2021年高考数学真题逐题揭秘第4题 正弦型函数的单调性及应用（解析版）

第4题正弦型函数的单调性及应用

一、原题呈现

【原题】下列区间中，函数/（x）=7sin单调递增的区间是（）

人•畤71[3兀

C.卜，了D•齐

B.2，n

【答案】A

【解析】

/兀兀71

解法-：因为函数y=sinx的单调递增区间为12kn--,2kn+—（kGZ），对于函数“X）=7si:nx----

I6

7171而+与左解得段取何得函数/(%)的•

由2kli——<x——<2eZ),2%r—g<x<2E+(ZeZ),2=0

26

兀2兀，则。，江-712兀712兀

个单调递增区间为,A选项满足条件,B不满足条件;

，加。35T

取&=1,可得函数/（X）的一个单调递增区间为

CD选项均不满足条件，故选A.

解法：：利用复合函数的单调性逐个验证.设，=%-上7T

6

对于A,当xe时fe，由y=7sinf任上是增函数，可得A满足条件;

兀5兀n5n

对于B,当xe任,兀卜寸fe，由y=7sin/在上不单调，可得B不满足条件;

3,T3'T

,[3兀、…（5TI4K）,_..5兀4兀

对于＜2,当九叶兀,]-）时/£[石,？-＞由＞=7512在上是减函数，可得C不满足条件;

2~6'~3

4兀1171

对于D,当xe，由y=7sinf在上不单调，可得D不满足条件;

故选A.

解法三：/(x)=7sin卜一会在区间(a,b)上单调递增，则xe(a,b)时/'(x)=7cos卜一已)20恒成立.

对于A,当xw0,—]W—<x—V/'（X）—0恒成立,A满足条件;

2）663

兀J时，由/2兀1

对于B,当工£COSy=一e<0,可得B不满足条件;

对于C,当Xj时，由/

COS7T=-1<0,可得C不满足条件;

对于D,当Xe［5，2兀1时，由J=cos—<0,可得D不满足条件；故选A.

【就题论题】本题以正弦型函数为载体，考查三角函数的单调性，试题简洁流畅,属于常规题型，侧重对重要基

础知识的考查.三角函数单调性是三角函数的一个重要性质,也是高考考查的热点，对于求正弦型函数的单调

性课本有不少类似的题，这说明课本是高考试题的生长点，复习时不要丢掉课本.

二、考题揭秘

【命题意图】本题考查三角函数的单调性，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易.

【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题』道解答题，解答题一般考查解三角

形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质.

【得分秘籍】

(1)求形如y=Asin(0x+0)(其中。>0)的单调区间时，要视“cox+夕”为一个整体，通过解不等式求解；

(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解；如已知3>0,函数

jr7T

/U)=cos(0x+»在伤㈤上单调递增，求m的取值范围.可先根据函数y=cosx的单调递增区间为［—兀+

［詈+至-兀+2也，

2也,2也］火£2,列出不等式组12WZ,解得42—尹>324一4次《Z,

［①兀+42也，

再根据以一搭一(2&-Jwo/ez且2T>o,kez,得/=1,求得3的取值范围是弓，\.

(3)求函数产Asin(s+o)在区间句上的值域或最值，一般根据尸Asin(5+e)在区间［a,可上的单调性来

求；

⑷研究y=asinx+bcosx的单调性，要先利用辅助角公式把函数化为构造产产年sina+彷的形式；

(5)研究y=tzsin2x4-/7sinxcosx4-ccos2x+J的单调性，要先利用

sin?x=1—c°s2;sinxcosx=Lsin2尤,cos?x=匕咨在降幕，再利用辅助角公式把函数化为构造y

222

=Asin(2r+9)+B的形式.

【易错警示】

(1)研究y=Asin(3x+«)的单调性时，如果。<0,一定先借助诱导公式将co化为正数,防止把单调性弄错；

(2)把y=asinx+bcosx化为y=，？TRsin(x+o)时忽略<p所在象限，导致<p值求错.

(3)单调区间表示不规范，如没有用区间表示，没有写keZ等.

