2023-2024学年四川省成都市高一下学期期末考试数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年四川省成都市高一下学期期末考试数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知复数是纯虚数，则实数（

）A．0 B．2 C． D．1【正确答案】D【分析】直接由复数为纯虚数列方程求解即可【详解】因为复数是纯虚数，，所以，解得，故选：D2．已知角的终边过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】分析出，利用三角函数的定义可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为角的终边过点，且，则，且，解得.故选：C.3．若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可.【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为.故选：B．4．已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边上的中线的实际长度为（

）A．5 B． C． D．【正确答案】C【分析】根据斜二测画法的规则即可求解【详解】的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别是4和3，斜边上的中线长度为故选：C5．已知某圆台的高为，上底面半径为1，下底面半径为2，则其侧面展开图的面积为（

）A．9π B． C． D．8π【正确答案】A【分析】求圆台的侧面积，直接利用公式求解.【详解】∵圆台的母线长为，∴其侧面展开图的面积.故选：A.6．在三棱锥中，底面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则（

）A．1 B． C． D．【正确答案】C【分析】根据外接球的特点和线面垂直的判定结合几何关系即可求解.【详解】

因为平面，平面，所以，由面，所以面，由面，则，由面，则，是和的公共斜边，则是三棱锥的外接球直径，由，设，则，则，故选：C．7．位于四川省乐山市的乐山大佛，又名“凌云大佛”，是世界文化与自然双重遗产之一．如图，已知PH为佛像全身高度，PQ为佛身头部高度（PQ约为15米）．某人为测量乐山大佛的高度，选取了与佛像底部在同一水平面上的两个测量基点A，B，测得米，米，，在点A处测得点Q的仰角为48.24°，则佛像全身高度约为（

）（参考数据：取，，）

A．56米 B．69米 C．71米 D．73米【正确答案】C【分析】由余弦定理可得，再由，可求得，从而可得结论.【详解】由余弦定理可得．依题意得，则，所以，则，故佛像全身高度约为71米．故选：C.8．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（

）.

A． B． C． D．【正确答案】C【分析】由P、C、D三点共线及，可求m的值，再用、作基底表示，进而求即可.【详解】∵，，即且，∴，又C、P、D共线，有，即，即，而，∴∴=.故选：C二、多选题9．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的有（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【正确答案】BD【分析】根据线线、面面位置关系等知识确定正确答案.【详解】A选项，若，则可能异面，A选项错误.B选项，若，则，B选项正确.C选项，若，则可能相交，C选项正确.D选项，若，则，D选项正确.故选：BD10．下列各式中结果为零向量的是A． B．C． D．【正确答案】AD根据向量加法和减法逐一判断选项，得到正确答案.【详解】A.，所有A正确；B.，不正确；C.，不是零向量；D.，所有D正确.故选：AD本题考查向量加减法，属于基础题型.11．下列选项中，与的值相等的是（

）A． B．C． D．【正确答案】ABD【分析】A.利用三角函数诱导公式求解判断；B.利用二倍角的正弦公式求解判断；C.利用两角和的余弦公式和二倍角的正弦公式求解判断；D.利用两角和的正切公式求解判断.【详解】对于A，，故正确；对于B，，故正确；对于C，，故错误；对于D，因为，所以，所以，故正确；故选：ABD12．已知正方体的棱长为1，点为线段上的动点，则（

）A．//平面B．的最小值为C．直线与平面、平面、平面所成的角分别为，则D．点关于平面的对称点为，则到平面的距离为【正确答案】ACD【分析】根据正方体的几何性质结合线面平行判定定理、勾股定理、余弦定理、线面夹角的定义、点到平面的距离，逐项盘点即可得答案.【详解】对于A，如图连接

在正方体中，因为，所四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得，又平面，平面，所以平面，由平面，所以平面平面，因为平面，所以，故A正确.对于B，如图将平面和平面展开到同一个平面，连接

的最小值即为，在正方体可得平面，平面，所以，且，所以则平面中，由余弦定理得，即，故B错误；对于C，如图，过作于，

于，平面于，连接

由正方体易得平面，平面，又直线与平面、平面、平面所成的角分别为，所以，则，因为平面，平面，则，且，所以四边形为平行四边形，所以，又在矩形中可得，所以，在中，，所以，即，故C正确；对于D，连接，连接交平面于，过作交于

在正方体中可得，，平面，因为平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，因为平面，所以平面，即平面，因为正方形的面对角线，所以为正三角形，又，所以，则，因为正方体的体对角线，所以，因为，所以，即，因为平面，所以到平面的距离为，由于点关于平面的对称点为，则为中点，于是到平面的距离为，故D正确.故选：ACD.三、填空题13．在中，角所对应的边分别为．若，则．【正确答案】【分析】根据正弦定理即可求解.【详解】因为，所以．故答案为.14．如图，平面，且，则异面直线与所成角的正切值为．

