2023-2024学年上海市高一上学期9月月考数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年上海市高一上学期9月月考数学质量检测模拟试题一、填空题：（1-6每题3分，7-12每题4分，共42分）1．用描述法表示所有正奇数集．2．设集合，，则.3．满足的集合M共有个．4．已知集合，若，则实数的取值范围是.5．已知关于x的不等式的解集为，则．6．设全集，，，则实数．7．不等式的解集为，则a的取值范围是．8．“”是关于x的方程的解集为的条件．9．已知集合，，若，则实数a的取值范围是．10．已知集合，，则．11．已知为方程的两个实数根，则的取值范围为.12．若且，则的最大值是．二、选择题：（每小题4分，共16分）13．“关于x的方程有实数根”是“”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件14．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则15．若集合有且仅有两个子集，则实数a的值为（

）A．2，18 B．2 C．18 D．0，2，1816．设数集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是A． B． C． D．三、解答题：（总分42分6+8+8+10+10）17．证明：．18．设m、k均为实数，求关于x的方程的解集．19．若集合，．(1)当时，求，；(2)若，求实数m的取值范围．20．已知集合，集合．(1)若，求；(2)若，且，求p的值．21．已知关于x的不等式．(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)若不等式在时恒成立，求实数k的取值范围．四、附加题：（本大题共5+5+5+5=20分）22．设，是方程的两个实数根，则．23．已知等式对恒成立，则24．设集合A是整数集的一个非空子集，对于任意的，如果且，则称k为集合A的一个“孤立元”，给定集合，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有个．25．设A是集合的非空子集，称A中的元素之和为A的“容量”，则S的所有非空子集的“容量”之和为．1．【分析】应用描述法写出所有正奇数的集合即可.【详解】正奇数可表示为，故对应集合为.故2．【分析】根据交集的定义，即得解【详解】由题意，根据交集的定义故3．4【分析】根据子集的定义，列举所有符合条件的集合即可求解.【详解】根据可得可以为，故共有4个符合条件的集合，故44．【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于，所以，所以的取值范围是.故5．-5【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答.【详解】因关于x的不等式的解集为，则是方程的二根，则有，解得，所以.故-56．【分析】根据全集、补集的定义，结合已知有求参数，再根据集合的性质确定参数值.【详解】由题设知：，所以或，显然时中元素不满足互异性，而满足题设，所以.故7．【分析】由一元二次不等式的解集，结合对应函数性质有，即可求参数范围.【详解】由题意.故8．必要不充分【分析】根据充分、必要性定义判断条件间的关系.【详解】，则，当则无解，当则解集为，充分性不成立；关于x的方程解集为，则，必要性成立；所以“”是关于x的方程的解集为的必要不充分条件.故必要不充分9．【分析】由题设，讨论、结合包含关系求参数，即可得参数取值范围.【详解】由题设，又，若，则；若，则，则，或；综上，.故10．【分析】根据给定条件，分别求出函数的值域和定义域化简集合M，N，再利用交集的定义求解作答.【详解】，当且仅当时取等号，因此，由得：，解得：，因此，所以.故11．由判别式不小于0得出的范围，由韦达定理得出，把转化为的函数后可得结论主．【详解】由题意，，又，∴．，，，∴．故．12．7【分析】把表达为与的线性关系，结合与求出最大值.【详解】，则，解得：即，因为且，所以，故，故的最大值为7故713．B【分析】根据充分、必要性定义，结合根与系数关系判断条件间的关系即可.【详解】若方程有实数根，则，即，但不一定有，充分性不成立；若，则，即方程有实数根，必要性成立；所以“关于x的方程有实数根”是“”的必要非充分条件.故选：B14．C【分析】利用不等式的性质和作差法比较大小即可.【详解】A选项：当时，，故A错；B选项：，因为的符号不确定，所以的符号也不能确定，故B错；C选项：，因为，所以，，，即，则，故C正确；D选项：，因为，所以，，即，，故D错.故选：C.15．D【分析】根据集合子集个数确定元素的个数，讨论、，结合一元二次方程中判别式求参数值.【详解】由题意，集合A中只有一个元素，即方程仅有一个解，当时，，可得或；当时，方程为仅有一解，满足题设；综上，实数a的值为0，2，18.故选：D16．C【详解】试题分析：根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度的最小值时，M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是，故选C．考点：新定义；集合运算17．证明见解析【分析】利用作差法，结合完全平方差公式及平方数性质即可证.【详解】由，故，得证.18．答案见解析【分析】讨论、，结合一元一次方程的解法求解集.【详解】由题设，讨论如下：若，即时，则：当，此时方程的解集为；当，此时方程无解，故解集为；若，即时，则，此时方程解集为.19．(1)，；(2)【分析】（1）解一元二次不等式求集合B，应用集合交并运算求集合；（2）由题设有，再列不等式组求参数范围，注意说明.【详解】（1）由，则，而，所以，.（2）由，而，若，显然不成立，即，所以，m的取值范围为.20．(1)(2)【分析】(1)根据交集的定义可知1是方程的根即可求解，(2)利用韦达定理求解.【详解】（1）因为，所以,即1是方程的根，所以，解得，所以由方程解得或，所以,又由解得或，所以,所以.（2）由题可知是方程的两个根，因为，所以，解得或由韦达定理得，因为，即解得或，又因为或，所以.21．(1)；(2).【分析】（1）由题意是方程的两个根，应用根与系数关系求参数即可，注意验证是否满足题设；（2）问题化为在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围即可.【详解】（1）由题设知：是方程的两个根，所以，即，经检验满足题设，所以.（2）令，则在上恒成立，而开口向上且对称轴，故，即，所以，此时对称轴，当时，，此时；当时，只需，此时；综上，.22．【分析】由根与系数关系及根的性质求目标式的值即可.【详解】由题设且，所以.故23．【分析】化简方程为，根据恒成立即可求解.【详解】因为对恒成立，所以对恒成立，所以，解得，所以，故本题主要考查了方程的恒成立问题，考查了运算能力，属于中档题.24．7【分析】根据集合新定义判断中各元素为孤立元时对应哪些元素不在集合内，再确定M中的3个元素组成的所有集合中不含有“孤立元”的集合即可.【详解】由题意，若是由M中的3个元素组成的集合，当且1为孤立元，则；当且2为孤立元，则；当且3为孤立元，则；当且4为孤立元，则；当且5为孤立元，则；当且6为孤立元，则；当且7为孤立元，则；当且8为孤立元，则；当且9为孤立元，则；要使不含有“孤立元”：若，则，进而有，即满足；若且，则，进而有，即满足；若且，则，进而有，即满足；依次类推，都满足，综上，由M中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共