求解即可.【详解】，由为平面α的法向量，得,即解得故选：A.9．CD【分析】根据双曲线的几何性质，逐一分析选项即可.【详解】双曲线的渐近线为：，双曲线的渐近线方程为：，故A错误；双曲线的顶点坐标为，双曲线的顶点坐标为，故B错误；双曲线的离心率，双曲线的离心率，，故C正确；双曲线的焦距2c=10，双曲线的焦距2c=10，故D正确.故选：CD．本题考查双曲线的简单几何性质，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.10．ACD【分析】对于A．根据直线垂直的等价条件进行判断；对于B．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断；对于C．当直线和坐标轴平行时，不满足条件；对于D．过原点的直线也满足条件．【详解】解：对于A．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故A错误，对于B．直线的斜率，则，即，则，，故B正确，对于C．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故C错误，对于D．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故D错误，故选：ACD．本题主要考查命题的真假判断，涉及直线方程，直线斜率以及直线垂直的位置关系的判断，难度不大．11．AC【分析】建立空间直角坐标系，应用空间向量判断位置关系.【详解】如图，以为原点所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，对A，，即，A正确；对B，，B错误；对C，，则C正确，D错误.故选：AC12．CD【分析】作垂直于抛物线的准线于点，则抛物线的定义得出，设，则，由椭圆的定义可得，在中利用余弦定理可求出的值，从而可求出离心率.【详解】由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，准线过点，作垂直于抛物线的准线于点，则，因为‖轴，所以，所以,设，则，所以，在中，由余弦定理得,所以，整理得，解得或，当时，椭圆的离心率为，当时，椭圆的离心率为，综上，椭圆离心率为或，故选：CD关键点点睛：此题考查椭圆离心率的求法，考查抛物线与椭圆的综合问题，考查余弦定理的应用，解题的关键是根据题意利用抛物线和椭圆的定义求解，考查计算能力，属于较难题.13．3【分析】利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可.【详解】因为，所以，可得，因为，解得，故答案为3.14．将直线方程与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，方程有两个解，，解不等式，即可求解。【详解】联立整理得.因为直线与椭圆有公共点，所以，解得或.故答案为:.本题考查直线与椭圆的位置关系，转化为方程解的个数，属于基础题.15．【分析】设直线方程，求得圆心到直线的距离，再利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得解．【详解】倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线方程为：，即，圆心到直线的距离为：，，得，故答案为此题考查了圆的弦长问题，难度不大．此题考查了圆的弦长问题，难度不大．16．【分析】由题意可设，且满足，因为，由两点间的距离公式代入可求出，即可求出.【详解】由题意可得，，，设，且满足，此时，则，解得：，此时，所以，故.故17．（1）；（2）或【详解】试题分析：（1）解方程组可得直线的交点为(1,6)，然后根据垂直可得直线l的斜率，由点斜式可得l的方程；（2）有点到直线的距离公式可得，解得a=1或a=6，即为所求．试题解析：(1)由得所以直线l1与l2的交点为(1,6),又直线l垂直于直线x-2y-6=0,所以直线l的斜率为k=-2，故直线l的方程为y-6=-2(x-1),即2x+y-8=0.(2)因为点P(a,1)到直线l的距离等于,所以=,解得a=1或a=6.所以实数a的值为1或6.18．(1)，(2)【分析】（1）根据平行关系设，从而得到方程组，求出，利用向量垂直得到方程，求出，得到；（2）利用向量夹角余弦公式求出答案.【详解】（1）因为，所以设，即，故，解得，，，∴，解得，；（2），.19．(1)(2)【分析】（1）首先根据渐近线方程设出待定双曲线方程，然后结合焦点坐标相同即可求解.（2）画出图形，联立抛物线方程与过焦点的直线方程，结合韦达定理以及抛物线定义即可列出关于的方程，从而即可求解.【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以不妨设双曲线的方程为，即，而椭圆的焦点在轴上，从而，双曲线标准方程为，且，所以焦点坐标为，从而，解得，所以满足题意的双曲线的标准方程为.（2）如图所示：由题意直线被抛物线截得的弦为，分别过向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，其中为抛物线的焦点，联立，消去得，所以由韦达定理有又因为直线方程可变形为，由抛物线定义可知，解得，所以满足题意的抛物线的标准方程为.20．外籍轮船能被海监船监测到；0.5小时【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长．【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系,则，，圆方程，直线方程：，即，设到距离为，则，所以外籍轮船能被海监船检测到，设监测时间为，则（小时），答：外籍轮船能被海监船检测到，时间是0.5小时21．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）取的中点，连接，则可证得四边形为平行四边形，从而得MN∥，进而利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）由已知可得两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可；（3）由于，所以最小时，最小，而为等腰直角三角形，所以当为时，最小，然后利用空间向量可求得结果.【详解】（1）证明：取的中点，连接，因为为的中点，所以‖，，因为为的中点，所以，因为四边形为矩形，所以‖，，所以‖，，所以四边形为平行四边形，所以MN∥，因为平面，平面，所以MN∥平面PAD;（2）解：因为平面，平面，所以，因为，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，所以，设平面的法向量为，则，令，则，设与平面所成的角为，则，所以PD与平面所成角的正弦值；（3）解：因为平面，所以平面，因为平面，所以，所以，所以最小时，最小，因为为等腰直角三角形，所以当为中点时，，此时最小，则，所以，设到平面的距离为，则.22．(1)，(2)①证明见解析，②△OAB面积的最大值为，此时直线的方程为，或.【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，解方程组可求出，从而可求出椭圆方程；（2）①设,将直线方程代入椭圆方程化简，再利用根与系数的关系，结合中点坐标公式表示点的坐标，从而可表示出OM的斜率，化简可得结论；②由①可得，则直线的方程为，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，结弦长公式表示出，再由点到直线的距离公式求出到直线的距离，从而可表示出△OAB面积，化简变形后利用基本不等式可求出其最大值，进而可求出直线方程.【详解】（1