三、以例及类

(以下所选试题均来自新高考I卷地区2020年1-6月模拟试卷)

单选题

1.(2021福建省宁德市高三质量检查)若偶函数/(x)=Jisin(2x+e)+cos(2x+0)在一?,0上为减函

数，则V的可能取值为()

A.-兀B.兀—C.-5-T-TD.-2-7-r

6363

【答案】D

【解析】因为/(%)=Gsin(2x+e)+cos(2x+夕)=2sin(2x+夕+£)为偶函数，

6

JTTTTC

所以夕+工=%〃+彳，攵£2,即夕=&)+—故A、C错误，

623

当夕=--三时"(X)=-2cos2x在［--.0］上为减函数，故D正确；

34

当夕=工时,f(x)=2cos2x在［-f.0］上为增函数，故B错误；故选D

34

2.(2021广东省燕博园高三3月数学综合能力测试)已知函数〃x)=Asin(5+0)(AM,。均为正常

数)，相邻两个零点的差为对任意/彳卜亘成立，则下列结论正确的是()

A./(2)</(-2)</(O)B./(0)<〃2)</(-2)

C./(-2)</(O)</(2)D./(2)</(0)</(-2)

【答案】A

【解析】函数/(%)=Asin(3+夕)(A,。，夕均为正常数)，相邻两个零点的差为一无，所以丁=兀,所以

f2TI]I2TI]

0=2,对任意(x)2/—恒成立，即Asin2x—+二-A,故0=巴

\37\3J6

所以/(x)=Asin2x+£j.故/(-2)=Asin-4+/J=Asin[：-4+2兀J〉0

f(2)=AsinJ4+乌]<0,/(O)=4sinq=Osin2>0,由于3>二一4+2冗>]>二，函数在

I6/66267i2

713兀

</（0）.故选人

5'工

7T

3.（2021河北省沧州市高三三模）把函数y=2sin2x的图象向左平移一个单位长度，再将所得图象向上平移

3

1个单位长度，可得到函数/（X）的图象，则（）

A./(X)=2sin12x+?J+lB./（X）的最小正周期为2〃

JT577

C./(x)的图象关于直线x=g对称D./（X）在——上单调递减

612

【答案】D

【解析】将函数y=2sin2x图象向左平移?个单位长度得到y=2sin2（x+?）=2sin（2x+告J的图象,

再向上平移1个单位长度可得到/（x）=2sin[2x+《-J+1的图象，故A错误.7=货=%，故B错误；

27r5

令2x+』=721+k乃/€2,得》=一TT上+U竺TC，左eZ,当k=0时,x=-1TL；当&=1时,x=3;z■，故C错误.

321221212

■Jr27r37rTTSTT

令——F2Z乃<2XH------<------F2左肛ZGZ、----+k兀<x<-------卜k兀,kGZ.

2321212

兀57r

所以/（X）在上单调递减，故D正确.故选D.

|_612

4.（2021湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中高三下学期二模）已知函数/（x）=sin4v+Gcos<yx（0>O）的零

TT71

点依次构成一个公差为二的等差数列,把函数/（X）的图象沿X轴向右平移二个单位，得到函数g（X）的图象，

则函数g（x）（)

A.是偶函数B-其图象关于直线X、对称

兀兀

C.在上是增函数D.在区间上的值域为［-6,2］

42

【答案】D

71

【解析】Q/(^)-sincox+\/3coscox=2csi•na)x-\"一，由于函数y=/(X)的零点构成一个公差为］的

I3

•.”>0,则口=4=2,所以/(》)=2$皿(2%+?).

等差数列，则该函数的最小正周期为乃-

71

7171

将函数y=/(%)的图象沿x轴向右平移已个单位，得到函数g(力=2sin2X——+—=2sin2x的图

3

象对于A选项，函数y=g(x)的定义域为R,g(-x)=2sin(-2x)=—2sin2x=-g(x).

函数y=g(x)为奇函数,A选项错误：对于B选项,g2sin)=0w±2，所以，函数y=g(x)的图象不

71

关于直线x=］对称,B选项错误；对于C选项，当xe时,^42X4万,则函数y=g(x)在pi上

22

■rr2TZ*TT47r/a

是减函数,c选项错误；对于D选项，当二Wx<—时.一<2x<—,则—注《sin2x41.

63332

r\

.一G<g(x)<2.所以，函数y=g(x)在区间p-y上的值域为［一后2］0选项正确.故选D.

5.(2021湖南省三湘名校教育联盟高三下学期第三次大联考)函数人龙尸-垃sin(s+8)3>O，l0l〈兀)的部分

图象如图所示，则人X)的单调递增区间为()

,乃，7万，

B.伏兀-i--«兀1----Z

1212

f7，71,715几

C.\kn---，后r+一],氏£ZD.[ZTTTH-----,ATTH----],上£Z

2212’12

【答案】A

［解析］由图象知，一=』一2..••片乃,，2="3=2,...