【正确答案】【分析】过作，，则异面直线与所成角为或其补角，由线线垂直证平面，再证，即可在中求的正切值即可.【详解】过作，且，

因为，所以四边形为矩形，所以，异面直线与所成角为或其补角，因为，所以，，因为平面，、平面，则，，所以，又因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以．在中，，即异面直线与所成的角的正切值为．故答案为.15．将函数且的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到一个偶函数图象，则．【正确答案】【分析】利用三角函数图象的对称性，找到关于，的方程即可求解.【详解】将函数且的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，再将所得图象向左平移个单位长度后，得到函数，因为为偶函数，图象关于轴对称，所以函数的图象的一条对称轴为，所以有，解得.故16．如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．若侧面的中心为，为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，则三棱柱的表面积为．

【正确答案】/【分析】连接交于，取的中点，过作，分别交于，连接，由面面平行的判定定理可证得平面平面，所以的轨迹为线段，再由相似比求出，即可求出三棱柱的表面积.【详解】

连接交于，取的中点，过作，分别交于，连接，易得，因为平面，平面，所以平面，平面，因为，且都在面内，所以平面平面，所以的轨迹为线段，因为，所以，因为，所以，所以，故三棱柱的表面积为.故答案为.四、解答题17．已知复数，(1)求;(2)若，且复数的虚部等于复数的虚部，复数在复平面内对应的点位于第三象限，求复数．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由复数的乘法运算即可得到结果；（2）根据题意，由条件可设，然后列出方程即可得到结果.【详解】（1）由复数，，可得．（2）由题意，可得，因为复数的虚部等于复数的虚部，可设，又，可得，解得或，又因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，所以，故．18．已知向量，．(1)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；(2)若，求在上的投影向量的坐标．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，列出不等式，即可得到结果；（2）根据题意，由可求得，再由投影向量的定义即可得到结果.【详解】（1）因为与的夹角为钝角，所以，且与不反向共线，故，解得，且，所以实数的取值范围为．（2），因为，所以，解得，．故在上的投影向量为．19．已知函数的图象如图所示．

(1)求函数的解析式及单调递增区间；(2)若函数，满足对任意的恒成立，求实数的取值范围．【正确答案】(1)，，(2)．【分析】（1）根据图得到，进而得到，，从而，再由求得解析式，再利用这些函数的性质求解单调区间；（2）易得．根据对任意的恒成立，由求解.【详解】（1）由图可知：，所以，所以，，由图易得，则，又，则，则，所以，，所以．令，，解得，，所以的单调递增区间为，．（2）由题．当，时，．因为对任意的恒成立，则，即所以．20．如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

(1)求证：∥平面;(2)求证：平面平面．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取的中点，连接，，则由三角形中位线定理得∥，∥，再结合正方形的性质可得∥，则∥平面，由理∥平面，从而可证得平面∥平面，进而可证得结论；（2）由已知面面垂直可得平面，则，再由结合勾股定理逆定理可得，再由面线垂直和面面垂直的判定定理可证得结论.【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，．，分别是和的中点，∥，∥．又四边形为正方形，∥，从而∥．平面，平面，∥平面，同理∥平面，又，平面，平面∥平面，平面，则∥平面;

（2）为正方形，．又平面平面，且平面平面，面，平面，∵平面，∴，设，，，∴，∴．又，，平面，平面，而平面，∴平面平面．21．已知锐角△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a（tanA＋tanC）＝2b·tanA．(1)求C的大小；(2)若△ABC的面积为，求a的取值范围．【正确答案】(1)(2)1＜a＜2．【分析】（1）先切化弦，然后结合正弦定理可解.（2）用a来表示三角形的面积，进而表示出tanA，然后结合角的取值范围解a.【详解】（1）在锐角△ABC中，因为a（tanA＋tanC）＝2b·tanA，所以，又因为A+C＝π－B，所以，即，由正弦定理得＝2sinA·sinB，又，则，所以cosC＝，可得C＝.（2）在锐角△ABC中，因为C＝，则，所以ab＝2，即b＝，因为a（tanA＋tanC）＝2b·tanA，即，所以tanA＝，因为△ABC为锐角三角形，且C＝，则，解得＜A＜，可得tanA＞，即＞，解得1＜a＜2．22．如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角.(1)求证：；(2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，从而得到；（2）几何法：通过面面垂直作过二面角的平面角，通过几何计算求解；空间向量法：建立坐标系用空间向量求解.【详解】（1）底面是菱形，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，.（2）解法一：由（1）知面，又平面，平面平面，作交线，垂足为，因为平面平面=，平面，则面，又平面，所以.再作，垂足为，面，面，所以面，又面则，所以为二面角的平面角，因为平面，所以到底面的距离也为.作，因为