河北省金科大联考2024届高三上学期10月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省金科大联考2024届高三上学期10月质量检测数学试题一、单项选择题1.设（），若，则（）A. B.1 C. D.2〖答案〗A〖解析〗依题，所以，.故选：A.2.设集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知，而，所以.故选：B.3.设，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于，且，故，故选：C.4.设为的导函数，若，则曲线在点处的切线方程为（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，令，，，所以曲线在点处的切线方程为：，即.故选：D.5.设，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，则，即，故，即，由于，所以，则，即，故，故选：B6.在平行四边形中，是的中点，是的中点，与相交于点，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，由题意可知：为的重心，且为的中点，可知四点共线，且，所以.故选：A.7.记的内角的对边分别为，且，若的面积为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在中，由余弦定理得，，因为，则即，因为的面积为，所以，即，所以，即，又因为，代入化简得，，则或（，舍去），故选：C.8.已知函数则函数的所有零点之和为（）A.2 B.3 C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗由函数，令，则，令，可得，当时，由，可得，即，解得；当时，由，可得，即，解得或（舍去），所以，即，当时，令或（舍去），解得或；当时，令，解得或，所以函数的零点之和为.故选：D.二、多项选择题9.已知，为平面上的单位向量，且，则（）A.向量与的夹角的余弦值为B.CD.向量在向量上的投影向量为〖答案〗ABD〖解析〗由题意知，且，故，即，故，A正确；，故，B正确；，故不垂直，C错误；向量在向量上的投影向量为，D正确，故选：ABD.10.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为B.C.将曲线向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称D.若在区间上单调递增，则〖答案〗AD〖解析〗由于，故，A正确，由于，则，故，即，而，故，B错误；由于，故将曲线向右平移个单位长度后得到的图象，该图象关于原点对称，不关于轴对称，C错误；当时，，当时，由于在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，在上单调递减，故由在区间上单调递增，得，D正确，故选：AD.11.已知函数是定义在上的奇函数，且，则（）A.的一个周期为3 B.的图象关于直线对称C. D.〖答案〗AD〖解析〗由题意可知，所以，即的一个周期为3，故A正确；因为函数是定义在上的奇函数，故有，即的图象关于对称，故B错误；由上，但不能确定的大小，故C错误；由上有，故D正确；故选：AD.12.已知，设函数，则下列说法正确的是（）A.当时，在定义域上单调递增B.当时，有两个极值点C.若为的极值点，则D.若为的极值点，则〖答案〗ACD〖解析〗当时，，即在定义域上单调递增，故A正确；易知，当时，令，即无解，所以无极值点，故B错误；若为的极值点，则由上可知是方程的两根，即，故C正确；，由上可知，故D正确.故选：ACD.三、填空题13.在中，内角所对的边分别为，若，，，则______．〖答案〗3〖解析〗在中，由余弦定理得，，因为，，，所以，化简得，，所以或（负值舍去）.故〖答案〗为：3.14.写出同时满足如下三个条件的一个函数〖解析〗式______．①为偶函数；②的定义域为；③的值域为〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗由于的定义域为，值域为，故可联想到三角函数，又因为为偶函数，结合三角函数性质得：函数可以为、等，故〖答案〗：（〖答案〗不唯一）.15.已知正实数，满足，则的最小值为______．〖答案〗12〖解析〗因为正实数，满足，故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当，即时取等号，符合题意，故的最小值为12，故〖答案〗为：12.16.设，若，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由题意得，，，则，即，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，由，即，令，则恒成立，则在单调递减，所以，所以.故〖答案〗为：.四、解答题17.记的内角A，，的对边分别为，，，，．（1）求；（2）若，求的外接圆的面积．解：（1）由正弦定理及已知可得：，化简得；（2）由，在中，，，所以，设外接圆半径为R，由正弦定理可得，所以外接圆的面积为.18.设命题：“对任意，恒成立”．且命题为真命题．（1）求实数的取值集合；（2）在（1）的条件下，设非空集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．解：（1）对任意，恒成立，即，即对任意恒成立，而，即，故，当且仅当，即时取等号，故，则实数的取值集合.（2）解，即，得或，由于“”是“”的充分条件，故,故，即，所以实数的取值范围为或.19.已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，设，分别为的极大值点和极小值点，且点，，若直线在轴上的截距大于，求的取值范围.解：（1）因为，所以，当时，，函数在R上单调递增；当时，令得，或，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增综上，当时，函数在R上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）及极值点的概念知，当时，，，且，则直线：，令，则，依题意，，由可化为，解得，所以的取值范围为.20.记函数，的最小正周期为．（1）若，且直线为的图像的一条对称轴，求；（2）若为一个零点，且在区间上至多有两个零点，求．解：（1）因为，所以，又因为，所以，则，因为直线为的图像的一条对称轴，所以，即，所以（2）由为的一个零点，可知，则因为在区间上至多有两个零点，所以，因为，所以，则，又因为，所以或.①当时，代入，得，因为，所以，此时在只有一个零点，符合题意；②当时，代入，得，因为，所以不符合题意；综上，，21.已知函数（），．（1）求的最小值；（2）设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的值．解：（1）当时，，故，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为；（2）由，即，即，解得，即，故，设，则当时，，对于函数，时为增函数，故，则，设，由题意知为时的值域的子集，当，即时，在上单调递增，故，即得；当，即时，在上的最大值为中的较大者，令；令，则，不合题意；当，即时，在上单调递减，则，解得，综合上述，实数a的值为.22.（1）证明：当时，；（2）已知函数，，，为的导函数．①当时，证明：在区间上存在唯一的极大值点；②若有且仅有两个零点，求的取值范围．（1）证明：设，则恒成立，所以在上单调递增，故，即成立；（2）解：①当时，，令，则，因为当时，令，单调递增，且，所以，故也单调递增，故当时，单调递减，单调递减，单调递减，所以单调递减，又，所以存在，使得，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以在区间上存在唯一的极大值点；②