41233

7TTTC27r27r

•••2x---(p—2攵笈H—,k£Z，所以(p=2卜兀-----，4eZ、IL阳<兀,(p------

12233

/.f(x)=—>p2sin[2x——jr27r37r77r137r

，当2k*—效2r----2k7i〜-----"wZ,即kiT----xxlkki-\-----、keZ

2321212

77r137r

时，函数单调递增,.../（%）的单调递增区间为k7r+—,k7r+-^-,k&Z.

SyrJT

二/（X）的单调递增区间为^-―，^+―，左eZ.故选A.

（兀、JI2乃

6.（2021湖南省怀化市高三联考）已知函数/（x）=sin5+二（。〉0）在区间一丁，丁上单调递增,

I6/43

则。的取值范围为（）

A.NF!B.（0,；

C.J_§D.

25

【答案】B

jrJT

【解析】由函数解析式知：/（X）在2k^--,2k^+-（AeZ）上单调递增，

；」（26■-至）-4!（2观+^）«eZJ（x）单调递增，又•••/（X）在区间-£，4上单调递增,

G303L43_

Q

a）<--Sk

3

-(2^-—)<--

上解得.C,11

:3。43々+彳,所以当左=0时,有0<0・一,故选8

22

I。3369>0

keZ

7.（2021江苏省镇江市四校高三联考）函数/（x）=Asin（5+e）［A>0,6y>0,|e|<|^的部分图象如图

所示,将函数/（X）的图象向左平移H个单位长度后得到y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）

A.函数g(x)为奇函数

B.函数g(X)的最小正周期为2〃

TT

C.函数g(x)的图象的对称轴为直线工=%〃+—(%eZ)

6

54TC

D.函数g(x)的单调递增区间为一书■+br,五+上左/wZ)

【答案】D

【解析】由图象可知4=3.[7=]，2^=1^-(—3]=乎,，0=2,

则/(x)=3sin(2x+e).将点(当,3〕的坐标代入f(x)=3sin(2x+0)中,

、冗\\冗TTTT

整理得sin2x—+=1,2x-—+(p=2k兀+、keZ跳(p=2kjr,keZ；

<12)1223

,,71

0<5，

：『-0,：./(x)=3sin(2x-•将函数/(x)的图象向左平移?个单位长度后得到y=g(x)的图象,

,g(尤)=3sin2^x+y-y=3sin^2x+y,xeR.

g(-x)=3sin(-2x+方卜-3sin12x_/卜一g(x),

3

・・・g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误;

•••g(x)的最小正周期7=寸=乃,故B不正确.

rrrrrrK7T

令2x+上=々+公r,%eZ,解得x=工+丝欢eZ,则函数g(x)图像的对称轴为直线

32122

x=---1---,kEZ.故C错误；

122

jr-rrrr57r71

由2kr---效必x+—2kji+—,kGZ,可得kr----领kk兀+一,keZ,

2321212

57rTC

二函数g(x)的单调递增区间为k7r-—,k7i+—/eZ.故D正确；故选D.

8.（2021山东省淄博市高三一模）已知/（x）=cosMcosx+百sinx）在区间-三,m上的最大值是

则实数加的最小值是()

兀「71—T

A.—7TBc.—C.——D.-

12312(

【答案】D

2

【解析】/(X)=COS尤(cosx+逝sinx)=cosx+6sinACOSX

K>1

1+COS2X73.n百.c,1c,1-cinf?rJ-l-L

=--------F——sin2x=——sin2x+—cos2x+——sin

22222k6；2

由于-1<sinf2x+—j<l»—■—<sinf2x+—j+—(x)的值域为一弓，；

（_《）=5皿（一耳+看）+3=-3，即/（6在1：=-2处取得最小值,

J'jTjr7171兀

而了（X）的最小正周期为］-=兀，其一半为］，则一—+—

32~6

1,上递增，且在x=-处取得最大值3,故机的最小值为三.故选D

所以〃x）在T

36J626

9.（2021山东省日照第一中学高三第二次联合考试）已知函数/（x）在定义域上是单调函数，且

/[/(x)-2020v]=2021，当g(x)=sinx-6cosx—&在-y,y上与/(x)在R上的单调相同时,

实数攵的取值范围是()

A.(—oo,—l]B.1,5/3JC.(―00,—D.

【答案】c

【解析】•.■函数”X)在定义域上是单调函数，且/[〃X)—2020]=2021.

.•"(刈-2020'为定值，设/。)-2020'=九则/⑺=2021，且〃。-2020'=/,

.•.2()21-202()'=，,解之得£=1,二/(》)=2020'+1./(%)在/?上的单调递增，

g(x)=sinx-Gcosx-依=2sinx-^^-kxg'(x)=2cos(x-1)-A,

•.,g(x)=sinx-J§cosx-立在一%,三上与/(》)在7?上的单调性相同，

TTJT

H一ZN0在-]，,上恒成立，

，2cos(x-g]z%在上恒成立,一旦4%一七4工，

I3)[_22」636

<COS^X—<1-Vs<2COS2,<-6.故选C

10.(2021广东省惠州市高三下学期一模)切割是焊接生产备料工序的重要加工方法，各种金属和非金属切

割已经成为现代工业生产中的一道重要工序.被焊工件所需要的几何形状和尺寸，绝大多数是通过切割来实

现的.原材料利用率是衡量切割水平的一个重要指标.现需把一个表面积为28兀的球形铁质原材料切割成为一

个底面边长和侧棱长都相等的正三棱柱工业用零配件，则该零配件最大体积为()

A.6B.6百C.18D.—iT.

二、多选题

11.(2021广东省珠海市高三二模)已知函数/(x)=cos2x+2j§sinxcosx-sin2x,则()

A.乃是函数/（X）的一个周期

B.X=-C是函数/（x）的一条对称轴

6

C.函数/（X）的一个增区间是

D.把函数y=2sin2x的图像向左平移合个单位，得到函数/（X）的图像

【答案】ACD

【解析】依题意：“力=65诂2*+以）$2%=2$皿2*+工）,对于人选项：/（x）的周期7=生=1,即A

62

（JT\JT冗JT-JT

正确；对于B选项：因/（一不）=2sin[2（--）+-]=2sin（--）=-1，则x=~不是函数的对称

TTTTTTTTTT

轴，即B不正确；对于C选项：2攵〃---<2XH—<H—（ksZ）得/CTT----<x<kji4—（kGZ）,

26236

即/（x）单调递增区间是（丘一三次乃+工）（ZeZ）斤0时是/（x）的一个增区间，即C正确；

36\367

对于D选项：函数y=2sin2x的图像向左平移—个单位得y=2sin2（x+—）=2sin（2x+马，即D正确.

12126

故选ACD

12.（2021广东省汕头市高三三模）已知函数/（尤）=々5皿％+尻05%（次7。0）,且对任意工£1^都有

71

则以下正确的有（)

/xTC7兀

A./（力的最小正周期为2〃B./（X）在上单调递减

O0

C.x=@是〃x）的一个零点D.3=虫

3h3

【答案】ACD

【解析】由题意可知函数”力的图象关于直线x=看对称，则/闺=±y/a2+b2,

即:。=士"、/，整理可得3/-2氐。+/=0,即（氐一=o.

所以，力=后，•.•必。0,所以,3=9,D选项正确；

b3

/(尤)="sinx+&cosx=2asin(x+g)，故函数/(x)的最小正周期为2%,A选项正确；

yr*777*TTTT%元JT7JT

当时，可得二，若。＜0.则函数/(x)在上单调递增,B选项错误：

662321_66_

音)=2asin〃=0,故x=,是/(%)的一个零点,C选项正确.故选ACD.

13.(2021河北省石家庄市高三下学期质检)函数/(%)=2411(。式+夕)(。＞0,0＜0＜乃)的图象如图,把

函数“X)的图象上所有的点向右平移弓个单位长度，可得到函数y=g(x)的图象，下列结论正确的是()

C.函数g(x)在区间一餐为上单调递增

D.函数g(x)关于点中心对称

【答案】BC

—＜T

【解析】由图可知：了所以＞_@＜2工＜11工所以史〈注,

1143T12391111

---＞——

I124

又因为/(0)=25皿°=6.0＜。＜〃,所以夕=。或夕=-^,

7)=2sin(苗万。+0)=2，所以劳11%+°=]兀+2左乃,％GZ,

又因为/

122

又因为巳欢ye34,2%］所以1巳馆+0)6

所以左=1,

.7rli13“加26、、1824

当夕=一时,一；;■”=二-%，解得3=—怎与一<GV1矛盾，不符合;

3126111111

当(P-时,兀8——71，解得CD—2,满足条件，

3126

所以/(x)=2sin(2x+..c711271T、

，所以g(x)=2sin2x---H-----2sinf2x+yj,

673)

A.由上可知A错误;

/\2

B.因为g(x)=2sin2x+—所以g(x)的最小正周期为』=万,故B正确;

、3J2

TT7/7/j7/TT

C.令2人万---<2x+—<2k兀+—、k£Z，所以&7----<x<k7V-\---,ksZ,

2321212

57T7T7T1T7157171一一,

令2=0,此时单调递增区间为一石■，石，且一二U~^29i2，故C正确;

312

(兀、71

D.因为g——=2sin2x=一百A0,所以-?,0不是对称中心，故D错误;

\3)

故选BC.

兀

14.(2021湖北省武汉市武昌区高三下学期5月质量检测)已知函数/(x)=sin④r-sinCOX~\—69>0)

3

-告,i,则实数①的值可能取(

在［0,句上的值域为)

4

A.1B.-D.2

3

【答案】ABC

..71..71-C°"i心Jins-3

【解析】.f(x)sin^yx-sincox-\=smcox-sincoxcos一COS5

I33322

sincox--

I3

「-iTCTC

因为所以,COTT--,

又函数/(%)在［0,句上的值域为_冬1、于⑼=_与,

TTTT47r55

所以由正弦函数的对称性，只需一K&W——<——，则一4。<一,

23363

因此ABC都可能取得,D不可能取得.故选ABC.

15.(2021湖北省十堰市高三下学期4月调研)已知函数/(x)=2asino>xcos<yx-2cos2口龙+1

(。>0M>0)，若/(A-)的最小正周期为n，且对任意的％eR,/(%)>/(与)恒成立，下列说法正确的有

()

A.(0=2

B.若X()=一二,则〃=

6

C.若外/―3=2,则々=1^

D.若g(x)=/*)-2"(x)|在(％-学玉-，)上单调递减，则守W

【答案】BCD

2

【解析】因为/(x)=2asin<wxcoscox-2coscox+1=asin2cox-cos2cox=J/+1sin(2ox-夕)，

a1

其中cos。=/,,sin(P=/,.因为/(x)的最小正周期为万，所以。=1,故A错误.

+1\a~+1

因为对任意的xeR,/(%)>/(%)恒成立，以fM是『(X)的最小值.

若玉,=_工，则2xj-工_9=_四+2左乃(女eZ).^)=—-1kn(k6Z).

616J26

所以cos(p—.-r=二匚.a=，故B正确.

因为/(%)是/(x)的最小值，所以/3为最大，所以54+1=2，所以。=6,故C正确.

因为当X€卜。一手,七-5时,/(X)>0,所以g(x)=-/(x).

因为/(X)在卜。-3上单调递增，所以g(x)在(题,与-?)上单调递减.

当xe(x°-多/一今)吐/(x)>o.所以g(x)=-f(x).

因为/(x)在底一^，玉,一?)上单调递减，所以g*)在卜。--()上单调递增，

所以%-二3；r<毛一。4毛一7代T,所以7工T4。〈'把才，故D正确.故选BCD

4224

16.(2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期月考)将曲线y=5山21一65山0-工)5山。+]乃),上每个

点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图像，则下列说法正确的是()

3

B.g(x)在［0,万］上的值域为0弓

C.g(x)的图像关于点(二,0)对称

6

1

D.g(x)的图像可由y=cosx+5的图像向右平移等个7T个单位长度得到

乙J

【答案】BD

【解析】y=sin2x-V3sin(%—x)sin(无+g万)=sin?x+百sinxcosx

1z,c\百.cG-c1c1.(c乃)1

——(1—cos2x)H---sin2x——sin2x—cos2xH——sin2x---H—,

2、'2222I2

/Kyi

所以g(x)=sinX--+-,

3

=5#1,故A选项错误;

715TT3

对于B选项，当xe[0,句时,x-ge，所以g(x)e0,-，故B选项正确;

666

对于C选项,g(x)的图像关于点｛看,g卜称，故C选项错误；

127r

对于D选项,y=cosx+—的图像向右平移等子个单位长度得到

23

\

C2吟171711.71+’.故D选项正确.故选BD

y=cosx--------H■—=COSX------+—sinx------

\3>26/26J2

17.（2021江苏省南通学科基地2021届高三下学期高考全真模拟）已知函数/（x）=sin（yx-（卜。〉0）在

[0,句上有且只有三个零点，则下列说法中正确的有（）

A.在（0,叫上存在X,,X,，使得（xj-/（/）|=2

710

B.。的取值花围为

33

C.f(x)在